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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02函数的综合应用(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02函数的综合应用(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破02函数的综合应用(原卷版+解析),共52页。试卷主要包含了函数的图象与性质等内容,欢迎下载使用。


    1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现,通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题,求解这些问题时,着重掌握函数的性质,把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通,从而找到解题的突破口,要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法;掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等);了解反函数的概念与性质;掌握指数、对数式大小比较的常见方法;掌握指数、对数方程和不等式的解法;掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义,特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
    2、函数的图象与性质
    分奇、偶两种情况考虑:
    比如图(1)函数,图(2)函数

    (1)当为奇数时,函数的图象是一个“”型,且在“最中间的点”取最小值;
    (2)当为偶数时,函数的图象是一个平底型,且在“最中间水平线段”取最小值;
    若为等差数列的项时,奇数的图象关于直线对称,偶数的图象关于直线对称.
    3、若为上的连续单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值的最小值为,当且仅当时取得.
    题型一:函数与数列的综合
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列,满足,,设数列的前项和为,则以下结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,则下列有关数列的叙述正确的是( )
    A.B.C.D.
    例3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,,则下列有关数列的叙述正确的是( )
    A.B.C.D.
    变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足:,且,下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.D.
    变式2.(2023·陕西渭南·统考二模)已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是( )
    A.B.
    C.数列是递增数列D.
    变式3.(2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试)无穷数列满足:,且对任意的正整数n,均有,则下列说法正确的是( )
    A.数列为严格减数列B.存在正整数n,使得
    C.数列中存在某一项为最大项D.存在正整数n,使得
    题型二:函数与不等式的综合
    例4.(2023·全国·高三专题练习)关于x的不等式,解集为___________.
    例5.(2023·全国·高三专题练习)意大利数学家斐波那契年~年)以兔子繁殖数量为例,引人数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和,即,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”,其通项公式为.设是不等式的正整数解,则的最小值为__________.
    例6.(2023·辽宁·高三校考阶段练习)已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数的最小值为______________.
    变式4.(2023·全国·模拟预测)已知函数是定义域为R的函数,,对任意,,均有,已知a,b为关于x的方程的两个解,则关于t的不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    题型三:函数中的创新题
    例7.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,.已知在处的阶帕德近似为.注:
    (1)求实数,的值;
    (2)求证:;
    (3)求不等式的解集,其中.
    例8.(2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模)定义:如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称,则称函数和具有C关系.
    (1)判断函数和是否具有C关系;
    (2)若函数和不具有C关系,求实数a的取值范围;
    (3)若函数和在区间上具有C关系,求实数m的取值范围.
    例9.(2023·重庆·高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮,悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为,其中为参数.当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的我们有双曲正弦函数.
    (1)从下列三个结论中选择一个进行证明,并求函数的最小值;
    ①;
    ②;
    ③.
    (2)求证:,.
    变式5.(2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点"函数,而称为该函数的一个不动点. 现新定义: 若满足,则称为的次不动点.
    (1)判断函数是否是“不动点”函数,若是,求出其不动点; 若不是,请说明理由
    (2)已知函数,若是的次不动点,求实数的值:
    (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点,求实数的取值范围.
    题型四:最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)
    例10.(2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数,对于任意的实数a,b,总存在,使得成立,则当m取最大值时,( )
    A.7B.4C.D.
    例11.(2023·湖北·高三校联考阶段练习)设函数,若对任意的实数a,b,总存在使得成立,则实数的最大值为( )
    A.-1B.0C.D.1
    例12.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若对任意的正实数,总存在,使得,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若对任意的实数a,b,总存在,使得成立,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    变式7.(2023·高一课时练习)已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为( )
    A.B.C.D.1
    变式8.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)已知函数,且,满足,当时,设函数的最大值为,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    变式9.(2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)若a、,且对于时,不等式均成立,则实数对_________.
