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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02函数的综合应用(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02函数的综合应用(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
重难点突破02 函数的综合应用
目录
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，把代入递推可得：，
令，，则，在单调递增，
，即当时，恒有成立，
，，，故选项错误；
又，选项错误；
，，
令，，则，函数在，上递减，，
，故选项正确；
又由可得，，（当且仅当时取“ “，可得，
，故选项错误，
故选．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，解得或，
由零点存在性定理得，
当时，，数列单调递减，
，，同理，，
迭代下去，可得，数列单调递减，
故选项和选项都错误；
又，
，故错误；
对于，，
而，
，故正确．
故选．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于选项，，故错误；
对于选项，由 知，，
故 为非负数列，又，
设，则，
易知 在，单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，从而，
所以 为递减数列，且，故错误；
对于选项，
因为数列 为递减数列，当 时，有，
，
故正确；对于选项，因为，而，故错误．故选．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】B
【解析】，故，．
，故且，于是与同号，
即．
对选项A：若，则，则，
，所以，错误；
对选项B：，，则，即，
于是，即，数列单调递减，，
，，故，即，
，故 ，
故，故，正确；
对选项C：考虑函数，，，
函数单调递增，结合的图像，如图所示：
由图可知当 时，数列递减，
，所以，即，不正确；
对选项D：设，则，，
，即，
等价于，化简得，
而显然不恒成立，不正确；
故选：B．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
【答案】D
【解析】的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时，，时，，
，时，.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到时，，，.
结合图像可知当，.
当，.故A错误；
B选项，由图像可知，则，故B错误；
C选项，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知，，
又结合图像可知，当时，，即此时，
得在上单调递增，
则，故D正确.
故选：D
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
由可得，则，
则有，
设函数，
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
因为，所以
以此类推，对任意，故B错误；
所以，故A错误；
因为，所以数列中不存在某一项为最大项，C错误；
因为，所以，
，
所以存在正整数n，使得，D正确.
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
【答案】
【解析】由题设，，而在R上递增，
当即时，，原不等式不成立；
当即时，，原不等式恒成立.
综上，解集为.
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
【答案】8
【解析】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，
由，得，，，，
，，
因为，，
所以
使得成立的的最小值为8．
故答案为：.
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
【答案】
【解析】因为，
所以图象关于点对称，
又，
所以在上单调递增，
等价于，
即恒成立，
所以，即恒成立，
令，可得，
而，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最小值为.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【解析】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式的解集为.
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
【解析】（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
（2）令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
（3）因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
【解析】（1）证明：选①，；
选②，；
选③，.
，令，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
故，则，所以，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为.
（2）证明：，
，
当时，，，所以，
所以，所以成立；
当时，则，且正弦函数在上为增函数，
，所以，，
所以成立，
综上，，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，
所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.
（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，
所以实数的值是.
（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，则，，则，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，，，则，
综上得：，
所以实数的取值范围.
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
设，
画出函数的图像如图
对任意的实数a，b，总存在，使得成立，
等价于求最大值中的最小值，
由图像可知当时，取得最大值2，此时，
故选：A
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数满足，即，解得，
则，令，
则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵，且（当且仅当时取等号），
∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，
所以实数的最大值为.
故选：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对任意的正实数，总存在，，使得，，．
令，，函数在，单调递减，
∴（1），（4）．
①时，，则．
②时，，，则．
③时，，，则．
④时，，则．
综上①②③④可得：，即 ．
实数的取值范围为，．
故选：D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，
又对任意的实数a，b，，则，
可看作横坐标相同时，函数
与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又，作示意图如图所示：
设，则直线的方程，设与相切，
则，得，有，
得或，由图知，切点，则，
当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时，，故.
故选：B
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】函数，当,时，的最大值为，
可得，，，
可得,,,
，
即，即有，则的最小值为，
故选：B
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，所以，
作出的图象如下，
令，即，得，
且，显然，
在上，当时，，
当时，，当时取等号；
当时， ，所以，
此时点到直线的距离都是，
当时，三点中中至少有一个点满足
，所以，综上所述，，
故选：D.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
【答案】
【解析】对于时，不等式均成立，
即恒成立.
令，，
则表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧；
表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧，如下所示：
根据题意，要满足题意，其图象需在圆弧以及圆弧之间，
数形结合可知：连接后所形成的直线恰好满足题意，且唯一.
