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第二十一章 一元二次方程（A卷·基础提升卷 单元重点综合测试）（解析版）
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第21章 一元二次方程（A卷·基础提升卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．2．已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，3 B．1， C．，3 D．，3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．A． B．C． D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．5．如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）A． B．C． D．6．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）A．， B．， C．， D．，8．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（ ）A．3或 B．或29 C．3或 D．3或299．已知、是方程两根，则的值( )A． B． C． D．10．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使关于的一元二次方程有实数解．且关于的分式方程有整数解，则符合条件的的值的和是（ ）A． B． C． D．2二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．方程的根为 ．12．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．14．方程的系数a，b，c满足，则方程有一个根为 ．15．一元二次方程的两根为，则 16．已知、，满足等式：，则 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．18．（8分）已知一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式．解关于y的方程．19．（8分）已知关于的方程有两个不相等的实根，判断关于的方程的根的情况．20．（8分）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．21．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利元，那么每件工艺品单价应降多少元？(2)能否通过降价使商店每天盈利达到元？请说明理由．22．（10分）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形是菱形？(2)若，求m的值．23．（10分）人们常常在室内摆放一些绿色植物，这样做不仅增加了温馨舒适度，还有助于提高室内空气的质量．前年某小区为更好地提高住户的居住感受，为已入住的住户购置A、B两个品种的绿色植物共900盆．其中，A品种每盆20元，B品种每盆30元（1）已知该小区前年购置这900盆绿色植物共花费23000元，请分别求出已购置的A、B品种的数量；（2）今年该小区决定再次为已入住的住户购置绿色植物C、D两个新品种．已知C品种今年每盆的价格比A品种前年的价格优惠a%，D品种今年每盆的价格比B品种前年的价格优惠．由于小区入住率的提高，今年需要购置C品种的数量比A品种前年购置的数量增加了，购置D品种的数量比B品种前年购置的数量增加了a%，于是今年的总花费比前年增加了．求a的值．24．（12分）如图，在矩形中，，． (1)若，为方程的两根，且，求的值；(2)在（1）的条件下，为上一点（异于、两点），在什么位置时，是直角三角形？(3)为直线上的一动点（异于、两点），当，满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出，满足的数量关系．第21章 一元二次方程（A卷·基础提升卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可．【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，∴A是一元二次方程，符合题意；B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意；D、是一元三次方程，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．2．已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，3 B．1， C．，3 D．，【答案】C【分析】找出一元二次方程的一次项系数，常数项即可．【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，3，故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即，故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【答案】C【分析】把x＝0代入方程x2+﹣x+a2﹣1＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．【详解】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，依题意，得：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，∴，∵，，∴，∴，，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程、，均为常数且的解是，，对于关于的一元二次方程的解，即或，即，，关于的一元二次方程的解是，．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．8．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（ ）A．3或 B．或29 C．3或 D．3或29【答案】B【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根，利用根与系数的关系均得到与的关系，进而消去，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到，，的值，相加即可．【详解】解：设方程的两个根为，，方程有整数根，设其中，为整数，且，则方程的两根为，，，，两式相加，得，即，或，解得或，又，，，或，，，，，或者，，，或，故或29，故选：B．【点睛】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键，消去后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．9．已知、是方程两根，则的值( )A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用一元二次方程的解的定义和降次的方法得到，，，则原式可化简为，接着利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：，是方程的两根，，， ，，则，即，，根据根与系数的关系得，原式．