    题型五:倍值函数
    例13.(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域为,若满足:①在内是单调函数;②存在使得在上的值域为,则称函数为“成功函数”.若函数(其中,且)是“成功函数”,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    例14.(2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末)设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:(1)在上是单调函数;(2)在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”,下列结论错误的是
    A.函数存在“和谐区间”
    B.函数不存在“和谐区间”
    C.函数存在“和谐区间”
    D.函数(,)不存在“和谐区间”
    例15.(2023·安徽·高三统考期末)函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有
    ①; ②;
    ③; ④
    A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③
    变式10.(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域为,对给定的正数,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是( )
    A.函数()存在1级“理想区间”
    B.函数()不存在2级“理想区间”
    C.函数()存在3级“理想区间”
    D.函数,不存在4级“理想区间”
    变式11.(2023·全国·高三专题练习)设函数的定义域为D,若满足条件:存在,使在上的值域为,则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”,则实数t的取值范围是
    A.B.
    C.D.
    题型六:函数不动点问题
    例16.(2023·广西柳州·统考模拟预测)设函数(,为自然对数的底数),若曲线上存在点使成立,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例17.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若曲线是自然对数的底数)上存在点使得,则的取值范围是
    A.B.C.D.
    例18.(2023·江苏·高二专题练习)若存在一个实数,使得成立,则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数,定义在R上的连续函数满足,且当时,若存在,且为函数的一个不动点,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    变式12.(2023·全国·高三专题练习)设函数(为自然对数的底数),若曲线上存在点使得,则的取值范围是
    A.B.C.D.
    变式13.(2023·全国·高三专题练习)设函数(),为自然对数的底数,若曲线上存在点,使得,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    题型七:函数的旋转问题
    例19.(2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)将函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为( )
    A.πB.C.D.
    例20.(2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中)设是含数的有限实数集,是定义在上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,的可能取值只能是( )
    A.B.C.D.
    例21.(2023·全国·高三专题练习)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题,其中真命题的个数为( )
    ①f(x)是奇函数;
    ②f(x)的图象过点或;
    ③f(x)的值域是;
    ④函数y=f(x)-x有两个零点.
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    变式14.(2023·全国·高三专题练习)将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线,当时都能使成为某个函数的图像,则的最大值是( )
    A.B.C.D.
    题型八:函数的伸缩变换问题
    例22.(2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末)定义域为的函数满足,当时,.若时,恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例23.(2023·全国·高三专题练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    例24.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的函数满足,当时,,设在上的最大值为则数列的前n项和的值为( )
    A.B.C.D.
    变式15.(2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习)定义域为R的函数满足,当时, ,若时,恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    题型九:V型函数和平底函数
    例25.(2023·全国·高三专题练习)已知a1,a2,a3与b1,b2,b3是6个不同的实数,若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集,则集合A中,最多有__个元素.
    例26.(浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题)已知等差数列满足:,则的最大值为( )
    A.18B.16C.12D.8
    例27.(上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题)等差数列,满足,则( )
    A.的最大值为50B.的最小值为50
    C.的最大值为51D.的最小值为51
    变式16.(上海市青浦区2023届高三二模数学试题)等差数列,满足,则( )
    A.的最大值是50B.的最小值是50
    C.的最大值是51D.的最小值是51
    变式17.(浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题)设等差数列,,…,(,)的公差为,满足,则下列说法正确的是
    A.B.的值可能为奇数
    C.存在,满足D.的可能取值为
    重难点突破02 函数的综合应用
    目录
    1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现,通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题,求解这些问题时,着重掌握函数的性质,把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通,从而找到解题的突破口,要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法;掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等);了解反函数的概念与性质;掌握指数、对数式大小比较的常见方法;掌握指数、对数方程和不等式的解法;掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义,特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.
    2、函数的图象与性质
    分奇、偶两种情况考虑:
    比如图(1)函数,图(2)函数

