山东省济南市历下区某校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023•萧山区二模）科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.1×10﹣5B．0.61×10﹣5C．6.1×10﹣6D．0.61×10﹣6
【解答】解：0.0000061＝6.1×10﹣6，
故选：C．
2．（4分）（2022•海曙区校级开学）下列数中：8，﹣312，π2，327，227，0，5，9.121121112无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：327=3，
无理数有π2，5，共有2个，
故选：B．
3．（4分）（2024•涧西区校级一模）下列运算不正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝xB．（x﹣1）2＝x2﹣1
C．（2x2）3＝8x6D．2x2÷x＝2x
【解答】解：A．3x﹣2x＝x，故选项A计算正确，不符合题意；
B．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故选项B计算错误，符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，故选项C计算正确，不符合题意；
D．2x2÷x＝2x，故选项D计算正确，不符合题意；
故选：B．
4．（4分）（2023秋•巴州区期中）估算24+2的值（ ）
A．在5和6之间B．在6和7之间
C．在7和8之间D．在8和9之间
【解答】解：∵4＜24＜5，
∴6＜24+2＜7，
故选：B．
5．（4分）（2023•临沂一模）我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图．小颖B入口进D出口的概率是（ ）
A．15B．16C．12D．13
【解答】解：如图可知，A，B为入口；C，D，E为出口，
∴小颖B入口进D出口的概率为：16．
故选：B．
6．（4分）（2022秋•南平期末）已知a2+a﹣5＝0，代数式（a2﹣5）（a+1）的值是（ ）
A．4B．﹣5C．5D．﹣4
【解答】解：∵a2+a﹣5＝0，
∴a2﹣5＝﹣a，a2+a＝5，
∴（a2﹣5）（a+1）
＝﹣a（a+1）
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a2+a）
＝﹣5．
故选：B．
7．（4分）（2024春•鹤山市期中）若b-3+（a﹣4）2＝0，则化简ab的结果是（ ）
A．233B．±233C．433D．±433
【解答】解：∵b-3+（a﹣4）2＝0，
∴b﹣3＝0，a﹣4＝0，
即a＝4，b＝3，
∴ab=43=23=233，
故选：A．
8．（4分）（2021春•封开县期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．18B．15C．12D．8
【解答】解：将台阶展开，如图，
因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2+BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：B．
9．（4分）（2023•淮阴区三模）如图1，已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣O以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为x s，OP＝y cm，y随x变化的图象如图2所示，则扇形AOB的面积为（ ）
A．3πcm2B．πcm2C．2πcm2D．1.5πcm2
【解答】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为π+6﹣（π+3）＝3，
∴OB＝3cm，即扇形的半径为3cm，
由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为π+3，
∴弧长为πcm，
设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得：n×3π180=π，
解得n＝60°，
由扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为60×32π360=1.5π（cm2）．
故选：D．
10．（4分）（2024•思明区校级二模）如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AB＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．33
【解答】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF，BE=AE=12AB=3，
∴BF+EF＝CF+EF＝CE，
此时BF+EF的值最小，最小值为CE，
∴CE=62-32=33，
∴BF+EF的最小值为33，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）（2021秋•源城区校级期末）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 2 ．
【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴3x﹣2+5x﹣14＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
12．（4分）（2024春•历下区期末）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，AE⊥BC，若BC＝4，S△ACD＝3，则AE＝ 3 ．
【解答】解：∵CD是边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴△ACD和△BCD等底同高，
∴S△ACD＝S△BCD＝3，
∴S△ABC＝6，
∴S△ABC=12BC⋅AE=6，
∴12×4⋅AE=6，
∴AE＝3．
故答案为：3．
13．（4分）（2017秋•历下区期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 25 ．
【解答】解：如图：（1）AB=BD2+AD2=202+152=25；
（2）AB=AE2+BE2=102+252=529；
（3）AB=AC2+BC2=302+52=537．
所以需要爬行的最短距离是25．
14．（4分）（2024•海州区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为 2.4 ．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，
在△ODP和△OEG中，
∠D=∠EOD=OE∠DOP=∠EOG，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，
∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，
∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，
即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，
解得：x＝2.4，
∴AP＝2.4；
故答案为：2.4．
15．（4分）（2023春•青秀区校级期中）如图，等腰直角三角形ABC的两直角边分别为1，以斜边BC为边作第二个等腰直角三角形BCD，再以斜边BD为边作第三个等腰直角三角形BDE，如此进行下去…记等腰直角三角形ABC的直角边长为x1＝1，按上述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为x2，x3，x4，…xn，则x2023＝ 21011 ．
【解答】解：第1个等腰直角三角形ABC的直角边长为x1＝1，
∴第2个等腰直角三角形ABC的直角边长为x2=12+12=21，
第3个等腰直角三角形ABC的直角边长为x3=(2)2+(2)2=2+2=4=22，
第4个等腰直角三角形ABC的直角边长为x4=22+22=8=23，
••••••，
∴第n个等腰直角三角形ABC的直角边长为xn=2n-1，
∴x2023=22023-1=22022=21011．
故答案为：21011．
三．解答题（共10小题，满分90分）
16．（7分）（2023春•太和区期中）先化简再求值：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b），其中a=-13，b＝﹣2．
【解答】解：[（3a+b）2+（b+3a）（b﹣3a）﹣6b2]÷（2b）
＝（9a2+6ab+b2+b2﹣9a2﹣6b2）÷（2b）
＝（6ab﹣4b2）÷（2b）
＝3a﹣2b，
当a=-13，b＝﹣2时，原式=3×(-13)-2×(-2)=3．
17．（7分）（2023春•如东县校级期中）计算：
（1）25+3-64-(-3)2；
（2）3-27+49-2+|1-2|．
【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3
