初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）综合与实践 进位制的认识与探究练习

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）综合与实践 进位制的认识与探究练习，共33页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8194" 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc8194 \h 1
\l "_Tc1575" 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc1575 \h 2
\l "_Tc3190" 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 PAGEREF _Tc3190 \h 2
\l "_Tc12226" 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc12226 \h 3
\l "_Tc16869" 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc16869 \h 4
\l "_Tc31572" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc31572 \h 4
\l "_Tc5040" 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 PAGEREF _Tc5040 \h 4
\l "_Tc15" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc15 \h 5
知识点：绝对值
（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
绝对值可表示为：
或 ；
（3） ； ；
（4）是重要的非负数，即，非负性.
【题型1 根据绝对值的非负性求值】
【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若2021a+22022+2023b−1=0，则a+b2022= ．
【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）若|a|+|b|=|a+b|，则a、b满足的关系是 ．
【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知a−2+(b+12)2=0，则a2019b2020= ．
【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若|a−1|+|ab−2|=0，则1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)= ．
【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若m满足方程2019−m=2019+m，则m−2020等于（ ）
A．m−2020B．−m−2020C．m+2020D．−m+2020
【变式2-1】（23-24七年级·广西贵港·期中）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式a−b−a+b+b−c的结果是（ ）

A．2a−b+cB．b−cC．b+cD．−b−c
【变式2-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若2a+b=2a−3c−b−3c，则|2a+3b+3c|= （用含a，b的式子表示）．
【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知a=−a，|b|b=−1，c=c，化简a+b+a−c−b−c= ．
【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】
【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（ ）
①若a=−2，b=3，则AB+BC=6；②若a+c=2b，则B为AC的中点；③化简c−b+a−b−a−c=2c；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若a=−2，b=0，c=4点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若a+2+a−1b−2+b−5c−6+c−10=36，则2020a+2021b+2022c最小值为12134．
A．3B．4C．5D．6
【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且|a−b|=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(ab时，{a，b}的值为b−a．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论：
①若x=−3，则x=±3；
②若−x=−3，则x=3；
③若x=y，则x=y；
④若x+y=0，则xy=1；
⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将a表示为a=aa≥0−aa<0，故化简a+b可得a+b，a−b，−a−b或−a+b四种不同结果，给出下列说法：
①化简x+y+z一共有8种不同的结果；
②化简x+x−1+x+2一共有8种不同的结果；
③若an=2n−9，Sn=a1+a2+…+an（n为正整数），则当Sn=916时，n=34．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若2a+4−5a+1−3a的值是一个定值，则a的取值范围是（ ）
A．a=0B．13【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：a−a=0，则a的取值范围是
【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当|x+2|+|x−3|取最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ．
【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式x−2+x+3+x−1+x+1≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．
【题型5 利用绝对值的性质化简求值】
【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数a，b，c满足a+b+c=a+b−c，且c≠0，则a+b−c+2−c−10= ．
【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ．
【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则a−c= ．
【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10， | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（ ）
A．7B．9C．11D．13
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知abc<0，a+b+c>0且x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|．则x的值为（ ）
A．0B．0或1C．0或−2或1D．0或1或−6
【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bb+cc的值为（ ）
A．1B．−1或−3C．1或−3D．−1或3
【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知−4xyz|3xyz|=43，则|x|x+y|y|+|z|z值为多少（ ）
A．1或﹣3B．1或﹣1C．﹣1或3D．3或﹣3
【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x−2024|−p|=−q始终存在四个不同的实数解，则p+q|p+q|+p−q|p−q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为 ．
【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】
【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
【变式7-1】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数−2的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示−5的点左侧，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12，b−d=7，a−c=9，则b−c等于______．

(4)若b=a，c=12a，d=13a，e=14a，f=15a，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为______．
【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：

(1)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：b−c−a+b+c−a．
(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得2+x+x−5=11．
(3)若m、n为非负整数，且m−2+m−6n−1+n+2=24，求m、n的值．
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】（23-24七年级·四川南充·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．设x=|a−b|+|a−c|，y=|a−b|+|b−c|，z=|a−c|+|b−c|．那么x，y，z计算结果最小的是（ ）
A．xB．yC．zD．根据a，b，c的值才能确定
【变式8-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y=（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【变式8-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若0A．30B．0C．15D．一个与p有关的整式
【变式8-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a−b|+|b−c|+|c−a|的最大值是 ．
专题2.11 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】
【人教版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8194" 【题型1 根据绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc8194 \h 2
\l "_Tc1575" 【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc1575 \h 3
\l "_Tc3190" 【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】 PAGEREF _Tc3190 \h 5
\l "_Tc12226" 【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc12226 \h 10
\l "_Tc16869" 【题型5 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc16869 \h 12
\l "_Tc31572" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc31572 \h 15
\l "_Tc5040" 【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】 PAGEREF _Tc5040 \h 18
\l "_Tc15" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc15 \h 25
知识点：绝对值
（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
绝对值可表示为：
或 ；
（3） ； ；
（4）是重要的非负数，即，非负性.
