苏科版八年级数学上册专题2.8绝对值贯穿有理数的八大经典题型同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题2.8绝对值贯穿有理数的八大经典题型同步练习(学生版+解析)，共25页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc11165" 【题型2 利用绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc11165 \h 1
\l "_Tc19167" 【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc19167 \h 2
\l "_Tc14840" 【题型4 利用绝对值的定义判断正误】 PAGEREF _Tc14840 \h 2
\l "_Tc7552" 【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc7552 \h 3
\l "_Tc23072" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc23072 \h 3
\l "_Tc16777" 【题型7 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc16777 \h 4
\l "_Tc31398" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc31398 \h 4
【题型1 利用绝对值的性质化简求值】
【例1】（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|=（ ）

A．7B． 9C．11D．13
【变式1-1】（2023春·山东威海·六年级校联考期中）有理数a、b，在数轴上的位置如图所示，化简a+b+c−c−b的结果为（ ）
A．−aB．aC．a+2cD．−a−2c
【变式1-2】（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习）化简：|x−2|−|x+1|+|x−4|.
【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）已知a+a=0,bb=−1,c=c,化简：a+2b−c−a+−b−a= ．
【题型2 利用绝对值的非负性求值】
【例2】（2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中）若有理数x、y满足|x|=3, |y+1|=4，且|x+y|=−(x+y)，求|x|+|y|的值．
【变式2-1】（2023春·七年级课时练习）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ．
【变式2-2】（2023春·重庆·七年级校考阶段练习）已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ．
【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）当1【变式3-1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知有理数a<−1，则化简a+1+1−a的结果是 ．
【变式3-2】（2023春·上海·六年级专题练习）已知非零实数a，b，c，a+a=0，ab=ab，c−c=0，化简b−a+b−c−b+a−c．
【变式3-3】（2023春·河南新乡·七年级校考期中）已知，|a|＝﹣a，bb=−1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ．
【题型4 利用绝对值的定义判断正误】
【例4】（2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数D．a、c为正数，b为0
【变式4-1】（2023春·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①a+b+(−c)>0；②(−a)−b+c>0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④bc−a>0；⑤|a−b|−|c+b|+|a+c|=−2b．其中，正确的是 ．（填序号）
【变式4-2】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b为有理数，下列说法：
①若a、b互为相反数，则ab=1；
②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；
③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；
④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数．
其中错误的是 （填写序号）．
【变式4-3】（2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中）已知a、b为有理数，且a<0，ab<0，a+b<0，则下列结论：①b（a+b）>0；②a>b；③a<−b【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例5】（2023春·七年级单元测试）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣6|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（ ）
A．a≥4.5B．a≥5C．a≥5.5D．a≥6
【变式5-1】（2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）已知|5x﹣6|＝2﹣5x，则x的范围是（ ）
A．x>52B．x<25C．x≥25D．x≤25
【变式5-2】（2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末）数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b≤|a|，则b的值不可能是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．0
【变式5-3】（2023春·山东济南·七年级校联考期中）若|x﹣6+3﹣6x|=|x﹣6|+|3﹣6x|成立，则x的范围是 ．
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bb+cc的值为（ ）
A．1B．−1或−3C．1或−3D．−1或3
【变式6-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知有理数a、b、c、d满足abcdabcd=−1，求a|a|+b|b|+c|c|+d|d|的值．
【变式6-3】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）已知x1，x2，x3，⋯x2021都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，求y1的值．
解：当x1>0时，y1=x1x1=x1x1=1，当x1﹤0时，y1=x1x1=−x1x1=−1，所以y1=±1
(1)若y2=|x1|x1+|x2|x2，则y2的值为______；
