2023-2024学年江西省上饶市洋口中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市洋口中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，满足f(32+x)−f(32−x)=4x，且f(x+3)为奇函数，记g(x)=f′(x)，其导函数为g′(x)，则g(152)+g′(2025)=( )
A. −2B. 2C. 1D. 0
2.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在区间[−2π3,5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是( )
A. (0,15]B. [12,35]C. [16,15]D. [12,52)
3.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π2
B. f(x)是偶函数
C. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称
D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增
4.已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC→=(−4,−3)，则向量BC→=( )
A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)
5.已知α是第二象限角，sinα=513，则csα=( )
A. −513B. −1213C. 513D. 1213
6.已知z=2−i，则z(z−+i)=( )
A. 6−2iB. 4−2iC. 6+2iD. 4+2i
7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为( )
A. 2
B. 157
C. 177
D. 197
8.设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β
B. 若α∩β=m，n//α，n//β，则m//n
C. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
D. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(−3,4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y=−x对称，则( )
A. cs(π+α)=35B. β=2kπ+π2+2α(k∈Z)
C. tanβ=724D. 角β的终边在第一象限
10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC1=2，M为线段BC上的动点，则( )
A. AB1⊥A1M
B. 三棱锥C1−AMB1的体积不变
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
11.欧拉公式exi=csx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则( )
A. eπi=1B. eπi2为纯虚数
C. |exi 3+i|=12D. 复数e2i对应的点位于第三象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知将函数f(x)= 3sinxcsx+cs2x−12的图象向左平移5π12个单位长度后得到y=g(x)的图象，则g(x)在[−π12,π3]上的值域为______．
13.已知tan(α−π4)=2，则5sin2α+sin2α= ______．
14.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，Q是侧面BCC1B1内一点，若A1Q/​/平面AEF.则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)+12(x∈R,ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)单调递增区间；
(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的值域．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，|AB|=|AC|=4,AB⋅AC=8,BD=34BC,AE=λAD(0<λ<1)．
(1)证明：△ABC为等边三角形．
(2)试问当λ为何值时，AE⋅BE取得最小值？并求出最小值．
(3)求|BE|2|ED|+613|AD|的取值范围．
17.(本小题17分)
已知函数f(x)=2 3sinx⋅csx+2cs2x．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[−π6,5π12]上的最大值、最小值及相应的x的值．
18.(本小题15分)
已知复数z1=2−m2+(2m−1)i，z2=λ+sinθ−(1−2csθ)i(其中i是虚数单位，m，λ∈R)．
(1)若z1在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数m的值；
(2)若z1=z2，求实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为AD1，CD1的中点．
(1)证明：EF//平面ABCD．
(2)求异面直线EF与BC1所成角的大小．
(3)求直线BD与平面D1EF所成角的正切值．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.ABD
11.BC
12.[−1,12]
13.−2110
14.2 5+3 24
15.解：(1)∵函数f(x)的最小正周期为π且ω>0，
∴T=π，即2π2ω=π，得ω=1，
则f(x)=sin(2x+π6)+12，
由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得2kπ−2π3≤2x≤2kπ+π3，k∈Z，得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
(2)∵x∈[0,π3]，∴2x∈[0,2π3]，2x+π6∈[π6,5π6]，
当2x+π6=π6或5π6时，函数f(x)取得最小值，函数f(x)的最小值为f(x)=sinπ6+12=12+12=1，
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值，函数f(x)的最大值为f(x)=sinπ2+12=1+12=32，
即函数的值域为[1,32].
16.解：(1)因为AB⋅AC=8，所以cs=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=84×4=12，
结合∈[0,π]，可得=π3，
因为|AB|=|AC|=4，所以△ABC为等边三角形．
(2)AE=λAD=λ(AB+34BC)=λ(AB+34AC−34AB)=14λAB+34λAC，
BE=BA+AE=BA+14λAB+34λAC=(14λ−1)AB+34λAC，
则AE⋅BE=(14λAB+34λAC)⋅[(14λ−1)AB+34λAC]
=(116λ2−14λ)AB2+(316λ2+316λ2−34λ)AB⋅AC+916λ2AC2
=λ2−4λ+3λ2−6λ+9λ2=13λ2−10λ，
当λ=513时，AE⋅BE取得最小值，最小值为2513−10×513=−2513．
(3)由题意可得|AD|= 9+16−2×3×4×csπ3= 13，
在△ABD中，cs∠ADB=13+9−162×3× 13= 1313，
设|BE|=m,|DE|=n,n∈(0, 13)，则m2=9+n2−2×3n× 1313=n2−6 1313n+9，
所以|BE|2|ED|+613|AD|=m2n+6 1313=n2−6 1313n+9n+6 1313=n+9n，
因为函数f(n)=n+9n在(0,3)上单调递减，在(3, 13)上单调递增，且f(3)=3+93=6，
所以|BE|2|ED|+613|AD|的取值范围为[6,+∞)．
17.解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
故T=2π2=π；令−π2+2kπ≤2x+π6≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(2)当x∈[−π6,5π12]时，2x+π6∈[−π6,π]，则sin(2x+π6)∈[−12,1]，所以f(x)∈[0,3]，
即f(x)的最大值、最小值分别为3，0，
当2x+π6=π2时，即x=π6时，f(x)有最大值为3，
当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f(x)有最小值为0．
18.解：(1)∵z1=2−m2+(2m−1)i，且z1在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
∴2−m2<02m−1<02−m2=2m−1，解得m=−3；
(2)z1=2−m2+(2m−1)i，z2=λ+sinθ−(1−2csθ)i，
若z1=z2，则2−m2=λ+sinθ2m−1=2csθ−1，可得λ=sin2θ−sinθ+1=(sinθ−12)2+34，
∵−1≤sinθ≤1，∴λ∈[34,3]．
19.(1)证明：
如图，连接AC交BD于点O，
因为E，F分别为AD1，CD1的中点，所以EF/​/AC．
因为AC⊂平面ABCD，且EF⊄平面ABCD，
所以EF/​/平面ABCD．
(2)解：因AB//CD//D1C1，且AB=CD=D1C1，
易得平行四边形ABC1D1，
则有BC1/​/AD1，由(1)得EF/​/AC，
故EF与BC1所成角为∠D1AC(或其补角)．
因为AC=AD1=CD1，所以∠D1AC=60°，
即EF与BC1所成角的大小为60°；
(3)解：连接D1O，过D作DG⊥D1O于点G．
因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，又BD⊥AC且DD1∩BD=D，
所以AC⊥平面D1DO．
因为DG⊂平面D1DO，所以DG⊥AC，
又DG⊥D1O，且AC∩D1O=O，AC，D1O⊂平面ACD1，
所以DG⊥平面ACD1，
所以直线BD与平面D1EF所成角为∠DOD1(或其补角)．
因为正方体的棱长为1，所以DD1=1，DO= 22，
所以tan∠DOD1=DD1DO= 2．