高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第六章数列(测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第六章数列(测试)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列前项的和（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知若数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
10．（2023·重庆·统考三模）对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为元D．
12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列​满足：​，则​ .
14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
15．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．（12分）
（2023·陕西延安·校考一模）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，
若，求的值．
19．（12分）
（2023·浙江·统考二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
20．（12分）
（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
21．（12分）
（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
22．（12分）
（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．
第六章 数列（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得，
所以，
故选：B
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【解析】因为在等差数列中，
所以
，
所以，
又因为，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当取最大值时，或13．
故选：C．
4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列中，，，则数列前项的和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，
则，两式相减得到，又，
​​​​​​所以数列的奇数项都等于，偶数项都等于，
所以，
故选：B．
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{}满足：则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，即，又，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，故.
故选：B
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013B．1023C．2036D．2050
【答案】C
【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第
即得到的数列的第项为数列的第项，
因为，可得，
所以.
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知若数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知
．
故选：D．
8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
【答案】C
【解析】对于A，若，则，
所以 ，故A正确；
对于B，若，则，所以，
两式相除得，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为数列各项均为正数，所以，即，
故不存在及正整数，使得，故C错误；
对于D，若为等比数列，设其公比为，
则，所以，则，故D正确.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，
可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，
若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．
故选：AC．
10．（2023·重庆·统考三模）对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．
【答案】ACD
【解析】由，，
得，，
，所以A选项正确；
又，，
两式相减得，
令，可得，
所以不是等差数列，是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令，则，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为元D．
【答案】BCD
【解析】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确；
C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确；
D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为，
第二个月末所欠银行贷款为，
第三个月末所欠银行贷款为，
……
第12个月末所欠银行贷款为
，
由于分次还清所有的欠款，故，
解得，D正确.
故选：BCD
12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，则，故B项错误；
由B项分析可知，故C项正确.
，故D项错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列​满足：​，则​ .
【答案】5
【解析】因为等比数列的性质可得,即得
可得.
故答案为: 5.
14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为，，且，所以，
则，，，，，，
发现数列是以6为周期的数列，且前6项积为1，
则，，
所以.
故答案为：.
15．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】①如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，
则这8个数列均为等差数列，故①正确；
②1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，
等比数列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8和4，6，9，
因为1，2，4和2，4，8这两个等比数列在网格中不可能在同一行、同一列或对角线上，
所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图，故②正确；
③若三个数成等差数列，则，
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同，则只能是，
因为，
所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；
3，5，7；4，5，6时满足条件，如图，故③正确；
④若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，
当第二行为3，5，7，第二列为2，5，8时，第二行和第二列均为等差数列，
此时有2个等差数列，如图，故④错误；
故答案为：①②③
16．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是 ．
【答案】6
【解析】当时，；
当时，①，②，①-②整理得，
．又，
是以3为首项，3为公比的等比数列，
，
令，,
解得，
正整数的最小值是6．
故答案为：6
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以.
18．（12分）
（2023·陕西延安·校考一模）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，
若，求的值．
【解析】（1）∵，
∴，所以，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为2．
∵，则，
∴对,，
所以n为奇数时，，
对,，
所以n为偶数时，，
综上可知，，．
（2）由（1）得，
∴，
解得．
19．（12分）
（2023·浙江·统考二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意可知,，...，
由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.
（2）由得，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
故.
20．（12分）
（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【解析】（1）由题可得，
所以当时，
，
易知满足，所以.
所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，
所以
.
所以.
21．（12分）
（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．
【解析】（1）设的公比为q，由，得，解得，
由，，成等差数列，得，即，解得，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，，
当k为偶数时，，令，得；
当k为奇数时，，令，得，
所以或37.
22．（12分）
（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．
【解析】（1）由题意设等比数列的公比为， 等差数列的公差为，
所以①，②，
又因为是数列的前项和，
所以由可得即③，
由①②③联立解得，，，，
所以，，
（2）由（1）得，
所以
，
令④，
则⑤，
④⑤得，
所以，
令，
所以.
（3）由（1）可得，
因为，
所以，
即.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
4
3
6
5
9
7
8
3
2
4
1
5
9
6
8
7
1
2
4
3
5
7
9
8
6