【题型1 根据绝对值的非负性求值】
【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若2021a+22022+2023b−1=0，则a+b2022= ．
【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由a+22022≥0，b−1≥0可得2021a+22022≥0，2023b−1≥0，进而由非负数的性质得到a+2=0，b−1=0，即可求出a、b的值，再把a、b的值代入代数式计算即可求解，掌握两个非负数的和为0，这两个非负数均为0是解题的关键．
【详解】解：∵a+22022≥0，b−1≥0，
∴2021a+22022≥0，2023b−1≥0，
∵2021a+22022+2023b−1=0，
∴a+2=0，b−1=0，
∴a=−2，b=1，
∴a+b2022=−2+12022=1，
故答案为：1．
【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）若|a|+|b|=|a+b|，则a、b满足的关系是 ．
【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0
【详解】∵|a|+|b|=|a+b|，
∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0，
故答案为a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0．
【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知a−2+(b+12)2=0，则a2019b2020= ．
【答案】12
【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a、b的值，然后将a2019b2020转化为(a2019b2019)⋅b的形式可求得.
【详解】∵a−2+(b+12)2=0
∴a－2=0，b+12=0
解得：a=2，b=−12
a2019b2020=(a2019b2019)⋅b=(−1)2019×(−12)=12
故答案为：12
【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a、b的值.
【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若|a−1|+|ab−2|=0，则1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)= ．
【答案】10112024
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键．
【详解】解：∵a−1+ab−22=0，
∴a−1=0，ab−2=0，
解得：a=1，b=2
∴1a+1b+1+1a+2b+2+ … +1a+2022b+2022
=12×3+13×4+⋯+12023×2024
=12−13+13−14+⋯+12023−12024
=12−12024
=10112024，
故答案为：10112024．
【题型2 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若m满足方程2019−m=2019+m，则m−2020等于（ ）
A．m−2020B．−m−2020C．m+2020D．−m+2020
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答.
【详解】当m≥2019时，2019−m=m−2019，不符合题意；
当m≤0时，2019−m=2019+m，符合题意；
当0所以m≤0
m−2020=−m+2020
故选D
【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.
【变式2-1】（23-24七年级·广西贵港·期中）有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式a−b−a+b+b−c的结果是（ ）

A．2a−b+cB．b−cC．b+cD．−b−c
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果.
【详解】解：由数轴可得a<0，b<0，c>0，且|c|<|b|<|a|
∴a-b<0，a+b<0，b-c<0
∴|a−b|−|a+b|+|b−c|
=−(a−b)+(a+b)−(b−c)
=−a+b+a+b−b+c
=b+c
故选C
【点睛】本题考查整式的加减、数轴、绝对值、有理数的大小比较，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答.