其斜率为，故其方程为，
故实数对.
为严谨，下证直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
其与半径1相等，故圆与直线相切，即证.
故答案为：.
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为、的单调性相同，
所以为定义域上的增函数，
因为存在使得在上的值域为，
所以，即有两解，
即在R上有两个不相等的实数根，
令，则在上有两个不同的解，
所以，解得，
故选：D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数；②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线有交点，
与直线有交点是（0，0），（2,4）；对于，构造函数；所以没有零点，即与直线没有交点；
与直线的交点是（0，0），（1,2）.解方程即，当无解；有两解.故
不满足题意.选C.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
【答案】D
【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，
所以存在1级“理想区间”，所以A正确；
B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在2级“理想区间”，所以B正确；
C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确；
D中，若存在“4级理想区间” ，则是方程的两个根，由和在内有3个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“4级理想区间” ，所以D错误，
故选：D
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根
令
则，令
解得
代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为
所以选B
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在，使成立，
即存在，使成立，
所以，即，
所以
所以存在，使与有交点，
对，，求导得，
设，则，
令，即；令，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
要使与有交点，则，
所以的取值范围是.
故选：A.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C.
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意知，令，，，为奇函数，
，且当时，，
当时，，单调递减，在R上单调递减，
由，得，即，
，即，，
为函数的一个不动点，，即，
，即关于x的方程在上有解.
令，，则，
在上单调递减，，
要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为.
故选：B
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由可知，
当时，＝为增函数，
∴时，．
∴ 不存在使成立，故A，B错；
当时，＝，
当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．
法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，
，而由可知，
于是，问题转化为在上有解．
由，得，分离变量，得，
因为，，
所以，函数在上是增函数，于是有，
即，应选D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵曲线上存在点
∴
函数（）在上是增函数，根据单调性可证
即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
【答案】D
【解析】函数的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，
当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.
因为在是减函数且，当且仅当时等号成立，
故函数的图像的切线中，
在处切线的倾斜角最大，其值为.
由此可知－.
故选.
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故选B．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故①正确；双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象渐近线为和，图象关于直线对称，所以的图象过点或，由图象的对称性可得，逆时针旋转60度，位于一、三象限，按顺时针旋转60度，位于二、四象限；故②正确；逆时针旋转60度，位于一、三象限，由图象可得顶点为或，不是极值点，则的值域不是，顺时针旋转60度，位于二、四象限，由图象的对称性知的值域不是，故③错误；当的图象位于一、三象限时，的图象与直线有2个交点，函数有两个零点，当的图象位于二、四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故④错误，故选；C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.
故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有.
解得.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由，即为，解得，
综上，即有实数t的取值范围是.
故选：C.
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时，，最大值为，
时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，
综上，，，即，
又，即，
当时，，∴，
∴是等比数列，公比为，
∴．
故选：D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是，
所以当时，的取值范围是,
因为函数满足，所以，
又当时,,
故的取值范围是，
所以时，，
故，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，
将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题
不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，
由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，
g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．
当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾
不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
【答案】A
【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数n为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，
所以，故.
故选A
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （）
①当时，，不满足（），舍去．
②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在，满足，C错
由于 所以，故D错
③当时，令
由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知为平底型，故为偶数，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在，满足，故C错
由②知，，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
重难点突破02 函数的综合应用
目录
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数
（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，把代入递推可得：，
令，，则，在单调递增，
，即当时，恒有成立，
，，，故选项错误；
又，选项错误；
，，
令，，则，函数在，上递减，，
，故选项正确；
又由可得，，（当且仅当时取“ “，可得，
，故选项错误，
故选．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，解得或，
由零点存在性定理得，
当时，，数列单调递减，
，，同理，，
迭代下去，可得，数列单调递减，
故选项和选项都错误；
又，
，故错误；
对于，，
而，
，故正确．
故选．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于选项，，故错误；
对于选项，由 知，，
故 为非负数列，又，
设，则，
易知 在，单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，从而，
所以 为递减数列，且，故错误；
对于选项，
因为数列 为递减数列，当 时，有，
，
故正确；对于选项，因为，而，故错误．故选．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】B
【解析】，故，．
，故且，于是与同号，
即．
对选项A：若，则，则，
，所以，错误；
对选项B：，，则，即，
于是，即，数列单调递减，，
，，故，即，
，故 ，
故，故，正确；
对选项C：考虑函数，，，
函数单调递增，结合的图像，如图所示：
由图可知当 时，数列递减，
，所以，即，不正确；
对选项D：设，则，，
，即，
等价于，化简得，
而显然不恒成立，不正确；
故选：B．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．数列是递增数列D．
【答案】D
【解析】的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时，，时，，
，时，.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到时，，，.