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则， ．10．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使关于的一元二次方程有实数解．且关于的分式方程有整数解，则符合条件的的值的和是（ ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由一元二次方程有实数解，确定a的取值范围，由分式方程有整数解，确定a的值即可判断．【详解】方程有实数解，∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，解得a⩽2∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2方程解得y=+2∵y有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，符合条件的a的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．方程的根为 ．【答案】【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．【详解】解：，，或,解得，故答案为： ．12．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．【答案】2【分析】根据一元二次方程的概念，即可得出关于m的一元一次不等式及方程，解之即可得出m的值．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，解得：，故答案为：2【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．【答案】且【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴且，解得且．故答案为：且【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键．14．方程的系数a，b，c满足，则方程有一个根为 ．【答案】【分析】由满足且，可得当时，有．由此即可解答．【详解】由题意，一元二次方程满足且，∴时，代入方程，有；综上可知，方程必有一根为．故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．一元二次方程的两根为，则 【答案】【分析】根据根与系数的关系表示出和即可；【详解】∵，∴，，，∴，，∴，=，=．故答案为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．16．已知、，满足等式：，则 ．【答案】【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵∴，∴∵满足∴，为以为未知数的一元二次方程的两根，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：∴．（2）解： ，即：∴．（3）解：∵∴∴．18．（8分）已知一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式．解关于y的方程．【答案】．【分析】先根据方程根的定义，求出，再根据二次根式的非负性，求出a，b，从而求出c，然后利用公式法解方程即可．【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，∴，∵a、b满足等式，，∴，∴，∴关于y的方程为：，，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．19．（8分）已知关于的方程有两个不相等的实根，判断关于的方程的根的情况．【答案】有两个不相等的实数根．【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合第一个方程，可确定p的取值范围．再由不等式的性质可求出第二个方程的根的判别式的符号，即可确定其根的情况．【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根，∴，且，解得：且．∵关于的方程的根的判别式，∴，且，∴关于的方程，有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．20．（8分）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）对式子进行分解，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解；（2）由根与系数的关系可得，则分类进行讨论，从而可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，解得，∴无论k为何值，此方程总有一个根是定值，且．（2）令方程的两根为：，则有：，，若斜边为3，则另两直角边分别为2和k．∴，∴，解得或，∵．∴舍去；故；若斜边为k，∴，∴，解得或，∵．∴舍去；综上所述：或．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，勾股定理，分类思想，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．21．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利元，那么每件工艺品单价应降多少元？(2)能否通过降价使商店每天盈利达到元？请说明理由．【答案】(1)商店想通过销售这种工艺品每天想盈利元，每件工艺品单价应降元(2)不能，理由见解析【分析】（1）设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（2）解：设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，依题意，得：，整理，得，解得：，（不合题意，舍去）．答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利元，每件工艺品单价应降元；（2）不能，理由如下：解：设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，依题意，得：，整理，得：．，该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．22．（10分）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形是菱形？(2)若，求m的值．【答案】(1)当时，四边形为菱形(2)m的值为1【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可；（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，∴当时，平行四边形ABCD是菱形，∵、的长是关于x的方程的两个实数根，，即，解得：，∴当时，四边形ABCD为菱形；（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，，，∵，，即，整理得：解得：，，，∴不合题意，∴m的值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键．