【变式2-2】（23-24七年级·广东广州·期中）如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若2a+b=2a−3c−b−3c，则|2a+3b+3c|= （用含a，b的式子表示）．
【答案】4a+4b/4b+4a
【分析】本题考查的是线段的倍分关系，化简绝对值，整式的加减运算，由BC=2AC可得3c=b+2a，结合2a+b=2a−3c−b−3c可得a<0，b>0，a+b>0，再进一步解答即可．
【详解】解：∵BC=2AC，
∴b−c=2(c−a)，
∴3c=b+2a，
∴2a+b=2a−3c−b−3c
=|2a−b−2a|−|b−b−2a|
=|−b|−|−2a| =|b|−|2a|，
∴2a<0，b>0，2a+b>0，
∴a<0，b>0，a+b>0，
∴4a+4b>0，
∴|2a+3b+3c| =|2a+3b+b+2a| =|4a+4b| =4a+4b．
故答案为：4a+4b
【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知a=−a，|b|b=−1，c=c，化简a+b+a−c−b−c= ．
【答案】−2a
【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据题意求出a≤0,b<0,c≥0，得到a+b<0，a−c≤0，b−c<0，即可得到答案．
【详解】解：∵ a=−a，|b|b=−1，c=c，
∴a≤0,b<0,c≥0，
∴a+b<0，a−c≤0，b−c<0，
则原式=−a−b−a+c+b−c=−2a．
故答案为：−2a．
【题型3 利用绝对值的定义判断结论正误】
【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（ ）
①若a=−2，b=3，则AB+BC=6；②若a+c=2b，则B为AC的中点；③化简c−b+a−b−a−c=2c；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若a=−2，b=0，c=4点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若a+2+a−1b−2+b−5c−6+c−10=36，则2020a+2021b+2022c最小值为12134．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】①不知道c表示的数字无法确定AB+BC的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据a+2+a−1b−2+b−5c−6+c−10=36，得到a+2+a−1=3,b−2+b−5=3,c−6+c−10=4，推出−2≤a≤1，2≤b≤5，6≤c≤10，得到当a=−2,b=2,c=6时，2020a+2021b+2022c有最小值，进而求出最小值即可．
【详解】解：①不知道c表示的数字无法确定AB+BC的值，故①错误；
②∵a+c=2b，
∴B为AC的中点，故②正确；
③由图可知：a∴c−b＋a−b−a−c=c−b−a+b+a−c=0，故③错误；
④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小，
∴点M与点B重合；故④正确；
⑤设点M表示的数为m，
当点M在点A左边时，依题意有：−2−m+0−m+4−m=13，
解得：m=−113;
当点M在点C右边时，依题意有：m+2+m−0+m−4=13，
解得：m=5；
综上，点M表示的数为−113或5，故⑤错误；
⑥∵a+2+a−1b−2+b−5c−6+c−10=36，
∴a+2+a−1=3,b−2+b−5=3,c−6+c−10=4，
∴−2≤a≤1，2≤b≤5，6≤c≤10，
∴当a=−2,b=2,c=6时：2020a+2021b+2022c有最小值为−4040+4042+12132=12134，故⑥正确；
综上：正确的是②④⑥，共3个；
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减，方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义和根据数轴上点的位置判断式子的符号，是解题的关键．
【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1时，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或−3；
②已知a，b，c是有理数，且a+b+c=0，abc<0时，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为−1或3；
③已知x≤4时，那么x+3−x−4的最大值为7，最小值为−7；
④若a=b且|a−b|=23，则式子a+b−abb2+1的值为110；
⑤如果定义a,b=a+b(a>b)0a=bb−a(ab时，{a，b}的值为b−a．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】①由题意可得，abc<0，则a，b，c中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc<0可得a，b，c中有一个值为负数，求解即可；③根据x≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a=b或a=−b，分别求解即可；⑤根据题意可得a，b异号，分两种情况求解即可．
【详解】解：①由|abc|abc=−1可得abc<0，a，b，c中有一个或三个值为负数，
当a<0，b>0，c>0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1+1+1=1
当a<0，b<0，c<0时，|a|a+|b|b+|c|c=−1−1−1=−3
故①正确；
②由abc<0和a+b+c=0得a，b，c中有一个值为负数，
∴a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a
∴−a|a|+−b|b|+−c|c|=1−1−1=−1，
故②错误；
③当−3≤x≤4时，x−4≤0，x+3≥0，
则x+3−x−4=x+3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7
当x<−3时，x−4≤0，x+3<0
