江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习全国普通高考模拟调研测试数学试题 (2)

这是一份江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习全国普通高考模拟调研测试数学试题 (2)，共5页。试卷主要包含了作答时，将答案写在答题卡上，考试结束后，请将答题卡交回，请认真阅读考试说明， ， 已知抛物线 Γ 等内容，欢迎下载使用。


全卷满分 150 分，限时 120 分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的考试号填写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回.
4.请认真阅读考试说明.
★预祝考试顺利★
第 Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 .
1. 若集合 A = {m2 m = 1, m ∈ C}， B = {a + bi ab = 0}，则 A ∩ B 的元素个数为 ( ▲ )
A. 1 B.2 C.3 D.4
2. 已知 -B-→ (1, 2, −2)， .则点 B到直线 AC 的距离为 ( ▲ )
A. -2 C. 2 D.3
3. 设 a > 0，函数 f (x) = 2x2 + ax 与直线 y = m交于点 A, B .若 f (x) 与正三角形 ABC 的两条边
相切，则 m 的取值范围为 ( ▲ )

4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为 m，满足上四分位数为 28 ，第 80百 分位数为 30 .则 m 的最小值为 ( ▲ )
A. 24 B.25 C.28 D.29
5. 在递增数列 中， a1 = ， sin = cs . 已知 Sn 表示 前 n 项和的最小值，
则 sin (S9 ) = ( ▲ )
A. C. −
6. 在锐角 △ABC 中， 已知 sin(2A + C) = 2sinC − sin B ，则 B, C 的大小关系为 ( ▲ )
A. B > C B. B = C C. B < C D.无法确定
7. 已知标准椭圆上 P, Q 两点的切线方程分别为3y −1 = 0 ， 23x + y −1 = 0 ，则直线
PQ的斜率为 ( ▲ )
8. . = ax3 − bx在 恒成立的 a 唯一 ，则b 的值为 ( ▲ )
A.3 B. ±3 C. 4 D. ±4
高三年级全国普通高考调研测试
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分 ，有选错的得 0 分 .
9. 已知 △ABC 的外接圆圆心在 AC 边上，内切圆半径为 3 −1，且 A = 2C .设 D 为 AC 边上动 点，将 △ABD 沿 BD向上翻折，得到四面体 ABCD ，记为 M ，其体积为 V .则 ( ▲ )
A. △ABC 的外接圆面积为 4π
B. M 不可能是正三棱锥
C. M 的外接球球心不可能在其棱上
D. V 取最大值时， AD < CD
10. 已知抛物线 Γ : y2 = 4x的焦点为 F ， P 为 Γ上一动点.过 F 且斜率大于 0 的直线与 Γ交于不
同的两点 A, B ，且满足 AF > BF ， AP 丄BP .则下列说法错误的是 ( ▲ )
A.直线 AB 的倾斜角大于 60
B.若 PF = 4 ，则 2AF = 3 AB + 2BF
C.点 P 可能在第一象限
D.直线 PB 的横截距不可能是 −1
11. 已知函数 f (x) = ax − ax (a > 1)，记 a = an 时 f (x) 的极值点为 xn（n ∈ N 且 an 的值均不同）. 则下列说法错误的是 ( ▲ )
A.满足 f (x) 有唯一零点的 a唯一 B.无论 a取何值， f (x) 都没有过原点的切线
C.若 x1 = x2 ，则 a1a2 < e2e D.若 xn+1 = exn ，则 ≥ en −1
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 .
12. 已知复数 z = (z +i)(z − i)，若 m z = z2 ，则 m = ▲ .
13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度.在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为 A 和 B. 当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B 中相同的数字少于两个（如 147 和 289）
②A、B 中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如 147 和 174） 根据以上内容判断：在本轮游戏中， 甲和乙“心有灵犀”的概率为 ▲ .
14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制 Ξ ,如图所示：
宀 宀 宀
1, 2 ⇒ 1, 2, 1,1 ⇒ 1, 2,1, 1, 2 ⇒ 1, 2,1,1, 2, 1 ⇒…⇒ 1, 2,1,1, 2,1,1,1, 2 …
记 2,3,5经 Ξ延伸后得到的无穷数列为{an }，则 a2024 = ▲ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. （本题满分 13 分）
俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所.一些顶尖的俱 乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、 社会地位等的综合考察.研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计 100 份）， 绘制成下表（已知 B 卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测
（ 1）若至少有 5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求 a的最小值；
（2）在预测的 40 份 B 卷参试成绩中随机挑选 3 份，记不及格的份数为 X
①求 X 的分布列及数学期望；
不及格
及格
良好
优秀
A 卷
a
b
16
4
B 卷
20
12
6
2
②人教 A 版选择性必修第三册第 80 页上写道：对于不放回抽样， 当 n远远小于 N 时 …此时，超几何分布可以用二项分布近似. 近似 指的是期望还是方差？试判断并说明理由.
附： ，其中 n = a + b + c + d .
▲ ▲ ▲
16. （本题满分 15 分）
已知定义在 (0,+∞)上的函数 = ax − ln x ， g
（ 1）分别说明 f (x), g(x) 的单调性；
（2）若函数 f (g(x)) 存在唯一极小值点，求 a的取值范围.
▲ ▲ ▲
17. （本题满分 15 分）
已知无限高圆柱 OO1 .如图，四边形 ABCD内接于其底面 ΘO ，P为其内一动点（包括表面）， 且平面 PAB 丄平面 PAD ， PC 丄 AB .
（ 1）是否存在点 P使得直线 BC 丄平面 PCD ？试判断并说明理由.
（2）若 -A-→ + -B-→ + -D-→ = 0 ，二面角 P − AB − C 的大小为 45° ,求 AP 最大时直线 PC 与平面
PBD所成角的余弦值.
P
▲ ▲ ▲
A ·
D
· O
B
C
α
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18. （本题满分 17 分）
已知焦点为 F 的抛物线 Γ : y2 = 2px(p > 0) ，圆 F 与 Γ在第一象限的交点为 P ，与 x 正,负半
轴分别交于点 H, G .直线 PH ,直线 PF 与 Γ的另一交点分别为 M , N ，直线 MN 与直线 PG 交 于点 T .
（ 1）若 PF < 2p ，证明： ∠PNM > 2∠PMN ；
（2）若 p = 2 ，求 S△PNT 的取值范围.
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19. （本题满分 17 分）
小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积， 比如 36 = 2 × 2 × 3 × 3 , 74 = 2 × 37等等， 分解出来的质数称为这个合数的质因子，如 2, 3都是 6的质因子.
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子.例如 25 的质 因子只有 5 ，而 36的质因子只有 2, 3， 所以 25, 36是互质的.
为方便表示，对于任意的正整数 n ，我们将比 n 小且与 n 互质的正整数的个数记为 A(n).例如， 小于 10且与 10互质的数有 1,3, 7,9， 所以 A(10) = 4，同理有 A(12) = 4 .
（ 1）求 A(60), A(312) ；
（2）求所有n ∈ N* , n ≥ 2， 使得 A(n)是奇数；
（3）若正整数 n = p1p2 … pk ，其中 p1, p2 … pk 表示互不相同的质数. 证明:
1 1 1
A(n) = n (1 − )(1 − )…(1 − )
p1 p2 pk
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