(2)若y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3，则y3的值为______；
(3)由以上探究猜想，y2021=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x2021x2021，共有_____个不同的值．
(4)应用：如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为______？
【题型7 分类讨论多绝对值问题】
【例7】（2023春·广西南宁·七年级校考期中）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a−b|+|b−c|=c−a，设d在a、c之间，则|a−d|+ |d−c|+|c−b|+|a−c|= ．
【变式7-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知a，b，c，d都是整数，且a+b+b+c+c+d+d+a=2，则a+b= ．
【变式7-2】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式2021x+20212+x+2021+2022x+20222的值是同一个常数，则此常数为 ．
【变式7-3】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，则n= ．
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】（2023春·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【变式8-1】（2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习）（1）在数轴上，点A表示数−3，点O表示原点，点A、O之间的距离= ．
（2）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，点A、B之间的距离=a−b，数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3，那么a=
（3）计算：13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019=
（4）3−a+a−2的最小值是
【变式8-2】（2023春·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36，则2016x+2017y+2018z的最大值是 ．最小值是 ．
【变式8-3】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足a专题2.8 绝对值贯穿有理数的八大经典题型
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 利用绝对值的性质化简求值】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc11165" 【题型2 利用绝对值的非负性求值】 PAGEREF _Tc11165 \h 3
\l "_Tc19167" 【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】 PAGEREF _Tc19167 \h 4
\l "_Tc14840" 【题型4 利用绝对值的定义判断正误】 PAGEREF _Tc14840 \h 6
\l "_Tc7552" 【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc7552 \h 8
\l "_Tc23072" 【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 PAGEREF _Tc23072 \h 10
\l "_Tc16777" 【题型7 分类讨论多绝对值问题】 PAGEREF _Tc16777 \h 13
\l "_Tc31398" 【题型8 绝对值中最值问题】 PAGEREF _Tc31398 \h 15
【题型1 利用绝对值的性质化简求值】
【例1】（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|=（ ）

A．7B． 9C．11D．13
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义，将|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9转化为两点间的距离，进而可得q、r两点间的距离，即可得答案．
【详解】解：根据绝对值的几何意义，
由|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9可得
p、r两点间的距离为10，p、s两点间的距离为12，q、s两点间的距离为9，
则q、r两点间的距离为10+9-12=7，
即|q-r|=7，
故选A．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，|a-b|即两实数a、b表示两个点间的距离．
【变式1-1】（2023春·山东威海·六年级校联考期中）有理数a、b，在数轴上的位置如图所示，化简a+b+c−c−b的结果为（ ）
A．−aB．aC．a+2cD．−a−2c
【答案】B
【分析】由数轴可知−11,c<−1,c>b，然后进行去绝对值，进而问题可求解．
【详解】解：由数轴可得：−11,c<−1,c>b，
∴a+b>0,c−b<0，
∴a+b+c−c−b=a+b−c+c−b=a；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值，熟练掌握数轴、绝对值是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习）化简：|x−2|−|x+1|+|x−4|.
【答案】|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
【详解】试题分析：要去掉绝对值符号，需知绝对值中式子的符号，x的取值是有理数范围内任一数，所以要对x的取值分情况讨论，再去绝对值符号．
试题解析：
①当x<−1时，原式=(2−x)−(−x−1)+(4−x)=7−x
②当−1≤x<2时，原式=(2−x)−(x+1)+(4−x)=5−3x
③当2≤x<4时，原式=(x−2)−(x+1)+(4−x)=1−x
④当x≥4时，原式=(x−2)−(x+1)+(x−4)=x−7
综上所述：|x−2|−|x+1|+|x−4|=7−x , x<−15−3x , −1≤x<21−x , 2≤x<4x−7 , x≥4
【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）已知a+a=0,bb=−1,c=c,化简：a+2b−c−a+−b−a= ．
【答案】-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.
【详解】解：∵a+a=0,bb=−1,c=c,
∴a≤0，b＜0，c≥0
∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0
∴a+2b−c−a+−b−a=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.