    (1)当为奇数时,函数的图象是一个“”型,且在“最中间的点”取最小值;
    (2)当为偶数时,函数的图象是一个平底型,且在“最中间水平线段”取最小值;
    若为等差数列的项时,奇数的图象关于直线对称,偶数的图象关于直线对称.
    3、若为上的连续单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值的最小值为,当且仅当时取得.
    题型一:函数与数列的综合
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列,满足,,设数列的前项和为,则以下结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】,把代入递推可得:,
    令,,则,在单调递增,
    ,即当时,恒有成立,
    ,,,故选项错误;
    又,选项错误;
    ,,
    令,,则,函数在,上递减,,
    ,故选项正确;
    又由可得,,(当且仅当时取“ “,可得,
    ,故选项错误,
    故选.
    例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,则下列有关数列的叙述正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由,解得或,
    由零点存在性定理得,
    当时,,数列单调递减,
    ,,同理,,
    迭代下去,可得,数列单调递减,
    故选项和选项都错误;
    又,
    ,故错误;
    对于,,
    而,
    ,故正确.
    故选.
    例3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,数列的前项和为,且满足,,则下列有关数列的叙述正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】对于选项,,故错误;
    对于选项,由 知,,
    故 为非负数列,又,
    设,则,
    易知 在,单调递减,在上单调递增,
    所以,
    又,所以,从而,
    所以 为递减数列,且,故错误;
    对于选项,
    因为数列 为递减数列,当 时,有,

    故正确;对于选项,因为,而,故错误.故选.
    变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足:,且,下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.D.
    【答案】B
    【解析】,故,.
    ,故且,于是与同号,
    即.
    对选项A:若,则,则,
    ,所以,错误;
    对选项B:,,则,即,
    于是,即,数列单调递减,,
    ,,故,即,
    ,故 ,
    故,故,正确;
    对选项C:考虑函数,,,
    函数单调递增,结合的图像,如图所示:

    由图可知当 时,数列递减,
    ,所以,即,不正确;
    对选项D:设,则,,
    ,即,
    等价于,化简得,
    而显然不恒成立,不正确;
    故选:B.
    变式2.(2023·陕西渭南·统考二模)已知函数,将的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列,对于,则下列说法中正确的是( )
    A.B.
    C.数列是递增数列D.
    【答案】D
    【解析】的极值点为在上的变号零点.
    即为函数与函数图像在交点的横坐标.
    又注意到时,,时,,
    ,时,.
    据此可将两函数图像画在同一坐标系中,如下图所示.
    A选项,注意到时,,,.
    结合图像可知当,.
    当,.故A错误;
    B选项,由图像可知,则,故B错误;
    C选项,表示两点与间距离,由图像可知,
    随着n的增大,两点间距离越来越近,即为递减数列,故C错误;
    D选项,由A选项分析可知,,
    又结合图像可知,当时,,即此时,
    得在上单调递增,
    则,故D正确.
    故选:D
    变式3.(2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试)无穷数列满足:,且对任意的正整数n,均有,则下列说法正确的是( )
    A.数列为严格减数列B.存在正整数n,使得
    C.数列中存在某一项为最大项D.存在正整数n,使得
    【答案】D
    【解析】因为,所以,所以,
    由可得,则,
    则有,
    设函数,

    当时,,当时,,
    所以在单调递增,单调递减,
    所以,
    因为,所以
    以此类推,对任意,故B错误;
    所以,故A错误;
    因为,所以数列中不存在某一项为最大项,C错误;
    因为,所以,

