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中职数学苏教版（中职）第二册第10章 概率统计课后练习题
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这是一份中职数学苏教版（中职）第二册第10章 概率统计课后练习题，共6页。试卷主要包含了独立重复试验，二项分布，直方图载体，全概率公式的应用，频率分布直方图载体，正态分布，随机变量分布列，马尔科夫链，非线性回归，正态分布，频数分布图载体等内容，欢迎下载使用。
一、独立重复试验，二项分布
1．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据
二、直方图载体、分位数、交汇不等式
2．某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”．
（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到
（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过20万人？
三、全概率公式的应用
3．某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32．
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率．
（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小．
（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由．
四、频率分布直方图载体、概率求解、交汇函数
4．某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当，时，求的解析式，并求在区间，的最小值．
概率统计（二）
五、正态分布、条件概率
5．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：
顾客投掷3枚质地均匀的骰子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布，．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在，内的人数；
附：若，则，．
（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
求顾客获得乙奖品的概率；
若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
六、随机变量分布列，马尔科夫链
6．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
（ⅰ）证明：，1，2，，为等比数列；
（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
七、非线性回归，正态分布
7．“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克在正常环境下服从正态分布．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人与年收益增量（万元）的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有．
根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到；
根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
附：若随机变量，则，；
样本，，2，，的最小二乘估计公式为：，
八、频数分布图载体、独立重复概率求解、交汇函数与导数
8．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，2，，表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量，2，，的实验结果，2，，绘制成频数分布图，如图4所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．
①试写出事件“，，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数时使得概率，，最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值．
参考数据：．
第七天：二、分布列、方案选择问题
2．灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
（1）求的分布列；
（2）若满足的的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优．
第十五天：四、随机变量分布列、新定义、证明
4．若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，，，2，，记表示，在中出现的概率，其中．
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
（2）称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
第二十七天：一、独立性检验、随机变量分布列
1．山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）
（1）完善列联表并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？
（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
第二十九天：二、古典概率、随机变量分布列
2．2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份．
（1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
（2）用随机变量表示小明抽两次的得分总和，求的分布列及期望．
人工投入增量（人
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量（万元）
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
性别
喜欢情况
合计
喜欢
不喜欢
男同学
60
女同学
20
合计
60
140
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
一、独立重复试验，二项分布
1．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．
（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据
二、直方图载体、分位数、交汇不等式
2．某市在200万成年人中随机抽取了100名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于1.5小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于2.5小时的市民称为“读书迷”．
（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；
（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到
（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过20万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过20万人？
三、全概率公式的应用
3．某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68；
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32．
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率．
（1）分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小．
（2）若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由．
四、频率分布直方图载体、概率求解、交汇函数
4．某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏检率时，求临界值和错检率；
（2）设函数，当，时，求的解析式，并求在区间，的最小值．
概率统计（二）
五、正态分布、条件概率
5．某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：
顾客投掷3枚质地均匀的骰子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
（1）据往年统计，顾客消费额（单位：元）服从正态分布，．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额在，内的人数；
附：若，则，．
（2）已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为．
求顾客获得乙奖品的概率；
若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
六、随机变量分布列，马尔科夫链
6．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．
（ⅰ）证明：，1，2，，为等比数列；
（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
七、非线性回归，正态分布
7．“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克在正常环境下服从正态分布．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人与年收益增量（万元）的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有．
根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到；
根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
附：若随机变量，则，；
样本，，2，，的最小二乘估计公式为：，
八、频数分布图载体、独立重复概率求解、交汇函数与导数
8．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量，2，，表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量，2，，的实验结果，2，，绘制成频数分布图，如图4所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立．
①试写出事件“，，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数时使得概率，，最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值．
参考数据：．
第七天：二、分布列、方案选择问题
2．灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
（1）求的分布列；
（2）若满足的的最小值为，求；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较与哪种方案更优．
第十五天：四、随机变量分布列、新定义、证明
4．若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，，，2，，记表示，在中出现的概率，其中．
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
（2）称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
第二十七天：一、独立性检验、随机变量分布列
1．山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）
（1）完善列联表并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？
（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
第二十九天：二、古典概率、随机变量分布列
2．2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份．
（1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
（2）用随机变量表示小明抽两次的得分总和，求的分布列及期望．
人工投入增量（人
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量（万元）
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
性别
喜欢情况
合计
喜欢
不喜欢
男同学
60
女同学
20
合计
60
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