【题型2 利用绝对值的非负性求值】
【例2】（2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中）若有理数x、y满足|x|=3, |y+1|=4，且|x+y|=−(x+y)，求|x|+|y|的值．
【答案】6或8．
【分析】根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解．
【详解】∵|x|=3，|y+1|=4，
∴x=3或−3，y=3或−5，
①当x=3，y=3时，|x+y|=6≠−(x+y)=−6（舍去），
②当x=3, y=−5时，|x+y|=2=−(−x+y)=2，
|x|+|y|=8
③当x=−3, y=3时，|x+y|=0=−(x+y)=0，
|x|+|y|=6．
④当x=−3, y=−5时，|x+y|=8=−(x+y)=8，
|x|+|y|=8．
则②3④满足，则|x|+|y|=6或8．
【变式2-1】（2023春·七年级课时练习）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ．
【答案】2或4．
【详解】解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣6，∴当a=－1，b=－2时，ab=2；
当a=－1，b=－4时，ab=4．
故答案为2或4．
点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·重庆·七年级校考阶段练习）已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ．
【答案】5或7或8或4
【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即x−y=1，x−3=0或x−3=1，x−y=0，然后解绝对值方程组即可，．
【详解】解：因为x，y均为整数，x−y+x−3=1，
可得：x−y=1，x−3=0或x−3=1，x−y=0，
∴当x−3=0，x−y=1，可得：x=3，y=2，则x+y=5；
当x−3=0，x−y=−1，可得：x=3，y=4，则x+y=7；
当x−3=1，x−y=0，可得：x=4，y=4，则x+y=8；
当x−3=−1，x−y=0，可得：x=2，y=2，则x+y=4，
故答案为5或7或8或4．
【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．
【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】∵|a﹣b|+ab=1，∴|a-b|=1-ab，∵|a﹣b|≥0，∴1-ab≥0，∴ab≤1，
∵a，b是非负整数，
∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3种情况．
故选C.
【点睛】本题主要考查非负整数、绝对值的性质，非负整数包括0和正整数，所以a，b可以是0或者是正整数．
【题型3 根据字母的取值范围化简绝对值】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）当1【答案】2m−4
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】解：根据绝对值的性质可知，当1∴ |m−1|−|m−3|=m−1−3−m=2m−4，
故答案为：2m−4．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，熟知正数的绝对值是其本身、零的绝对值还是零、负数的绝对值是其相反数是解本题的关键．
【变式3-1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知有理数a<−1，则化简a+1+1−a的结果是 ．
【答案】−2a
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴a+1+1−a
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·上海·六年级专题练习）已知非零实数a，b，c，a+a=0，ab=ab，c−c=0，化简b−a+b−c−b+a−c．
【答案】b
【分析】根据“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值它的相反数”化简即可．
【详解】
∵a+a=0，ab=ab，c−c=0，
∴a<0,b<0,c>0，
∴a+b<0,c−b>0,a−c<0，
∴原式=−b+a+b−c+b−a+c=b．
【点睛】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，熟练掌握所学知识是解题关键．
【变式3-3】（2023春·河南新乡·七年级校考期中）已知，|a|＝﹣a，bb=−1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝ ．
【答案】−2c
【分析】根据已知的等式判断出a、b、c的正负，进而确定出a+b、a﹣c、b﹣c的正负，再利用绝对值的代数意义化简，即可求解．
【详解】解：∵|a|=−a，|b|b＝﹣1，|c|=c，
∴a为非正数，b为负数，c为非负数，
∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，
∴原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣6c，
故答案为：﹣6c．
【点睛】本题考查了根据绝对值的代数意义进行化简等知识点，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．
【题型4 利用绝对值的定义判断正误】
【例4】（2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数C．b、c为正数，a为负数D．a、c为正数，b为0
【答案】A
【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又c>b>a，那么c=b+a，进而得出可能存在的情况．
【详解】解：∵ a+b+c=0，
∴ a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
∵ c>b>a，
∴ c=b+a，
∴可能a、b为正数，c为负数；也可能a、b为负数，c为正数．
A．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①a+b+(−c)>0；②(−a)−b+c>0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④bc−a>0；⑤|a−b|−|c+b|+|a+c|=−2b．其中，正确的是 ．（填序号）
【答案】②③
【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知，b<0∴a+−c<0，−a−b>0，
∴a+b+(−c)<0，(−a)−b+c>0
故①不正确，②正确，
∵aa=1，bb=−1，cc=1，
∴a|a|+b|b|+c|c|=1+−1+1=1，
故③正确，
∵b<0∴bc<0，