    所以存在正整数n,使得,D正确.
    题型二:函数与不等式的综合
    例4.(2023·全国·高三专题练习)关于x的不等式,解集为___________.
    【答案】
    【解析】由题设,,而在R上递增,
    当即时,,原不等式不成立;
    当即时,,原不等式恒成立.
    综上,解集为.
    故答案为:
    例5.(2023·全国·高三专题练习)意大利数学家斐波那契年~年)以兔子繁殖数量为例,引人数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和,即,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”,其通项公式为.设是不等式的正整数解,则的最小值为__________.
    【答案】8
    【解析】由,得,
    得,得,
    得,,
    所以,
    令,则数列即为斐波那契数列,
    ,则,显然数列为递增数列且,所以数列亦为递增数列,
    由,得,,,,
    ,,
    因为,,
    所以
    使得成立的的最小值为8.
    故答案为:.
    例6.(2023·辽宁·高三校考阶段练习)已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数的最小值为______________.
    【答案】
    【解析】因为,
    所以图象关于点对称,
    又,
    所以在上单调递增,
    等价于,
    即恒成立,
    所以,即恒成立,
    令,可得,
    而,当且仅当时取等号,
    所以,即实数的最小值为.
    故答案为:.
    变式4.(2023·全国·模拟预测)已知函数是定义域为R的函数,,对任意,,均有,已知a,b为关于x的方程的两个解,则关于t的不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由,得且函数关于点对称.
    由对任意,,均有,
    可知函数在上单调递增.
    又因为函数的定义域为R,
    所以函数在R上单调递增.
    因为a,b为关于x的方程的两个解,
    所以,解得,
    且,即.
    又,
    令,则,
    则由,得,
    所以.
    综上,t 的取值范围是.
    故选:D.
    题型三:函数中的创新题
    例7.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,.已知在处的阶帕德近似为.注:
    (1)求实数,的值;
    (2)求证:;
    (3)求不等式的解集,其中.
    【解析】(1)因为,所以,,
    ,则,,
    由题意知,,,
    所以,解得,.
    (2)由(1)知,即证,
    令,则且,
    即证时,
    记,,
    则,
    所以在上单调递增,在上单调递增,
    当时,即,即成立,
    当时,即,即成立,
    综上可得时,
    所以成立,即成立.
    (3)由题意知,欲使得不等式成立,
    则至少有,即或,
    首先考虑,该不等式等价于,即,
    又由(2)知成立,
    所以使得成立的的取值范围是,
    再考虑,该不等式等价于,
    记,,
    则,所以当时,时,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    所以,即,,
    所以,,
    当时由,可知成立,
    当时由,可知不成立,
    所以使得成立的的取值范围是,
    综上可得不等式的解集为.
    例8.(2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模)定义:如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称,则称函数和具有C关系.
    (1)判断函数和是否具有C关系;
    (2)若函数和不具有C关系,求实数a的取值范围;
    (3)若函数和在区间上具有C关系,求实数m的取值范围.
    【解析】(1)与是具有C关系,理由如下:
    根据定义,若与具有C关系,则在与的定义域的交集上存在,使得,
    因为,,,
    所以,
    令,即,解得,
    所以与具有C关系.
    (2)令,
    因为,,所以,
    令,则,故,
    因为与不具有C关系,所以在上恒为负或恒为正,
    又因为开口向下,所以在上恒为负,即在上恒成立,
    当时,显然成立;
    当时,在上恒成立,
    因为,当且仅当,即时,等号成立,
    所以,所以,
    综上:,即.
    (3)因为和,
    令,则,
    因为与在上具有C关系,所以在上存在零点,
    因为,
    当且时,因为,所以,
    所以在上单调递增,则,
    此时在上不存在零点,不满足题意;
    当时,显然当时,,
    当时,因为在上单调递增,且,
    故在上存在唯一零点,设为,则,
    所以当;当;又当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,在上存在唯一极小值点,
    因为,所以,
    又因为,所以在上存在唯一零点,
    所以函数与在上具有C关系,
    综上:,即.
    例9.(2023·重庆·高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮,悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为,其中为参数.当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的我们有双曲正弦函数.
    (1)从下列三个结论中选择一个进行证明,并求函数的最小值;
    ①;
    ②;
    ③.
    (2)求证:,.
    【解析】(1)证明:选①,;
    选②,;
    选③,.
    ,令,
    因为函数、均为上的增函数,故函数也为上的增函数,
    故,则,所以,
    所以,当且仅当时取“”,
    所以的最小值为.
    (2)证明:,

