【湖南专用】12 概率与统计（基础卷）（解析版）

这是一份【湖南专用】12 概率与统计（基础卷）（解析版），共10页。试卷主要包含了的展开式中含的项是，的展开式中，二项式系数最大的是等内容，欢迎下载使用。


选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．的展开式中含的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于可得的值，即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．
故选：C.
2．音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（ ）
A．30种B．75种C．10种D．20种
【答案】D
【分析】由简单计数原理求不同选法数.
【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种.
故选：D
3．的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由二项式，可得其展开式共有9项，
根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大.
故选：C.
4．甲､乙两人下棋，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲､乙两人下成平局的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据概率的基本性质求甲､乙两人下成平局的概率.
【详解】由题设，甲获胜概率为，乙获胜（即甲输）概率为，
所以甲乙平局的概率为.
故选：A
5．已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平均数得到，进而利用方程和标准差公式求出答案.
【详解】由题意得，解得，
故这组数据的方差为，
故标准差为.
故选：D
6．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】由中位数定义即可得.
【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
7．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（ ）
A．30，20B．18，32C．25，25D．32，18
【答案】D
【分析】由分层抽样的定义求解即可.
【详解】根据分层抽样的定义，知男生共抽取（人），女生共抽取（人）．
故选：D．
8．某校高二年级有学生1400人，其中女生714人，用分层抽样方法抽取容量为100的一个样本，则所抽男生人数是（ ）
A．52B．51C．49D．48
【答案】C
【分析】直接根据男生占总人数的比例来求解即可.
【详解】根据男女生人数情况可得所抽男生人数是.
故选：C.
9．某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（ ）
A．11B．10C．20D．30
【答案】D
【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果.
【详解】先从5门选修课中选择1门，有5种选法；
再从4个课外活动中选择2个，有种选法.
所以该学生不同的选择种数为.
故选：D.
10．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为
A．72种B．36种C．54种D．24种
【答案】B
【详解】试题分析：乙如果与两人相邻，则一定是丁与戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成人一团，从五个位置中选个相邻的位置共有种方法，而甲乙互换又有两种，则有种，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，其余的三个位置随便排种结果，根据分步计数原理知共有种，根据分类计数原理，可得不同的排法种数为种，故选B．
考点：计数原理的应用．
【方法点晴】本题主要考查了排列、组合和计数原理的应用，对于站队问题是排列、组合的典型问题，解答时，要先排有限制条件多的元素，再排其它元素，本题解答的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果后再还原为实际问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则 .
【答案】
【分析】由二项式系数的和为即可得.
【详解】，所以.
故答案为：.
12．6名同学排队站成一排，要求甲乙两人不相邻，共有 种不同的排法.
【答案】
【分析】先安排除甲乙之外的四个人，再在5个空位上插空安排甲乙二人可得答案.
【详解】插空法，.
故答案为：480.
13．某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答）
【答案】96
【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解
【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择，
当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择，
故共有种选择.
故答案为：96
14．的展开式中项的系数为 ．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的展开式中项的系数为.
故答案为：
15．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为 ．
【答案】/
【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有种，
其中男生站一起的事件有种，
所以男生站在一起的概率为.
故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（5分）在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲乙两名同学之间独立竞猜.甲同学猜对了16道，乙同学猜对了12道，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
【答案】(1)甲猜对概率为，乙猜对概率为
(2)
【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案.
（2）利用对立事件的知识求得正确答案.
【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为.
（2）甲乙都没有猜对的概率为，
所以甲和乙至少一人猜对的概率为.
17．（5分）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64.
(1)求 的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解；
（2）根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大，再根据二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】（1）令，得展开式中各项系数之和为，
且二项式系数之和为，
由题意可得：，解得.
（2）由（1）知，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大，
所以二项式系数最大的项为.
18．（10分）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果.
（2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
19．（10分）己知的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2).
【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解
（2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解
【详解】（1）由题意得：，解得
由通项公式，
令，可得：.则常数项为
（2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为.
20．（10分）袋子里有大小相同但标有不同号码的3个红球和4个黑球，从袋子里随机取出4个球，
(1)求取出的红球数的概率分布列；
(2)若取到每个红球得2分，取到每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到随机变量的可能取值，求出相对应的概率，列出分布列即可．
（2）根据题意取出的球中有1个红球和3个黑球的情况或4个黑球的情况的概率即可求解.
【详解】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
（2）设“取出4个球得分不超过5分”的事件记为，
则事件表示取出的球中有1个红球和3个黑球的情况或4个黑球的情况，则.
21．（10分）甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)求甲赢得比赛的概率；
(2)记比赛结束时的总局数为，写出的分布列，并求出的期望值．
【答案】(1)
(2)分布列见详解，.
【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；
（2）的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.
【详解】（1）比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：
① 甲连赢3局：；
② 前3局2胜1负，第4局甲赢：;
③ 前4局甲2胜2负，第5局甲赢：，
所以甲赢得比赛的概率为.
（2）可以取3，4，5
所以,
,
,
由此可得的分布列为：
所以.
22．（10分）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
【答案】(1)种
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据分步计数原理即可求解；
（2）求出男运动员与女运动员的人数之差为的可能取值，并得到其概率，最后写出分布列即可.
【详解】（1）共有种选派方法.
（2）由题意知，的取值范围为，
，
所以的分布列为
0
1
2
0.2
0.6
0.2
0
1
2
3
3
4
5
-3
-1
1