∴bc−a<0，
故④不正确，
∵b<0∴|a−b|−|c+b|+|a+c|=a−b−c−b+a+c=2a−2b，
故⑤不正确，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义．
【变式4-2】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b为有理数，下列说法：
①若a、b互为相反数，则ab=1；
②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；
③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；
④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数．
其中错误的是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】根据不等式的性质进行判断即可；
【详解】解：若a＝b＝0，则ab没有意义，故①符合题意；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴3a+4b＜0，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合题意；
∵|a﹣b|+a﹣b＝0，
∴|a﹣b|＝b﹣a，
∴a≤b，故③符合题意；
若a＝﹣6，b＝1，
（a+b）•（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则，以及绝对值法则，掌握这些法则是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中）已知a、b为有理数，且a<0，ab<0，a+b<0，则下列结论：①b（a+b）>0；②a>b；③a<−b【答案】②③④
【分析】根据a<0，ab<0，a+b<0得b>0，−a>0，从而得b（a+b）<0，a>b，−b<0，a−b<0，进而判断各项结论．
【详解】解：∵a<0，ab<0，a+b<0，
∴b>0，−a>0，
∴b（a+b）<0，a>b，−b<0，a−b<0，故①错误，②正确，
∴a<−b故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的比较大小，综合有理数的绝对值、有理数的乘法是解题的关键．
【题型5 利用绝对值的意义求字母取值范围】
【例5】（2023春·七年级单元测试）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣6|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（ ）
A．a≥4.5B．a≥5C．a≥5.5D．a≥6
【答案】B
【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|，根据x的范围分情况去掉绝对值符号，可求得y≥5，再结合题意即可确定a的范围．
【详解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣6|+|x﹣1|+|x|，
当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，
当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，
∴5＜y＜11；
当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，
∴5≤y≤6；
当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，
∴6＜y＜9；
当x≤0时，y＝﹣5x+9，
∴y≥9；
综上所述，y≥5，
∴a≥5时等式恒有解．
B．
【点睛】本题考查绝对值的性质；通过构造函数，将等式问题转化为函数问题解题是关键
【变式5-1】（2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）已知|5x﹣6|＝2﹣5x，则x的范围是（ ）
A．x>52B．x<25C．x≥25D．x≤25
【答案】A
【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案．
【详解】解：∵|5x﹣6|＝2﹣5x，
∴5x﹣6≤0，
解得：x⩽25，
D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键．
【变式5-2】（2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末）数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b≤|a|，则b的值不可能是（ ）
A．﹣1B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据数轴得到a<2，根据题意解答即可
【详解】由数轴可知，a<2
∵b≤a，
∴b<2，
∴b可以是−1,1,0不可能是2，
B．
【点睛】本题考查了数轴的概念、绝对值的性质，根据数轴确定a的范围是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·山东济南·七年级校联考期中）若|x﹣6+3﹣6x|=|x﹣6|+|3﹣6x|成立，则x的范围是 ．
【答案】32≤x≤2
【分析】根据绝对值的性质可得x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0，解不等式组即可求解．
【详解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|，
∴x−2≤03−2x≤0或x−2≥03−2x≥0，
解得32≤x≤2 ．
故x的范围是32≤x≤2．
故答案为32≤x≤2．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．
【题型6 利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】
【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abc<0，则aa+bb+cc的值为（ ）
A．1B．−1或−3C．1或−3D．−1或3
【答案】A
【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】∵abc<0
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵a+b+c=0
∴a，b，c的符号为1负2正
令a<0，b>0，c>0
∴a=−a，b=b，c=c
∴aa+bb+cc =−1+1+1=1
A．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
【变式6-1】（2023·浙江·模拟预测）有理数a，b，c均不为0．且a+b+c=0，设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b，则代数式x21−21x+2010的值是（ ）