    当时,,,所以,
    所以,所以成立;
    当时,则,且正弦函数在上为增函数,
    ,所以,,
    所以成立,
    综上,,.
    变式5.(2023·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔,简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点"函数,而称为该函数的一个不动点. 现新定义: 若满足,则称为的次不动点.
    (1)判断函数是否是“不动点”函数,若是,求出其不动点; 若不是,请说明理由
    (2)已知函数,若是的次不动点,求实数的值:
    (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点,求实数的取值范围.
    【解析】(1)依题意,设为的不动点,即,于是得,解得或,
    所以 是“不动点” 函数,不动点是2和.
    (2)因是“次不动点”函数,依题意有,即,显然,解得,
    所以实数的值是.
    (3)设分别是函数在上的不动点和次不动点,且唯一,
    由得:,即,整理得:,
    令,显然函数在上单调递增,则,,则,
    由得:,即,整理得:,
    令,显然函数在上单调递增,,,则,
    综上得:,
    所以实数的取值范围.
    题型四:最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)
    例10.(2023·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数,对于任意的实数a,b,总存在,使得成立,则当m取最大值时,( )
    A.7B.4C.D.
    【答案】A
    【解析】由,得,
    设,则,
    在上单调递增,在上单调递减,

    设,
    画出函数的图像如图
    对任意的实数a,b,总存在,使得成立,
    等价于求最大值中的最小值,
    由图像可知当时,取得最大值2,此时,
    故选:A
    例11.(2023·湖北·高三校联考阶段练习)设函数,若对任意的实数a,b,总存在使得成立,则实数的最大值为( )
    A.-1B.0C.D.1
    【答案】C
    【解析】由已知得
    设构造函数满足,即,解得,
    则,令,
    则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时,纵坐标的竖直距离,
    ∵,且(当且仅当时取等号),
    ∴若设直线的方程为,直线的方程为,由此可知当,直线位于直线和直线中间时,纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值,故,
    所以实数的最大值为.
    故选:.
    例12.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若对任意的正实数,总存在,使得,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】对任意的正实数,总存在,,使得,,.
    令,,函数在,单调递减,
    ∴(1),(4).
    ①时,,则.
    ②时,,,则.
    ③时,,,则.
    ④时,,则.
    综上①②③④可得:,即 .
    实数的取值范围为,.
    故选:D.
    变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若对任意的实数a,b,总存在,使得成立,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由存在,使得成立,故,
    又对任意的实数a,b,,则,
    可看作横坐标相同时,函数
    与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值,
    又,作示意图如图所示:
    设,则直线的方程,设与相切,
    则,得,有,
    得或,由图知,切点,则,
    当直线与,平行且两直线距离相等时,即恰好处于正中间时,
    函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值,
    此时,,故.
    故选:B
    变式7.(2023·高一课时练习)已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为( )
    A.B.C.D.1
    【答案】B
    【解析】函数,当,时,的最大值为,
    可得,,,
    可得,,,

