2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是( )
A. −πB. πC. −π2D. π2
2.将函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π3个单位长度得到如图所示的奇函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于直线x=−π4对称.则下列选项不正确的是( )
A. f(x)在区间[2π3,π]上为增函数
B. f(π2)=− 32
C. f(12)>f(0)
D. f(−1)+f(0)<0
3.在△ABC中，D为BC上一点，且BD=2DC，则AD=( )
A. AB+13ACB. AB−13ACC. 23AB+13ACD. 13AB+23AC
4.已知a=(sinα,1−4cs2α)，b=(1,3sinα−2)，α∈(0,π2)，若a//b，则sin2α2+cs2α=( )
A. 211B. 411C. 611D. 811
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA=2sinB，C=60°，E为BC中点，F在线段AB上，且AF=2FB，AE和CF相交于点P，则∠EPF的余弦值为( )
A. 714B. 2114C. 77D. 217
6.已知sin2β=3sin2(α+γ)，则tan(α+β+γ)tan(α−β+γ)=( )
A. −2B. 14C. 32D. −12
7.若复数z=(5−12i)(csθ+isinθ)(θ∈R)(其中i是虚数单位)，则|z−|=( )
A. 5B. 12C. 13D. 17
8.在三棱锥P−ABC中，AB=AC=2 2，∠BAC=120°，PB=PC=2 6，PA=2 5，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 40πB. 20πC. 80πD. 60π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象经过点P(0,12)，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 点(π3,0)为函数y=f(x)图象的对称中心
C. 直线x=π6为函数y=f(x)图象的对称轴
D. 函数f(x)的单调增区间为[2kπ−π3,2kπ+π6](k∈Z)
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=b(2csA+1)，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. 若a= 3b，则△ABC为直角三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，1tanB−1tanA的最小值为1
D. 若△ABC为锐角三角形，则ca的取值范围为( 22,2 33)
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，且AB=BC=CC1=2，M为线段BC上的动点，则( )
A. AB1⊥A1M
B. 三棱锥C1−AMB1的体积不变
C. |A1M|+|C1M|的最小值为3+ 5
D. 当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC−A1B1C1外接球所得的截面面积为269π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数f(x)=sinπ3x，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2015)=______．
13.已知向量a,b满足|a|=6,|b|=4，且a与b的夹角为60°，则|a+b|= ______．
14.若复数z=a+2i2−i(a∈R)是纯虚数，则z= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a−=(sinx,1)，b−=(1,sin(π3−x))，f(x)=a−⋅b−．
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当x∈[0,π4]时，关于x的不等式2f(x)−1≤m有解，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC=π4，AB=3，CD=1．
(1)若kAB−AD与AC垂直，求k的值；
(2)若P为AB边上的动点(不包括端点)，求(PC+PD)⋅PA的最小值．
17.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+5π6)+cs(3π2+x)，试求g(x)的伴随向量的坐标；
(2)记向量ON=(1, 3)的伴随函数为f(x)，当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，求sinx的值；
(3)设向量OP=(2λ,−2λ)，λ∈R的伴随函数为u(x)，OQ=(1,1)的伴随函数为v(x)，记函数ℎ(x)=u(x)+v2(x)，求ℎ(x)在[0,π]上的最大值．
18.(本小题15分)
已知z1，z2是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的两个虚根，i为虚数单位．
(1)当z1=2+i时，求实数m，n的值．
(2)当m=2，且|z1−z2|=2 2，求实数n的值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AA1=BB1=CC1=1，侧棱BB1与底面ABC所成角的正弦值为 63.若球O与三棱台ABC−A1B1C1内切(即球与棱台各面均相切)．
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求二面角B1−BC−A的正切值；
(3)求四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积和球O的表面积．
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.B
5.B
6.A
7.C
8.A
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.0
13.2 19
14.i
15.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+ 32csx=sin(x+π3)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π；
因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，
所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ]，k∈Z；
(2)不等式2f(x)−1≤m有解，即m+12≥f(x)min；
因为x∈[0,π4]，所以π3≤x+π3≤7π12，又sin7π12=sin5π12>sinπ3，
故当x+π3=π3，即x=0时，f(x)取得最小值，且最小值为f(0)= 32，
所以m≥ 3−1．
16.解：过D作DO⊥AB于O，等腰梯形ABCD中易知AO=1，OB=2，
又∠CBA=45°，故可得OD=1，
以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：