则x+3−x−4=−x−3+x−4=−7
故③正确；
④由a=b可得a=b或a=−b
当a=b时，a−b=0与|a−b|=23矛盾，舍去；
当a=−b时，a−b=−2b，a+b=0且2b=23
解得a=13,b=−13或a=−13,b=13
则ab=−19，b2=19
a+b−abb2+1=1919+1=110
故④正确；
⑤由题意可得a，b异号，
当a<0，b>0时，a=−a，b=b，
由a>b可得−a>b，即a+b<0符合题意，此时a<0则{a，b}=b−a
当a>0，b<0时，a=a，b=−b
由a>b可得a>−b，即a+b>0，与a+b<0矛盾，舍去，
综上{a，b}=b−a
故⑤正确；
正确的个数为4
故选：C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论：
①若x=−3，则x=±3；
②若−x=−3，则x=3；
③若x=y，则x=y；
④若x+y=0，则xy=1；
⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若x=−3，则x=±3，正确，不符合题意；
②若−x=−3，则x=±3，原结论不正确，符合题意；
③若x=y，则x=±y，原结论不正确，符合题意；
④若x+y=0，当y≠0时，则xy=1，原结论不正确，符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，
∴a、b、c有四种情形：a<0，b<0，c<0或a<0，b>0，c<0或a<0，b>0，c>0或a<0，b<0，c>0，
当a<0，b<0，c<0时，原式=−1−1−1−−1=−2；
当a<0，b>0，c<0时，原式=−1+1−1−1=−2，
当a<0，b>0，c>0时，原式=−1+1+1−−1=2，
当a<0，b<0，c>0时，原式=−1−1+1−1=−2．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则aa+bb+cc−abcabc的值为2或−2．正确，不符合题意；
故答案为：①⑤．
【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将a表示为a=aa≥0−aa<0，故化简a+b可得a+b，a−b，−a−b或−a+b四种不同结果，给出下列说法：
①化简x+y+z一共有8种不同的结果；
②化简x+x−1+x+2一共有8种不同的结果；
③若an=2n−9，Sn=a1+a2+…+an（n为正整数），则当Sn=916时，n=34．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】①由于|x|、|y|、|z|的结果分别有2种，则|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种；②根据x的取值范围化简绝对值可得当x≥1时，|x|+|x−1|+|x+2|=3x+1；当0≤x<1时，|x|+|x−1|+|x+2|=x+3；当−2≤x<0时|x|+|x−1|+|x+2|=−x−1；当x<−2时，|x|+|x−1|+|x+2|=−3x+3；则|x|+|x−1|+|x+2|的结果共有4种；③根据题意可得Sn=16+(n−4)2，再由16+(n−4)2=916求出n的值即可
【详解】解：①∴|x|的结果有两种，|y|的结果有两种，|z|的结果有两种，
∴|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2=8种，故①说法正确；
当x≥1时，|x|+|x−1|+|x+2|
=x+x−1+x+2
=3x+1；
当0≤x<1时，|x|+|x−1|+|x+2|
=x+1−x+x+2
=x+3；
当−2≤x<0时，|x|+|x−1|+|x+2|
=−x+1−x+x−2
=−x−1
当x<−2时，|x|+|x−1|+|x+2|=−x+1−x−x+2=−3x+3；
∴|x|+|x−1|+|x−2|的结果共有4种情况，故②说法错误；
③∵an=|2n−9|
∴Sn=a1+a2+…+an
=7+5+3+1+1+3+5+7+⋯+2n−9
=16+(n−4)2
∵Sn=916
∴16+(n−4)2=916
解得，n=34或n=−26（舍去）
∴n=34
故③说法正确，
∴正确的说法有2个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键
【题型4 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若2a+4−5a+1−3a的值是一个定值，则a的取值范围是（ ）
A．a=0B．13【答案】D
【分析】根据a的范围，分情况利用绝对值的代数意义化简，使其值为常数，即可得到a的范围．
【详解】解：当a＜13时，4-5a＞0，1-3a＞0，
原式=2a+4-5a+1-3a=-6a+5，当a≠0时不合题意；
当13≤a≤45时，4-5a≥0，1-3a≤0，
原式=2a+4-5a+3a-1=3，符合题意；
当a＞45时，4-5a＜0，1-3a＜0，
原式=2a+5a-4+3a-1=10a-5，不合题意，
综上，满足题意a的范围为13⩽a⩽45或a=0．
故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值的化简以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：a−a=0，则a的取值范围是
【答案】a≥0
【分析】利用绝对值的意义进行求解即可得到答案
【详解】解：因为a−a=0，
所以a=a，
因为一个非负数的绝对值等于它本身，
所以，a的取值范围是a≥0，
故答案为：a≥0
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．
【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当|x+2|+|x−3|取最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ．
【答案】 −2⩽x⩽3 5
【分析】x+2+x−3表示数轴上到-2与3的距离之和，可得出最小值以及x的取值范围；
【详解】x+2+x−3表示数轴上到-2与3的距离之和，
当x的取值范围为−2≤x≤3时，x+2+x−3取得最小值，
x+2+x−3≥x+2−x+3=5，最小值为5；
∴x的取值范围为−2≤x≤3时有最小值，最小值为5.