＝﹣2；
（2）原式=-3+7-2+2-1
＝3．
18．（7分）（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．
【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF为80°．
19．（8分）（2024春•渠县校级期末）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．（保留必要的作图痕迹）
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，
则PA+PB＝PA+PB'＝AB'，为最小值，
则点P即为所求．
20．（8分）（2023春•罗湖区期末）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果：
（1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为 25 ．
（2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 716 ．
【解答】解：（1）将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌有5种等可能结果，其中是奇数的有2种结果，
∴是奇数的概率为25，
故答案为：25；
（2）令最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为2+1+4＝7，
所以飞镖落在阴影部分的概率是716，
故答案为：716．
21．（9分）（2022春•同心县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝4，BD＝3，求四边形ABDC的面积．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC=AB2-AC2=132-122=5；
在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD=12×12×5+12×3×4＝36．
22．（10分）（2022秋•钢城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC＝ 12 cm．
（2）当PA＝PB时，求t的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，
∴BC=AB2-AC2=202-162=12（cm）；
故答案为：12；
（2）由题意可得AP＝t，则PC＝16﹣t，
在Rt△PCB中，∵∠PCB＝90°，
由勾股定理，得：PC2+BC2＝PB2，
即（16﹣t）2+122＝t2，
解得：t＝12.5，
∴当点P运动到PA＝PB时，t的值为12.5．
23．（10分）（2024春•历下区期末）数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15米，AB＝17米，
由勾股定理，可得AC=AB2-BC2=8米，
∴AD＝AC+CD＝8+1.5＝9.5（米），
答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；
（2）如图，当风筝沿DA方向再上升12米，A'C＝20米，

在Rt△A′BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15米，
由勾股定理，可得A′B=A'C2+BC2=25米，
则应该再放出25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米长的线．
24．（12分）（2024春•历下区期末）甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程S（km）与乙行驶的时间x（h）的关系如图①所示，其中h表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差y（km）与乙行驶的时间x（h）的关系如图②所示，请你解决以下问题：
（1）图②中的自变量是 乙行驶的时间 ，因变量是 甲、乙两人之间的路程差 ；
（2）甲的速度是 25 km/h，乙的速度是 10 km/h；
（3）结合题意和图①，可知图②中：a＝ 1.5 ，b＝ 10 ；
（4）求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为7.5km？
【解答】解：（1）图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差；
故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差；
（2）由图可得，
甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），
乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h），
故答案为：25，10；
（3）由图可得，
b＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，
a＝1.5，
故答案为：1.5，10；
（4）由题意可得，
前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5，
则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，
设乙出发x h时，甲、乙两人路程差为7.5km，
25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，
解得，x=43，
25﹣10x＝7.5，得x=74；
即乙出发43h或74h时，甲、乙两人路程差为7.5km．
25．（12分）（2023春•碑林区校级期末）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．根据 SAS 可以判定△ADC≌△MDB，得出AC＝BM．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围．
【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．若AB＝3，BD＝2，求AC的长．
【应用提升】
（3）已知：如图3，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2．D、E是三角形边AB、AC上两个动点，且AD＝CE，连接BE，CD．求（BE+CD）2的最小值．
【解答】解：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
CD=BD∠ADC=∠MDBAD=DM，
∴△ADC≌△MDB（SAS ），
故答案为：SAS；
（2）延长AB到P，使BP＝BD，连接DP，
∴∠P＝∠BDP=12∠ABD，
∵∠ABD＝2∠C，
∴∠P＝∠C，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠PAD＝∠CAD，
在△ADP和△ADC中，
∠P=∠C∠PAD=∠CADAD=AD，
∴△ADP≌△ADC（AAS），
∴AC＝AP＝AB+BP＝AB+BD＝3+2＝5；
（3）过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接EM，BM，过点M作MN⊥BC，交BC延长线于点N，
∴∠MNC＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2，
∴∠ABC＝45°，AB＝AC=2，
∵CM∥AB，
∴∠A＝90°＝∠MCE，∠ABC＝∠NCM＝45°，
在△ADC和△CEM中，
AD=CE∠A=∠MCEAC=CM，
∴△ADC≌△CEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴BE+EM≥BM，
即当B，E，M三点共线时，BE+EM最小，最小值为BM，
在Rt△MCN中，
∵CN2+MN2＝MC2，MC＝AC=2，
∴CN＝MN＝1，
∴BN＝BC+CN＝2+1＝3，
在Rt△BNM中，BM2＝BN2+MN2＝32+12＝10，
∴（BE+CD）2的最小值为10．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/1 14:10:02；用户：初中数学王晓；邮箱：ssefzsx005@xyh.cm；学号：27845130活动课题
风筝离地面垂直高度探究
问题背景
风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度.
测量数据抽象模型
小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生
经过讨论，兴趣小组得出以下问题：
（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．
（2）如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
问题解决
……