23．（10分）人们常常在室内摆放一些绿色植物，这样做不仅增加了温馨舒适度，还有助于提高室内空气的质量．前年某小区为更好地提高住户的居住感受，为已入住的住户购置A、B两个品种的绿色植物共900盆．其中，A品种每盆20元，B品种每盆30元（1）已知该小区前年购置这900盆绿色植物共花费23000元，请分别求出已购置的A、B品种的数量；（2）今年该小区决定再次为已入住的住户购置绿色植物C、D两个新品种．已知C品种今年每盆的价格比A品种前年的价格优惠a%，D品种今年每盆的价格比B品种前年的价格优惠．由于小区入住率的提高，今年需要购置C品种的数量比A品种前年购置的数量增加了，购置D品种的数量比B品种前年购置的数量增加了a%，于是今年的总花费比前年增加了．求a的值．【答案】（1）前年已购置的A品种400盆，B品种500盆；（2）30【分析】（1）设前年已购置的A、B品种的数量分别为x盆和y盆，根据“购置A、B两个品种的绿色植物共900盆，购置这900盆绿色植物共花费23000元”，列出二元一次方程组，即可求解；（2）根据等量关系，列出关于的一元二次方程，即可求解．【详解】（1）设前年已购置的A、B品种的数量分别为x盆和y盆，由题意得：，解得：，答：前年已购置的A品种400盆，B品种500盆；（2）由题意得：，设a%＝t，则，化简得：﹣10t2+3t＝0，∴t（﹣10t+3）＝0，∴t1＝0（舍），，∴，∴a＝30，答：a的值为30．【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元二次方程的实际应用，掌握等量关系，列出二元一次方程组或一元二次方程，是解题的关键．24．（12分）如图，在矩形中，，． (1)若，为方程的两根，且，求的值；(2)在（1）的条件下，为上一点（异于、两点），在什么位置时，是直角三角形？(3)为直线上的一动点（异于、两点），当，满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出，满足的数量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据根与系数的关系可得、，再根据矩形的性质结合已知条件可得，即，解得，；然后再根据a、b的正负求得m的值即可；（2）先求出时方程的解，即a、b的值；再结合是直角三角形可得；设，则、，然后代入可求得、即可解答；（3）根据（2）的方法可得，再根据根的判别式可得点有且只有一个，即，然后再根据a、b的正负即可解答．【详解】（1）解：∵和是方程的两根，∴由根与系数的关系可知：，，∵四边形是矩形∴．∴．∴，∴，．∵，∴，∴；当时，，符合题意，∴．（2）解：当时，方程为，∴，．又∵，∴，．由题意可知：当是直角三角形时，，∴．设，则，∴，解得，，∴当时，为直角三角形．（3）解：由（2）同理可列方程，即，当时，点有且只有一个，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键
第21章 一元二次方程（A卷·基础提升卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．2．已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，3 B．1， C．，3 D．，3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．A． B．C． D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．5．如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）A． B．C． D．6．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）A．， B．， C．， D．，8．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（ ）A．3或 B．或29 C．3或 D．3或299．已知、是方程两根，则的值( )A． B． C． D．10．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使关于的一元二次方程有实数解．且关于的分式方程有整数解，则符合条件的的值的和是（ ）A． B． C． D．2二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．方程的根为 ．12．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．14．方程的系数a，b，c满足，则方程有一个根为 ．15．一元二次方程的两根为，则 16．已知、，满足等式：，则 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．18．（8分）已知一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式．解关于y的方程．19．（8分）已知关于的方程有两个不相等的实根，判断关于的方程的根的情况．20．（8分）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．21．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利元，那么每件工艺品单价应降多少元？(2)能否通过降价使商店每天盈利达到元？请说明理由．22．（10分）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形是菱形？(2)若，求m的值．23．（10分）人们常常在室内摆放一些绿色植物，这样做不仅增加了温馨舒适度，还有助于提高室内空气的质量．前年某小区为更好地提高住户的居住感受，为已入住的住户购置A、B两个品种的绿色植物共900盆．其中，A品种每盆20元，B品种每盆30元（1）已知该小区前年购置这900盆绿色植物共花费23000元，请分别求出已购置的A、B品种的数量；（2）今年该小区决定再次为已入住的住户购置绿色植物C、D两个新品种．已知C品种今年每盆的价格比A品种前年的价格优惠a%，D品种今年每盆的价格比B品种前年的价格优惠．由于小区入住率的提高，今年需要购置C品种的数量比A品种前年购置的数量增加了，购置D品种的数量比B品种前年购置的数量增加了a%，于是今年的总花费比前年增加了．求a的值．24．（12分）如图，在矩形中，，． (1)若，为方程的两根，且，求的值；(2)在（1）的条件下，为上一点（异于、两点），在什么位置时，是直角三角形？(3)为直线上的一动点（异于、两点），当，满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出，满足的数量关系．第21章 一元二次方程（A卷·基础提升卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可．