江苏省宿迁市2024年高二暑期学情调研测试数学试题

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总分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆内接正方形的一条对角线上两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．关于的方程对应的曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．以下四个命题叙述正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是1
B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D．直线，若，则或2
10．设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为
11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数的取值范围为 .
13．已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是__________．（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）
已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
16．（本题15分）
已知的三个顶点分别为.
(1)求的面积；
(2)求的外接圆的方程.
17．（本题15分）
已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合．
(1)若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(2)若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程．

18．（本题17分）
已知圆O的方程为．
(1)求过点的圆的切线方程；
(2)已知两个定点，，其中，为圆上任意一点，（为常数），
①求常数的值；
②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．

19.（本题17分）
已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点，.
（ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；
（ⅱ）当直线过点时，过点作轴的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.