结合图像可知当，.
当，.故A错误；
B选项，由图像可知，则，故B错误；
C选项，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知，，
又结合图像可知，当时，，即此时，
得在上单调递增，
则，故D正确.
故选：D
变式3．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为严格减数列B．存在正整数n，使得
C．数列中存在某一项为最大项D．存在正整数n，使得
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
由可得，则，
则有，
设函数，
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
因为，所以
以此类推，对任意，故B错误；
所以，故A错误；
因为，所以数列中不存在某一项为最大项，C错误；
因为，所以，
，
所以存在正整数n，使得，D正确.
题型二：函数与不等式的综合
例4．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式，解集为___________.
【答案】
【解析】由题设，，而在R上递增，
当即时，，原不等式不成立；
当即时，，原不等式恒成立.
综上，解集为.
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为__________．
【答案】8
【解析】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，显然数列为递增数列且，所以数列亦为递增数列，
由，得，，，，
，，
因为，，
所以
使得成立的的最小值为8．
故答案为：.
例6．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为______________.
【答案】
【解析】因为，
所以图象关于点对称，
又，
所以在上单调递增，
等价于，
即恒成立，
所以，即恒成立，
令，可得，
而，当且仅当时取等号，
所以，即实数的最小值为.
故答案为：.
变式4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
题型三：函数中的创新题
例7．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【解析】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式的解集为.
例8．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
【解析】（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
（2）令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
（3）因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
例9．（2023·重庆·高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.
【解析】（1）证明：选①，；
选②，；
选③，.
，令，
因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，
故，则，所以，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为.
（2）证明：，
，
当时，，，所以，
所以，所以成立；
当时，则，且正弦函数在上为增函数，
，所以，，
所以成立，
综上，，.
变式5．（2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，
所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.
（2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，
所以实数的值是.
（3）设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，则，，则，
由得：，即，整理得：，
令，显然函数在上单调递增，，，则，
综上得：，
所以实数的取值范围.
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则当m取最大值时，（ ）
A．7B．4C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
设，
画出函数的图像如图
对任意的实数a，b，总存在，使得成立，
等价于求最大值中的最小值，
由图像可知当时，取得最大值2，此时，
故选：A
例11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数满足，即，解得，
则，令，
则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵，且（当且仅当时取等号），
∴若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故，
所以实数的最大值为.
故选：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对任意的正实数，总存在，，使得，，．
令，，函数在，单调递减，
∴（1），（4）．
①时，，则．
②时，，，则．
③时，，，则．
④时，，则．
综上①②③④可得：，即 ．
实数的取值范围为，．
故选：D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，
又对任意的实数a，b，，则，
可看作横坐标相同时，函数
与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又，作示意图如图所示：
设，则直线的方程，设与相切，
则，得，有，
得或，由图知，切点，则，
当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时，，故.
故选：B
变式7．（2023·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】函数，当,时，的最大值为，
可得，，，
可得,,,
，
即，即有，则的最小值为，
故选：B
变式8．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，所以，
作出的图象如下，
令，即，得，
且，显然，
在上，当时，，
当时，，当时取等号；
当时， ，所以，
此时点到直线的距离都是，
当时，三点中中至少有一个点满足
，所以，综上所述，，
故选：D.
变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、，且对于时，不等式均成立，则实数对_________．
【答案】
【解析】对于时，不等式均成立，
即恒成立.
令，，
则表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧；
表示圆心为，半径为的圆在上的圆弧，如下所示：
根据题意，要满足题意，其图象需在圆弧以及圆弧之间，
数形结合可知：连接后所形成的直线恰好满足题意，且唯一.
其斜率为，故其方程为，
故实数对.
为严谨，下证直线与圆相切，
圆心到直线的距离，
其与半径1相等，故圆与直线相切，即证.
故答案为：.
题型五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为、的单调性相同，
所以为定义域上的增函数，
因为存在使得在上的值域为，
所以，即有两解，
即在R上有两个不相等的实数根，
令，则在上有两个不同的解，
所以，解得，
故选：D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（，）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数；②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.