【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，∴A是一元二次方程，符合题意；B、整理得：，是一元一次方程，不符合题意；C、方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意；D、是一元三次方程，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．2．已知一元二次方程的二次项系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）A．1，3 B．1， C．，3 D．，【答案】C【分析】找出一元二次方程的一次项系数，常数项即可．【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，3，故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即，故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【答案】C【分析】把x＝0代入方程x2+﹣x+a2﹣1＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．【详解】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．如图，有一长为，宽为的矩形纸片，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形纸盒，若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为，求剪去的小正方形的边长，设剪去的小正方形的边长为，根据题意可列方程为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是，则长方体纸盒的底面长为，宽为，依题意，得：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，∴，∵，，∴，∴，，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程、，均为常数且的解是，，对于关于的一元二次方程的解，即或，即，，关于的一元二次方程的解是，．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．8．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值为（ ）A．3或 B．或29 C．3或 D．3或29【答案】B【分析】设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根，利用根与系数的关系均得到与的关系，进而消去，得到两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到，，的值，相加即可．【详解】解：设方程的两个根为，，方程有整数根，设其中，为整数，且，则方程的两根为，，，，两式相加，得，即，或，解得或，又，，，或，，，，，或者，，，或，故或29，故选：B．【点睛】主要考查一元二次方程根与系数关系的应用，利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键，消去后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点．9．已知、是方程两根，则的值( )A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用一元二次方程的解的定义和降次的方法得到，，，则原式可化简为，接着利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：，是方程的两根，，， ，，则，即，，根据根与系数的关系得，原式．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则， ．10．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使关于的一元二次方程有实数解．且关于的分式方程有整数解，则符合条件的的值的和是（ ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由一元二次方程有实数解，确定a的取值范围，由分式方程有整数解，确定a的值即可判断．【详解】方程有实数解，∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，解得a⩽2∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2方程解得y=+2∵y有整数解∴a=−4，0，2，4，6综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，符合条件的a的值的和是−2故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．第Ⅱ卷二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．方程的根为 ．【答案】【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．【详解】解：，，或,解得，故答案为： ．12．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．【答案】2【分析】根据一元二次方程的概念，即可得出关于m的一元一次不等式及方程，解之即可得出m的值．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，解得：，故答案为：2【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．【答案】且【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴且，解得且．故答案为：且【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键．14．方程的系数a，b，c满足，则方程有一个根为 ．【答案】【分析】由满足且，可得当时，有．由此即可解答．【详解】由题意，一元二次方程满足且，∴时，代入方程，有；综上可知，方程必有一根为．故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．15．一元二次方程的两根为，则 【答案】【分析】根据根与系数的关系表示出和即可；【详解】∵，∴，，，∴，，∴，=，=．故答案为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．16．已知、，满足等式：，则 ．【答案】【分析】根据题意可得出，为以为未知数的一元二次方程的两根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】解：∵∴，∴∵满足∴，为以为未知数的一元二次方程的两根，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，得出，为以为未知数的一元二次方程的两根是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：∴．（2）解： ，即：∴．（3）解：∵∴∴．18．