(1)则A(−1,0)B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以AB=(3,0)，AD=(1,1)，AC=(2,1)，
故kAB−AD=(3k,0)−(1,1)=(3k−1,−1)，
因为kAB−AD与AC垂直，所以(3k−1)×2+(−1)×1=0，解得k=12；
(2)设P(x,0)，−1则(PC+PD)⋅PA=(1−2x,2)⋅(−1−x,0)=2x2+x−1，
对y=2x2+x−1，x∈(−1,2)，其对称轴x=−14，
故其最小值为2×(−14)2−14−1=−98，
所以(PC+PD)⋅PA的最小值为−98．
17.解：(1)g(x)=sin(x+5π6)+cs(3π2+x)=− 32sinx+12csx+sinx=(1− 32)sinx+12csx，
所以OM=(1− 32,12)；
(2)依题意f(x)=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)，
由f(x)=85得2sin(x+π3)=85,sin(x+π3)=45，
因为x∈(−π3,π6),x+π3∈(0,π2)，
所以cs(x+π3)=35，
所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)− 32cs(x+π3)=4−3 310；
(3)由题知u(x)=2λsinx−2λcsx=2 2λsin(x−π4)，v(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)= 2sin[(x−π4)+π2]= 2cs(x−π4)，
所以ℎ(x)=u(x)+v2(x)=2 2λsin(x−π4)+2cs2(x−π4)
=−2sin2(x−π4)+2 2λsin(x−π4)+2
因为x∈[0,π]，x−π4∈[−π4,3π4]，
所以sin(x−π4)∈[− 22,1]，
令t=sin(x−π4)∈[− 22,1]，
所以问题转化为函数y=−2t2+2 2λt+2,t∈[− 22,1]的最值问题，
因为函数y=−2t2+2 2λt+2,t∈[− 22,1]的对称轴为t= 22λ，
所以当t= 22λ≤− 22，即λ≤−1时，
y=−2t2+2 2λt+2,t∈[− 22,1]的最大值在t=− 22处取得，为1−2λ；
当t= 22λ≥1，即λ≥ 2时，
y=−2t2+2 2λt+2,t∈[− 22,1]的最大值在t=1处取得，为2 2λ；
当− 22< 22λ<1，即−1<λ< 2时，
y=−2t2+2 2λt+2,t∈[− 22,1]的最大值在t= 22λ处取得，为λ2+2；
综上，ℎ(x)在[0,π]上的最大值为ℎ(x)max=1−2λ,λ≤−1λ2+2,−1<λ< 22 2λ,λ≥ 2．
18.解：(1)因为z1，z2是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的两个虚根，
所以当z1=2+i时，z2=2−i，
所以m=−(z1+z2)=−4，n=z1z2=5；
(2)当m=2时，Δ=m2−4n=4−4n<0，由求根公式可知，两根分别为−2+ 4n−4i2，−2− 4n−4i2，
所以|z1−z2|=|−2+ 4n−4i2−−2− 4n−4i2|=| 4n−4i|=2 2，
所以 4n−4=2 2，解得n=3．
19.解：(1)证明：设A1C1与B1D1、AC与BD分别交点E，F，连接EF，

因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
在等腰梯形A1C1CA中，因为E，F为底边中点，
所以AC⊥EF，又EF与BD相交，
∴AC⊥平面B1D1DB；
(2)由(1)可知平面ABCD⊥平面B1D1DB，又平面ABCD∩平面B1D1DB=BD，
过点B1作B1H⊥BD于H，则B1H⊥平面ABCD，再作HG⊥BC于G，

则由三垂线定理得B1G⊥BC，则∠B1GH是二面角B1−BC−A的平面角，
因为B1H⊥平面ABCD，故∠B1BH是侧棱BB1与底面ABC所成角，
所以sin∠B1BH= 63，
在Rt△B1BH中，B1H=BB1sin∠B1BH= 63，BH=BB1cs∠B1BH= 33，
在Rt△BGH，GH=BHsin30°= 36，
在Rt△B1GH中，tan∠B1GH=B1HGH= 63 36=2 2，
因此二面角B1−BC−A的正切值为2 2；
(3)由题意可知三棱台ABC−A1B1C1为正三棱台，设O1，O2是△A1B1C1和△ABC的中心，
M，N分别是B1C1和BC的中点，故O1O2为内切球的球心O的直径，
不妨设△A1B1C1和△ABC的边长分别是x，y，球O的半径为r，
则2r=O1O2=B1H= 63，
所以球O的表面积为S=4πr2=4π( 66)2=23π，
在Rt△B1GH中，MN=B1G= B1H2+GH2= 32，
由O为内切球可知MN= 36(x+y)，解得x+y=3，
在直角梯形O1O2NM中，MN2=(2r)2+[ 36(y−x)]2=[ 36(x+y)]2，
解得xy=2，
因此x=1，y=2，
因此四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积V=13×ℎ×[S1+ S1⋅S2+S2]=13× 63×[2 3+ 2 3⋅ 32+ 32]=7 26．