    即,即有,则的最小值为,
    故选:B
    变式8.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)已知函数,且,满足,当时,设函数的最大值为,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】设,则,
    当时,,为减函数,
    当时,,为增函数,所以,
    作出的图象如下,
    令,即,得,
    且,显然,
    在上,当时,,
    当时,,当时取等号;
    当时, ,所以,
    此时点到直线的距离都是,
    当时,三点中中至少有一个点满足
    ,所以,综上所述,,
    故选:D.
    变式9.(2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)若a、,且对于时,不等式均成立,则实数对_________.
    【答案】
    【解析】对于时,不等式均成立,
    即恒成立.
    令,,
    则表示圆心为,半径为的圆在上的圆弧;
    表示圆心为,半径为的圆在上的圆弧,如下所示:
    根据题意,要满足题意,其图象需在圆弧以及圆弧之间,
    数形结合可知:连接后所形成的直线恰好满足题意,且唯一.
    其斜率为,故其方程为,
    故实数对.
    为严谨,下证直线与圆相切,
    圆心到直线的距离,
    其与半径1相等,故圆与直线相切,即证.
    故答案为:.
    题型五:倍值函数
    例13.(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域为,若满足:①在内是单调函数;②存在使得在上的值域为,则称函数为“成功函数”.若函数(其中,且)是“成功函数”,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为、的单调性相同,
    所以为定义域上的增函数,
    因为存在使得在上的值域为,
    所以,即有两解,
    即在R上有两个不相等的实数根,
    令,则在上有两个不同的解,
    所以,解得,
    故选:D.
    例14.(2023·上海金山·高三上海市金山中学校考期末)设函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:(1)在上是单调函数;(2)在上的值域是,则称区间是函数的“和谐区间”,下列结论错误的是
    A.函数存在“和谐区间”
    B.函数不存在“和谐区间”
    C.函数存在“和谐区间”
    D.函数(,)不存在“和谐区间”
    【答案】D
    【解析】函数中存在“和谐区间”,则①在内是单调函数;②或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值,且为最小值,,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根,故存在“和谐区间”,结论错误,故选D.
    例15.(2023·安徽·高三统考期末)函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有
    ①; ②;
    ③; ④
    A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③
    【答案】C
    【解析】函数存在“倍值区间”,即函数的图像与直线有交点,
    与直线有交点是(0,0),(2,4);对于,构造函数;所以没有零点,即与直线没有交点;
    与直线的交点是(0,0),(1,2).解方程即,当无解;有两解.故
    不满足题意.选C.
    变式10.(2023·全国·高三专题练习)函数的定义域为,对给定的正数,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的级“理想区间”.下列结论错误的是( )
    A.函数()存在1级“理想区间”
    B.函数()不存在2级“理想区间”
    C.函数()存在3级“理想区间”
    D.函数,不存在4级“理想区间”
    【答案】D
    【解析】A中,当时,在上是单调增函数,且在上的值域是,
    所以存在1级“理想区间”,所以A正确;
    B中,当时,在上是单调增函数,且在上的值域是,所以不存在2级“理想区间”,所以B正确;
    C中,由,得,当时,,所以在上为增函数,假设存在,使得,则有,即,由,得或,所以当时,满足条件,即区间为,所以C正确;
    D中,若存在“4级理想区间” ,则是方程的两个根,由和在内有3个交点,如图所示,所以该方程存在两个不等的根,故存在“4级理想区间” ,所以D错误,
    故选:D
    变式11.(2023·全国·高三专题练习)设函数的定义域为D,若满足条件:存在,使在上的值域为,则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”,则实数t的取值范围是
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】因为函数为“倍缩函数”,且为递增函数
    所以存在,使在上的值域为
    则 ,由此可知等价于 有两个不等实数根

    则,令
    解得
    代入方程得
    解得,因为有两个不等的实数根
    所以t的取值范围为
    所以选B
    题型六:函数不动点问题
    例16.(2023·广西柳州·统考模拟预测)设函数(,为自然对数的底数),若曲线上存在点使成立,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】
    由题意, 存在,使成立,
    即存在,使成立,
    所以,即,
    所以
    所以存在,使与有交点,
    对,,求导得,
    设,则,
    令,即;令,即,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所以,
    所以在上单调递增,
    又,

    要使与有交点,则,
    所以的取值范围是.
    故选:A.
    例17.(2023·全国·高三专题练习)设函数,若曲线是自然对数的底数)上存在点使得,则的取值范围是
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】因为 ,所以 在 上有解
    因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解,即 ,因为 ,选C.
    例18.(2023·江苏·高二专题练习)若存在一个实数,使得成立,则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数,定义在R上的连续函数满足,且当时,若存在,且为函数的一个不动点,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】依题意知,令,,,为奇函数,
    ,且当时,,
    当时,,单调递减,在R上单调递减,
    由,得,即,
    ,即,,
    为函数的一个不动点,,即,
    ,即关于x的方程在上有解.
    令,,则,
    在上单调递减,,
    要使关于x的方程在上有解,则,即实数a的取值范围为.
    故选:B
    变式12.(2023·全国·高三专题练习)设函数(为自然对数的底数),若曲线上存在点使得,则的取值范围是
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】法一:由题意可得,

    而由可知,
    当时,=为增函数,
    ∴时,.
    ∴ 不存在使成立,故A,B错;
    当时,=,
    当时,只有时才有意义,而,故C错.故选D.
    法二:显然,函数是增函数,,由题意可得,
    ,而由可知,
    于是,问题转化为在上有解.
    由,得,分离变量,得,
    因为,,
    所以,函数在上是增函数,于是有,
    即,应选D.
    变式13.(2023·全国·高三专题练习)设函数(),为自然对数的底数,若曲线上存在点,使得,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】∵曲线上存在点