A．2010B．1990C．2030或1990D．2010或1990
【答案】B
【分析】根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），则可得|a|b+c，|b|c+a，|c|a+b的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．
【详解】解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，
∵a+b+c=0，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，
∴|a|b+c，|b|c+a，|c|a+b中必有两个同号，另一个符号相反，
即其值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b=±1，
∴x21−21x+2010=121−21+2010=1990，
或x21−21x+2010=−121−21×−1+2010=2030，
故选C．
【点睛】本题考查了代数式求值，注意分类讨论思想的应用．能得到|a|b+c，|b|c+a，|c|a+b的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1是解此题的关键，要注意仔细分析，难度适中．
【变式6-2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知有理数a、b、c、d满足abcdabcd=−1，求a|a|+b|b|+c|c|+d|d|的值．
【答案】2或−2
【分析】根据abcdabcd=−1，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，然后分情况求解即可．
【详解】解：根据abcdabcd=−1，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，
则原式=−1+1+1+1=2或−1−1−1+1=−2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键．
【变式6-3】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）已知x1，x2，x3，⋯x2021都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，求y1的值．
解：当x1>0时，y1=x1x1=x1x1=1，当x1﹤0时，y1=x1x1=−x1x1=−1，所以y1=±1
(1)若y2=|x1|x1+|x2|x2，则y2的值为______；
(2)若y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3，则y3的值为______；
(3)由以上探究猜想，y2021=x1x1+x2x2+x3x3+⋯+x2021x2021，共有_____个不同的值．
(4)应用：如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为______？
【答案】(1)±2或0
(2)±1或±3
(3)2022
(4)0
【分析】（1）由题意可得|x1|x1=±1，|x2|x2=±1，再求解即可；
（2）由题意可得|x1|x1=±1，|x2|x2=±1，|x3|x3=±1，再求解即可；
（3）通过计算发现规律：y2021有2022个值，最大值2021，最小值为−2021，再求解即可；
（4）根据正负性去绝对值计算即可，注意分类讨论．
【详解】（1）解：∵ |x1|x1=±1，|x2|x2=±1，
∴ y2=|x1|x1+|x2|x2=±2或0，
故答案为：±2或0；
（2）解：∵ |x1|x1=±1，|x2|x2=±1，|x3|x3=±1，
∴ y3=|x1|x1+|x2|x2+|x3|x3=±1或±3，
故答案为：±1或±3；
（3）解：由（1）（2）可知，y1有2个值，y2有3个值，y3有4个值，
∴y2021有2022个值，最大值2021，最小值为−2021，
故答案为：2022．
（4）解：∵a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，
∴a、b、c是两个正数一个负数或一个正数两个负数，
当a、b、c是两个正数一个负数时，abc<0，此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1−1−1=0；
当a、b、c是一个正数两个负数时，abc>0，此时a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1−1−1+1=0；
∴a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数字的变化规律、绝对值化简，通过计算，从特殊到一般进行归纳，探索出结果的规律是解题的关键．
【题型7 分类讨论多绝对值问题】
【例7】（2023春·广西南宁·七年级校考期中）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a−b|+|b−c|=c−a，设d在a、c之间，则|a−d|+ |d−c|+|c−b|+|a−c|= ．
【答案】−2a−b+3c
【分析】由a−b+b−c=c−a⇒a【详解】解：∵a−b+b−c=c−a，
∴a＜b＜c，
∵d在a、c之间，
∴ a当a当a故答案为：−2a−b+3c
【点睛】本题考查去绝对值，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【变式7-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知a，b，c，d都是整数，且a+b+b+c+c+d+d+a=2，则a+b= ．
【答案】1或0．
【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．
【详解】由题意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：
①3个为0，1个为2，
②2个为0，2个为1，
所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，
则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，
不难得出a=-d，所以|a+d|=0，与假设|a+d|=2矛盾．
所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=-1，d=1时|a+d|=1；
a=-1，b=0，c=0，d=1时|a+d|=0．
故答案为1或0．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，难度较大，注意对各种情况的讨论，不要漏解．
【变式7-2】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式2021x+20212+x+2021+2022x+20222的值是同一个常数，则此常数为 ．
【答案】2022