例15．（2023·安徽·高三统考期末）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线有交点，
与直线有交点是（0，0），（2,4）；对于，构造函数；所以没有零点，即与直线没有交点；
与直线的交点是（0，0），（1,2）.解方程即，当无解；有两解.故
不满足题意.选C.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数（）存在1级“理想区间”
B．函数（）不存在2级“理想区间”
C．函数（）存在3级“理想区间”
D．函数，不存在4级“理想区间”
【答案】D
【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，
所以存在1级“理想区间”，所以A正确；
B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在2级“理想区间”，所以B正确；
C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确；
D中，若存在“4级理想区间” ，则是方程的两个根，由和在内有3个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“4级理想区间” ，所以D错误，
故选：D
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在，使在上的值域为
则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根
令
则，令
解得
代入方程得
解得，因为有两个不等的实数根
所以t的取值范围为
所以选B
题型六：函数不动点问题
例16．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意， 存在，使成立，
即存在，使成立，
所以，即，
所以
所以存在，使与有交点，
对，，求导得，
设，则，
令，即；令，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
要使与有交点，则，
所以的取值范围是.
故选：A.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为 ,所以 在 上有解
因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C.
例18．（2023·江苏·高二专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意知，令，，，为奇函数，
，且当时，，
当时，，单调递减，在R上单调递减，
由，得，即，
，即，，
为函数的一个不动点，，即，
，即关于x的方程在上有解.
令，，则，
在上单调递减，，
要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为.
故选：B
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由可知，
当时，＝为增函数，
∴时，．
∴ 不存在使成立，故A，B错；
当时，＝，
当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．
法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，
，而由可知，
于是，问题转化为在上有解．
由，得，分离变量，得，
因为，，
所以，函数在上是增函数，于是有，
即，应选D．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵曲线上存在点
∴
函数（）在上是增函数，根据单调性可证
即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A.
题型七：函数的旋转问题
例19．（2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ）
A．πB．C．D．
【答案】D
【解析】函数的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，
当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.
因为在是减函数且，当且仅当时等号成立，
故函数的图像的切线中，
在处切线的倾斜角最大，其值为.
由此可知－.
故选.
例20．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故选B．
例21．（2023·全国·高三专题练习）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点或；
③f（x）的值域是；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故①正确；双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象渐近线为和，图象关于直线对称，所以的图象过点或，由图象的对称性可得，逆时针旋转60度，位于一、三象限，按顺时针旋转60度，位于二、四象限；故②正确；逆时针旋转60度，位于一、三象限，由图象可得顶点为或，不是极值点，则的值域不是，顺时针旋转60度，位于二、四象限，由图象的对称性知的值域不是，故③错误；当的图象位于一、三象限时，的图象与直线有2个交点，函数有两个零点，当的图象位于二、四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故④错误，故选；C.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在原点处的切线斜率为，切线方程为
当绕着原点逆时针方向旋转时，若旋转角大于，则旋转所成的图像与轴就会有两个交点，则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.
故选：B.
题型八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有.
解得.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由，即为，解得，
综上，即有实数t的取值范围是.
故选：C.
例23．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】时，，最大值为，
时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，
综上，，，即，
又，即，
当时，，∴，
∴是等比数列，公比为，
∴．
故选：D．
变式15．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是，
所以当时，的取值范围是,
因为函数满足，所以，
又当时,,
故的取值范围是，
所以时，，
故，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
题型九：V型函数和平底函数
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有__个元素．
【答案】1
【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|，
将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题
不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，
由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝，
g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝，
考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．
当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾
不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3，
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
例26．（浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k使得或
不妨设，即，
从而得，数列为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
例27．（上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【答案】A
【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
变式16．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
【答案】A
【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数n为偶数，
设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，
则，且，由可得，
所以
,
因为，所以，所以，而，
所以，故.
故选A
变式17．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
【答案】A
【解析】因为
所以
令
则 （）
①当时，，不满足（），舍去．
②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ．
的大致图像为：
则
所以，故A正确．
由
当 时
当 时
故不存在，满足，C错
由于 所以，故D错
③当时，令
由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究
故令
因为
所以
由②知为平底型，故为偶数，故B错
令
所以 ，故A正确
由②知，不存在，满足，故C错
由②知，，故D错
综上所述，A正确,BCD错误
故选A.
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