中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第15讲 二次函数（原卷版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点十五：二次函数

聚焦考点☆温习理解

一、二次函数的概念和图像

    1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法

五点法：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

(2)求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：

(2)顶点式：

(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

四、二次函数的性质 

1、二次函数的性质

2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下

与对称轴有关：对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，)

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、二次函数的图象

【例1】2019•贵州省安顺市•3分)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：

①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．

其中正确的个数是(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【举一反三】

1. 【山东省德州市2018年中考】如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是(    )

A.     B.     C.     D.

2. (福建省三明市大田县2017-2018学年九年级上期末模拟数学试卷)已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为(　　)

A. 0     B. 1     C. 2    D. 3

考点典例二、二次函数的解析式

【例2】(2019•威海)在画二次函数的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：

乙写错了常数项，列表如下：

通过上述信息，解决以下问题：

(1)求原二次函数的表达式；

(2)对于二次函数，当__________时，的值随的值增大而增大；

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【举一反三】

1. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，﹣2)．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为(　　)[来源:学科网ZXXK]

　 A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2    C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2

2.(山东省临沂市五校2017-2018学年九年级联考)对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是(　　)

A. y=﹣2x2+8x+3    B. y=﹣2x‑2﹣8x+3    C. y=﹣2x2+8x﹣5    D. y=﹣2x‑2﹣8x+2

考点典例三、二次函数的最值

【例3】(2019江苏镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．

【举一反三】

【经典题】当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，则实数m的值为【    】

  (A)     (B) 或  (c)2或  (D)2或或

考点典例四、二次函数的图象与性质

【例4】(2019•广西贺州•3分)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是　①③④　(填写序号)．

【举一反三】

1. (2019•湖州)已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是

A． B．C． D．

2. 【天津市2018年中考】已知抛物线(，，为常数，)经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：

①抛物线经过点；

②方程有两个不相等的实数根；

③.

其中，正确结论的个数为(  )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

考点典例五、二次函数图象与平移变换

【例5】【浙江省义乌市2018年中考】若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(    )

A.     B.     C.     D.

【举一反三】

1. 已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，将这条抛物线向右平移m(m＞0)个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．

2.(辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学2018届九年级上学期期中考试)把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为(　　)

A. y=2(x+3)2+4    B. y=2(x+3)2﹣4    C. y=2(x﹣3)2﹣4    D. y=2(x﹣3)2+4

考点典例六、二次函数的综合题

【例6】.(2019广西省贵港市)如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出点的坐标并求直线的表达式；

(3)设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．

【举一反三】

(新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)如图，抛物线 经过A(－3,0)，C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．

①当t为何值时，点N落在抛物线上；

②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1．【四川省成都市2018年中考】关于二次函数，下列说法正确的是(  )

A. 图像与轴的交点坐标为    B. 图像的对称轴在轴的右侧

C. 当时，的值随值的增大而减小    D. 的最小值为-3

2. 【2018四川绵阳中考模拟】已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6

3．(天津市宁河区2018届九年级下学期第一次联考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是(    )

A. ﹣1＜x＜5    B. x＞5    C. x＜﹣1或x＞5    D. x＜﹣1且x＞5

4. (2019▪广西河池▪3分)如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是(　　)

A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0

5. 【江苏省连云港市2018年中考】已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是(　　)

A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B. 点火后24s火箭落于地面

C. 点火后10s的升空高度为139m

D. 火箭升空的最大高度为145m

6.(2018年河南省商丘市中考数学模拟)若A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(1，y3)为二次函数y=x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)

A. y1＜y2＜y3    B. y2＜y1＜y3    C. y3＜y1＜y2    D. y1＜y3

7. (2019•临沂)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：m)与小球运动时间(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是

A．①④    B．①②    C．②③④   D．②③

8. (2019•天津)二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是

A．0    B．1    C．2    D．3

二．填空题

9. (2019•济宁)如图，抛物线与直线交于A(-1，P)，B(3，q)两点，则不等式的解集是__________．

10. (2019•凉山州)当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_________．

11. (2018新疆乌鲁木齐中考模拟)如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：

①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是          ．

12. (2019•四川省凉山州•5分)当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x﹣1)2﹣3有交点，则a的取值范围是　　．

三．解答题

13【浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点B的坐标为(3，0)，与轴交于点C(0，-3)，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．

(2)联结AC，BC，求∠ACB的正切值．

(3)点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)M是抛物线上一点，点N在轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

14. (江西省崇仁县第二中学2018届九年级下学期第二次模拟)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．

(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；

(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；

(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m>0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D，若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．

15. (2019•湖北省鄂州市•10分)“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．

(1)直接写出y与x的函数关系式；

(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？