故答案为−2≤x≤3；5.
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义在数轴上求最小值是解题的关键.
【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式x−2+x+3+x−1+x+1≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤7
【分析】根据绝对值的几何意义，x−y 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
x−2+x+3+x−1+x+1=x−2+x−(−3)+x−1+x−(−1)
表示点x到−3 ，−1，1，2四点间距离的和，
∴当x在−1和1之间是距离和最小，
最小值为1−(−1)+2−(−3)=7 ，
∴a≤7 ,
故答案为a≤7．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义：x−y 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键．
【题型5 利用绝对值的性质化简求值】
【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数a，b，c满足a+b+c=a+b−c，且c≠0，则a+b−c+2−c−10= ．
【答案】−8.
【分析】当a+b+c≥0时，则a+b+c=a+b+c,结合已知条件得到c=0，不合题意舍去，从而a+b+c＜0, 可得a+b=0,c＜0,再化简代数式即可得到答案．
【详解】解：当a+b+c≥0时，则a+b+c=a+b+c,
∵a+b+c=a+b−c，
∴a+b+c=a+b−c,
∴c=0，
∵c≠0，所以不合题意舍去，
所以a+b+c＜0,
∴a+b+c=−a−b−c,
∵a+b+c=a+b−c，
∴a+b−c=−a−b−c,
∴a+b=0,
∴c=−c,
∴c＜0,
∴a+b−c+2−c−10=2−c−c−10
=2−c+c−10=−8.
故答案为：−8.
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，同时考查去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ．
【答案】2
【分析】因为a、b、c都为整数，而且|a−b|21+|c−a|2021=1，所以|a−b|与|c−a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．
【详解】解：∵a、b、c为整数，且|a−b|21+|c−a|2021=1，
∴有|a−b|=1，|c−a|=0或|a−b|=0，|c−a|=1，
①若|a−b|=1，|c−a|=0，
则a−b=±1，a=c，
∴|b−c|=|c−b|=|a−b|=1，
∴|a−b|+|b−c|+|c−a|=1+1+0=2，
②|a−b|=0，|c−a|=1，
则a=b，c−a=±1，
∴|b−c|=|c−b|=|c−a|=1，
∴|a−b|+|b−c|+|c−a|=0+1+1=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点，灵活对绝对值的化简进行变形．
【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且a+b+b+c=1，则a−c= ．
【答案】1
【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当a+b=0时，则b+c=1，当a+b=1时，则b+c=0，分类讨论计算即可．
【详解】解：∵a、b、c是整数，
∴a+b，b+c是整数，
∵a+b+b+c=1，
又∵a+b≥0，b+c≥0，
∴ a+b=0时，则b+c=1或a+b=1时，则b+c=0，
∴当a+b=0，b+c=1时，
则a=−b，c=1−b，
∴a−c=−b−1+b=1；
∴当a+b=0，b+c=−1时，
则a=−b，c=−1−b，
∴a−c=−b+1+b=1；
∴当a+b=1，b+c=0时，
则a=1−b，c=−b，
∴a−c=1−b+b=1
∴当a+b=−1，b+c=0时，
则a=−1−b，c=−b，
∴a−c=−1−b+b=1，
综上可得：a−c=1，
故答案为：1．
【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p、q、r、s.若 | p－r |=10， | p－s |=12，| q－s |=9，则 | q－r |=？（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】A
【分析】根据数轴可知p＜q＜r＜s，根据绝对值的性质得：p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，所以q-r=-7，根据绝对值的性质，得出|q-r|的值．
【详解】观察数轴可得，p＜q＜r＜s，
∵|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，
∴p-r=-10，p-s=-12，q-s=-9，
∴p=r-10，p=s-12，
∴r-10=s-12，
∴s=r+2，
∴q-s=q-r-2=-9，
∴q-r=-7，
∴|q-r|=7．
故选A．
【点睛】本题主要考查绝对值性质的运用．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，将式子化简，即可求解．
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知abc<0，a+b+c>0且x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|．则x的值为（ ）
A．0B．0或1C．0或−2或1D．0或1或−6
【答案】A