【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．
【详解】由题意，得将2021x+20212+x+2021+2022x+20222进行化简后代数式中不含x，才能满足题意．
因此，当−2022≤x≤−2021时，
原式=−20212−2021x−x−2021+2022x+20222
=−2021x−x+2022x−20212−2021+20222
=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减，解题的关键是确定x的取值范围．
【变式7-3】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，则n= ．
【答案】2.7
【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n，由于仅有3个不相等的解，则−2.7+n=0，解方程求得n的值．
【详解】解：∵||x+m|−n|=2.7，
∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=−2.7+n，
当|x+m|=2.7+n时，x=2.7+n−m或x=−2.7−n−m，
当|x+m|=−2.7+n时，x=−2.7+n−m或x=2.7−n−m，
∵方程||x+m|−n|=2.7仅有三个不相等的解，
∴−2.7+n=0时，n=2.7或2.7+n=0时，n=−2.7，
当n=−2.7时，|x+m|=−5.4，不成立，
∴n=2.7，
综上所述：n的值为2.7，
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键．
【题型8 绝对值中最值问题】
【例8】（2023春·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．
（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；
②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．
【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＞0；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+a﹣1
＝b-1；
（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：①b﹣a；②b﹣c．
【点睛】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
【变式8-1】（2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习）（1）在数轴上，点A表示数−3，点O表示原点，点A、O之间的距离= ．
（2）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，点A、B之间的距离=a−b，数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3，那么a=
（3）计算：13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019=
（4）3−a+a−2的最小值是
【答案】（1）3；（2）1或−5；（3）10092020；（4）1
【分析】（1）数轴上两点的距离=右边的数−左边的数，据此即可得到答案；
（2）根据已知中两点的距离公式计算，即可得到答案；
（3）根据绝对值的意义去绝对值符号，再进行计算，即可得到答案；
（4）分三种情况讨论，分别求出最小值，比较即可得到答案．
【详解】解：（1）∵点A表示数−3，点O表示原点，
点A、O之间的距离=0−−3=3，
故答案为：3；
（2）∵数轴上分别表示a和−2的两点A和B之间的距离为3，
∴a−−2=3，
∴a=1或a=−5，
故答案为：1或−5；
（3）13−12+14−13+15−14+⋅⋅⋅+12020−12019
=12−13+13−14+14−15+…+12019−12020
=12−12020
=10092020，
故答案为：10092020；
（4）当a≥3时，3−a+a−2=a−3+a−2=2a−5，此时最小值为2×3−5=1；
当2当a≤2时，3−a+a−2=3−a+2−a=5−2a，此时最小值为5−2×2=1，
综上可知，3−a+a−2的最小值是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的意义和数轴的定理，解题关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．
【变式8-2】（2023春·福建泉州·七年级福建省永春第三中学校联考期中）已知|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36，则2016x+2017y+2018z的最大值是 ．最小值是 ．
【答案】 14120 −6051
【分析】先讨论∶ |x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的最小值，根据它们的积是36，分别得到|x+1|+|x−2|、y−2+y+1、z−3+z+1的值， 再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．
【详解】解：∵|x+1|+|x−2|≥3，y−2+y+1≥3，z−3+z+1≥4，|x+1|+|x−2||y−2|+|y+1||z−3|+|z+1|=36
∴|x+1|+|x−2|=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4，
当|x+1|+|x−2|=3时，x最小取−1，最大取2，
当y−2+y+1=3时，y最小取−1，最大取2，
当z−3+z+1=4时，z最小取−1，最大取3
∴2016x+2017y+2018z的最大值为∶
2016×2+2017×2+2018×3
=14120，
2016x+2017y+2018z的最小值为∶
2016×−1+2017×−1+2018×−1
=−6051 ，
故答案为：14120；−6051．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．根据积得到各个绝对值的和分别是多少是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足a【答案】34
【分析】根据a+b+c=0，a0，a+b<0，则a>b，再由a<10，a，b，c都是整数，得到a≤9则b≤8，根据a+b=−b+a=−b−a，b≥−b，a≥a即可得到c=−a−b=a+b≤a+b≤17，由此求解即可．
【详解】解：∵a+b+c=0，a∴a<0，c>0，a+b<0，
∴a>b，
∵a<10，a，b，c都是整数，
∴a≤9
∴b≤8，
∵a+b=−b+a=−b−a，b≥−b，a≥a
∴c=−a−b=a+b≤a+b≤17，
∴a+b+c的值最大为9+8+17=34，
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键在于能够根据题意得到a<0，c>0，a+b<0．