（8分）已知一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式．解关于y的方程．【答案】．【分析】先根据方程根的定义，求出，再根据二次根式的非负性，求出a，b，从而求出c，然后利用公式法解方程即可．【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1，∴，∵a、b满足等式，，∴，∴，∴关于y的方程为：，，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．19．（8分）已知关于的方程有两个不相等的实根，判断关于的方程的根的情况．【答案】有两个不相等的实数根．【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合第一个方程，可确定p的取值范围．再由不等式的性质可求出第二个方程的根的判别式的符号，即可确定其根的情况．【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根，∴，且，解得：且．∵关于的方程的根的判别式，∴，且，∴关于的方程，有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．20．（8分）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为3，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）对式子进行分解，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解；（2）由根与系数的关系可得，则分类进行讨论，从而可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，解得，∴无论k为何值，此方程总有一个根是定值，且．（2）令方程的两根为：，则有：，，若斜边为3，则另两直角边分别为2和k．∴，∴，解得或，∵．∴舍去；故；若斜边为k，∴，∴，解得或，∵．∴舍去；综上所述：或．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，勾股定理，分类思想，解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用．21．（8分）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利元，那么每件工艺品单价应降多少元？(2)能否通过降价使商店每天盈利达到元？请说明理由．【答案】(1)商店想通过销售这种工艺品每天想盈利元，每件工艺品单价应降元(2)不能，理由见解析【分析】（1）设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（2）解：设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，依题意，得：，整理，得，解得：，（不合题意，舍去）．答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利元，每件工艺品单价应降元；（2）不能，理由如下：解：设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，依题意，得：，整理，得：．，该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．22．（10分）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形是菱形？(2)若，求m的值．【答案】(1)当时，四边形为菱形(2)m的值为1【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可；（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，∴当时，平行四边形ABCD是菱形，∵、的长是关于x的方程的两个实数根，，即，解得：，∴当时，四边形ABCD为菱形；（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，，，∵，，即，整理得：解得：，，，∴不合题意，∴m的值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键．23．（10分）人们常常在室内摆放一些绿色植物，这样做不仅增加了温馨舒适度，还有助于提高室内空气的质量．前年某小区为更好地提高住户的居住感受，为已入住的住户购置A、B两个品种的绿色植物共900盆．其中，A品种每盆20元，B品种每盆30元（1）已知该小区前年购置这900盆绿色植物共花费23000元，请分别求出已购置的A、B品种的数量；（2）今年该小区决定再次为已入住的住户购置绿色植物C、D两个新品种．已知C品种今年每盆的价格比A品种前年的价格优惠a%，D品种今年每盆的价格比B品种前年的价格优惠．由于小区入住率的提高，今年需要购置C品种的数量比A品种前年购置的数量增加了，购置D品种的数量比B品种前年购置的数量增加了a%，于是今年的总花费比前年增加了．求a的值．【答案】（1）前年已购置的A品种400盆，B品种500盆；（2）30【分析】（1）设前年已购置的A、B品种的数量分别为x盆和y盆，根据“购置A、B两个品种的绿色植物共900盆，购置这900盆绿色植物共花费23000元”，列出二元一次方程组，即可求解；（2）根据等量关系，列出关于的一元二次方程，即可求解．【详解】（1）设前年已购置的A、B品种的数量分别为x盆和y盆，由题意得：，解得：，答：前年已购置的A品种400盆，B品种500盆；（2）由题意得：，设a%＝t，则，化简得：﹣10t2+3t＝0，∴t（﹣10t+3）＝0，∴t1＝0（舍），，∴，∴a＝30，答：a的值为30．【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元二次方程的实际应用，掌握等量关系，列出二元一次方程组或一元二次方程，是解题的关键．24．（12分）如图，在矩形中，，． (1)若，为方程的两根，且，求的值；(2)在（1）的条件下，为上一点（异于、两点），在什么位置时，是直角三角形？(3)为直线上的一动点（异于、两点），当，满足什么条件时，使为直角三角形的点有且只有一个？请直接写出，满足的数量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据根与系数的关系可得、，再根据矩形的性质结合已知条件可得，即，解得，；然后再根据a、b的正负求得m的值即可；（2）先求出时方程的解，即a、b的值；再结合是直角三角形可得；设，则、，然后代入可求得、即可解答；（3）根据（2）的方法可得，再根据根的判别式可得点有且只有一个，即，然后再根据a、b的正负即可解答．【详解】（1）解：∵和是方程的两根，∴由根与系数的关系可知：，，∵四边形是矩形∴．∴．∴，∴，．∵，∴，∴；当时，，符合题意，∴．（2）解：当时，方程为，∴，．又∵，∴，．由题意可知：当是直角三角形时，，∴．设，则，∴，解得，，∴当时，为直角三角形．（3）解：由（2）同理可列方程，即，当时，点有且只有一个，∴，又∵，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键
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