【分析】由abc<0，a+b+c>0，可得a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得a、b、c的符号有三种情况（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0），再根据绝对值的性质分三种情况求得x的值即可解答．
【详解】∵abc<0，a+b+c>0，
∴a、b、c三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，
∴a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0，
当a<0，b>0，c>0时，ab<0，ac<0，bc>0，
∴x=a|a|+b|b|+c|c|+ab|ab|+ac|ac|+bc|bc|
= a−a+bb+cc+ab−ab+ac−ac+bcbc
=−1+1+1−1−1+1
=0；
当a>0，b<0，c>0时，ab<0，ac>0，bc<0，
∴x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
= aa+b−b+cc+ab−ab+acac+bc−bc
=−1+1+1−1+1−1
=0；
当a>0，b>0，c<0时，ab>0，ac<0，bc<0，
∴x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc
= aa+bb+c−c+abab+ac−ac+bc−bc
=1+1−1+1−1−1
=0 ．
综上，当abc<0，a+b+c>0时， x=aa+bb+cc+abab+acac+bcbc =0．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到a、b、c的符号有三种情况（a<0，b>0，c>0或a>0，b<0，c>0或a>0，b>0，c<0）是解决问题的关键．
【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bb+cc的值为（ ）
A．1B．−1或−3C．1或−3D．−1或3
【答案】A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵abc<0
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵a+b+c=0
∴a，b，c的符号为1负2正
令a<0，b>0，c>0
∴a=−a，b=b，c=c
∴aa+bb+cc =−1+1+1=1
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知−4xyz|3xyz|=43，则|x|x+y|y|+|z|z值为多少（ ）
A．1或﹣3B．1或﹣1C．﹣1或3D．3或﹣3
【答案】A
【详解】试题分析：根据绝对值的性质及连乘法则，可判断出x、y、z的符号，再根据正负性即可求值.
解：∵−4xyz|3xyz|=43，
∴xyz<0，
∴x、y、z的符号为三负或两正一负.
当x、y、z均为负值时，
原式＝（－1）+（－1）+（－1）＝－3；
当x、y、z为两正一负时，
原式＝1+1+（－1）＝1；
∴|x|x+y|y|+|z|z值为1或－3.
故选A.
点睛：本题涉及的知识有绝对值、有理数的乘法.解题的关键在于要利用已知条件结合绝对值的性质、有理数连乘法则判断出x、y、z的符号，同时要注意利用分类讨论思想.
【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程||2023x−2024|−p|=−q始终存在四个不同的实数解，则p+q|p+q|+p−q|p−q|+pq|pq|+p|p|+q|q|的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定q<0且|p|>|q|是解题的关键．
【详解】解：∵方程||2023x−2024|−p|=−q，
∴−q>0，即q<0，
∴|2023x−2024|−p=q或|2023x−2024|−p=−q，
∴|2023x−2024|=q+p或|2023x−2024|=p−q，
∵方程始终存在四个不同的实数解，
∴p+q>0，p−q>0，
∴p>0且|p|>|q|，
∴ p+q|p+q|+p−q|p−q|+pq|pq|+p|p|+q|q|=1+1−1+1−1=1，
故答案为：1．
【题型7 利用分类讨论思想解决多绝对值问题】
【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点A、B、C所对应的数a、b、c都不为0，且C是AB的中点，如果a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c=0，则原点O的大致位置在（ ）

A．A的左边B．A与C之间C．C与B之间D．B的右边
【答案】B
【分析】可得a+b=2c，从而可得a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c =a+b−b+a；然后根据选项判断a，b，a+b的符号，进行化简即可求解．
【详解】解：∵ C是AB的中点，
∴a+b=2c，
∴ a+b−a−2c+b−2c−a+b−2c
=a+b−a−a+b+b−a+b−a+b−a+b
=a+b−b+a−0
=a+b−b+a；
A． 在A的左边，∴a>0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b+a=2a≠0，
故此项不符合题意；
B． 在A与C之间时，∴a<0，b>0，a+b>0，
a+b−b+a
=a+b−b−a=0，
故此项符合题意；
C．在C与B之间时，∴a<0，b>0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b−b−a
=−2a−2b≠0，
故此项不符合题意；
D．在B的右边时，∴a<0，b<0，a+b<0，
a+b−b+a
=−a−b+b−a
=−2a≠0，
故此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键．
【变式7-1】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若a−2=18，且3a−c=c，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6B．2C．8D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对a−2=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3a−c=c进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，320−c=c和3−16−c=c，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】∵ a−2=18，
∴ a−2=18或a−2=−18，
∴ a=20或a=−16，
当a=20时，3a−c=c等价于320−c=c，即60−3c=c，
∴ 60−3c=c或60−3c=−c，
∴ c=15或c=30；
当a=−16时，3a−c=c等价于3−16−c=c，即−48−3c=c，
∴ −48−3c=c或−48−3c=−c，
∴ c=−12或c=−24，
故c=15或c=30或c=−12或c=−24，
∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，c的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a−b，若a>b，则可化简为AB=a−b．请你利用数轴解决以下问题：

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数−2的点的距离是3个单位长度，则m的值为______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示−5的点左侧，则m−2+m+5=______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a−d=12，b−d=7，a−c=9，则b−c等于______．

(4)若b=a，c=12a，d=13a，e=14a，f=15a，则式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为______．
【答案】(1)1或−5
(2)−2m−3
(3)4
(4)54
【分析】（1）由题意易得m−−2=3，然后求解即可；
（2）由题意易得m−2<0,m+5<0，然后化简绝对值即可；
（3）由数轴可知a（4）由题意易得a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，−4，9，−16，25的距离之和最小，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：m−−2=3，
∴m+2=±3，
∴m=1或−5；
（2）解：由题意得：m−2<0,m+5<0，
∴m−2+m+5=2−m−m−5=−2m−3；
故答案为−2m−3；
（3）解：由数轴可知：a∵a−d=12，b−d=7，a−c=9，
∴d−a=12，d−b=7，c−a=9，
∴b−c
=c−b
=c−a+d−b−d−a
=9+7−12=4；
故答案为4；
（4）解：∵b=a，c=12a，d=13a，e=14a，f=15a，
∴b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5
=a−1+2×12a+4+3×13a−9+4×14a+16+5×15a−25
=a−1+a+4+a−9+a+16+a−25，
根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，−4，9，−16，25的距离之和最小；
∴当a≤−16时，则原式=1−a−a−4+9−a−a−16+25−a=15−5a，此时当a=−16时，有最小值95；
当−16当−4当1当9当a>25时，则原式=a−1+a+4+a−9+16+a+a−25=5a−15，此时无最小值；
综上所述：当a=1时，式子b−1+2c+2+3d−3+4e+4+5f−5的最小值为54；
故答案为54．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键．
【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：

(1)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：b−c−a+b+c−a．
(2)请你找出所有符合条件的整数x，使得2+x+x−5=11．
(3)若m、n为非负整数，且m−2+m−6n−1+n+2=24，求m、n的值．
【答案】(1)2c；
(2)x=−4或x=7；
(3)m=0n=0或m=0n=1或m=8n=0或m=8n=1．
【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想．
（1）观察数轴上a、b、c的正负，去除绝对值符号，化简；
（2）分区间讨论符合条件的整数x；
（3）m−2+m−6n−1+n+2表示24的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出m、n的值．
【详解】（1）解：由题意得, a∴b−c<0，a+b<0，c−a>0，
∴b−c−a+b+c−a
=c−b−−a−b+c−a
=c−b+a+b+c−a
=2c．
（2）解：①当x<−2时,
2+x+x−5=11，
∴−x−2−x+5=11，
解得：x=−4；
②当−2≤x<0时,
2+x+x−5=11
∴2+x−x+5=11，
∵7≠11，
∴等式不成立．
③当0≤x≤5时,
由2+x+x−5=11，
得2+x+x−5=11，
解得：x=7，
∴x=−4或x=7时，2+x+x−5=11．
（3）解：m−2表示m到2的距离，m−6表示m到6的距离，
当m在2与6之间时（含端点）m−2+m−6=4，
当m在2左侧时，m1到6的距离大于6−2=4，
当m在6右侧时，m2到2的距离大于6−2=4，
则m在上述两种情况时m−2+m−6>4，
∴m−2+m−6≥4，
同理：n−1+n+2≥3，
又∵m−2+m−6n−1+n+2=24，m、n为非负整数，
∴可得：① m−2+m−6=8n−1+n+2=3，
② m−2+m−6=6n−1+n+2=4，
③ m−2+m−6=4n−1+n+2=6，
解方程组①：0≤m≤2时，m−2+m−6=2−m+6−m=8，
解得：m=0，
2m>6时，m−2+m−6=m−2+m−6=2m−8=8，
解得：m=8，
0≤n≤1时，n−1+n+2=1−n+n+2=3，
∴满足，n=0或n=1，
n>1时，n−1+n+2=n−1+n+2=2n+1=3，
解得：n=1（舍去），
故m=0或8n=0或1，
即m=0n=0，m=0n=1，m=8n=0，m=8n=1，
解方程组②：0≤m≤2时，m−2+m−6=2−m+6−m=8−2m=6，
解得：m=1，
2m>6时，m−2+m−6=m−2+m−6=2m−8=6，
解得：m=7，
0≤n≤1时，n−1+n+2=1−n+n+2=3≠4，
n>1时，n−1+n+2=n−1+n+2=2n+1=4，
解得：n=32（不合题意），
故方程组②无解；
解方程组③ 0≤m≤2时，m−2+m−6=2−m+6−m=8−2m=4，
解得：m=2，
2∴m=3，4，5，6，
m>6时，m−2+m−6=m−2+m−6=2m−8=4，
解得：m=6（舍去），
0≤n≤1时，n−1+n+2=1−n+n+2=3≠6，
n>1时，n−1+n+2=n−1+n+2=2n+1=6，
解得：n=52（不合题意），
故方程组③无解，
综上：m=0n=0或m=0n=1或m=8n=0或m=8n=1．
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】（23-24七年级·四川南充·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．设x=|a−b|+|a−c|，y=|a−b|+|b−c|，z=|a−c|+|b−c|．那么x，y，z计算结果最小的是（ ）
A．xB．yC．zD．根据a，b，c的值才能确定
【答案】C
【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置，确定a-b，a-c，b-c的正负，计算出x、y、z的值，比较大小即可．
【详解】解：根据a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，
a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0，
x=|a−b|+|a−c|=b−a+c−a=b+c−2a，
y=|a−b|+|b−c|=b−a+b−c=2b−a−c，
z=|a−c|+|b−c|=c−a+b−c=b−a，
y−z=b−c>0，∴y>z，
x−z=c−a>0，∴x>z，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义，体现了数形结合思想，根据数轴判断出a，b，c的大小，根据绝对值的意义进行计算化简，再用求差法比较x、y、z的大小是解题关键．
【变式8-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最小的值为y，则x+y=（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少．
【详解】解：∵abc>0，a+b+c=0，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，
∴m=−cc+2−aa+3−bb，
分三种情况讨论，
当a<0，b<0，c>0时，m=1−2−3=−4，
当a<0，c<0，b>0时，m=−1−2+3=0，
当b<0，c<0，a>0时，m=−1+2−3=−2，
∴x=3，y=−4，则x+y=3−4=−1．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
【变式8-2】（23-24七年级·湖南长沙·期中）若0A．30B．0C．15D．一个与p有关的整式
【答案】C
【分析】根据x的范围化简x−p+x−15+x−p+15为30-x，再结合x的范围，求得它的最小值即可.
【详解】∵p≤x≤15，
∴x-p≥0，x-15≤0，x-p-15≤0，
∴x−p+x−15+x−p+15=x−p+15−x+p+15−x=30−x
故当x=15时，x−p+x−15+x−p+15的最小值为30-15=15，
故答案为C.
【点睛】本题考查的是绝对值的解法，根据题干判断出绝对值符号里的式子的正负是解题的关键.
【变式8-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a−b|+|b−c|+|c−a|的最大值是 ．
【答案】1346
【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可．
【详解】解：∵a≤b≤c，
∴|a−b|+|b−c|+|c−a|=b−a+c−b+c−a=2c−2a，
∵a，b，c为3个自然数，
2c−2a要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，2b+3c=2021，
当b=1时，c最大，最大值为673，
2c−2a=673×2−0=1346，
故答案为：1346．
【点睛】本题考查了绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定a、b、c的最值．