    函数()在上是增函数,根据单调性可证
    即在上有解,分离参数,,,根据是增函数可知,只需故选A.
    题型七:函数的旋转问题
    例19.(2023·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)将函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为( )
    A.πB.C.D.
    【答案】D
    【解析】函数的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,
    当且仅当其任意切线都不经过y轴时,其图像都仍然是一个函数的图像.
    因为在是减函数且,当且仅当时等号成立,
    故函数的图像的切线中,
    在处切线的倾斜角最大,其值为.
    由此可知-.
    故选.
    例20.(2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中)设是含数的有限实数集,是定义在上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,的可能取值只能是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.
    我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,故选B.
    例21.(2023·全国·高三专题练习)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题,其中真命题的个数为( )
    ①f(x)是奇函数;
    ②f(x)的图象过点或;
    ③f(x)的值域是;
    ④函数y=f(x)-x有两个零点.
    A.4个B.3个C.2个D.1个
    【答案】C
    【解析】
    双曲线关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称,所以为奇函数,故①正确;双曲线的顶点为,渐近线方程为,可得的图象渐近线为和,图象关于直线对称,所以的图象过点或,由图象的对称性可得,逆时针旋转60度,位于一、三象限,按顺时针旋转60度,位于二、四象限;故②正确;逆时针旋转60度,位于一、三象限,由图象可得顶点为或,不是极值点,则的值域不是,顺时针旋转60度,位于二、四象限,由图象的对称性知的值域不是,故③错误;当的图象位于一、三象限时,的图象与直线有2个交点,函数有两个零点,当的图象位于二、四象限时,的图象与直线没有交点,函数没有零点,故④错误,故选;C.
    变式14.(2023·全国·高三专题练习)将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线,当时都能使成为某个函数的图像,则的最大值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】在原点处的切线斜率为,切线方程为
    当绕着原点逆时针方向旋转时,若旋转角大于,则旋转所成的图像与轴就会有两个交点,则曲线不再是函数的图像.所以的最大值为.
    故选:B.
    题型八:函数的伸缩变换问题
    例22.(2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末)定义域为的函数满足,当时,.若时,恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1),
    则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1,
    即为f(x)=2x2−10x+11,
    当x∈[3,4],则x−2∈[1,2],
    则f(x)=2f(x−2)−1=.
    当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−;
    当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为;
    当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为−;
    当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值,且为0.
    综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−.
    若x∈(0,4]时, 恒成立,
    则有.
    解得.
    当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
    当x∈(2,3)时,f(x)∈[−,−1),
    当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1],
    即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
    由,即为,解得,
    综上,即有实数t的取值范围是.
    故选:C.
    例23.(2023·全国·高三专题练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】因为当时,不等式恒成立,所以,
    当时,

    当时,,当时, ,因此当时,,选B.
    例24.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的函数满足,当时,,设在上的最大值为则数列的前n项和的值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】时,,最大值为,
    时,,易知时,递增,时,递减,因此最大值为,
    综上,,,即,
    又,即,
    当时,,∴,
    ∴是等比数列,公比为,
    ∴.
    故选:D.
    变式15.(2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习)定义域为R的函数满足,当时, ,若时,恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】当时,的取值范围是;
    当时,的取值范围是,
    所以当时,的取值范围是,
    因为函数满足,所以,
    又当时,,
    故的取值范围是,
    所以时,,
    故,解得,
    所以实数的取值范围是,
    故选:D.
    题型九:V型函数和平底函数
    例25.(2023·全国·高三专题练习)已知a1,a2,a3与b1,b2,b3是6个不同的实数,若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集,则集合A中,最多有__个元素.
    【答案】1
    【解析】令f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|,g(x)=|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|,
    将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题
    不妨令a1<a2<a3,b1<b2<b3,
    由于f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=,
    g(x)=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|=,
    考查两个函数,可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的,且两条射线的斜率对应相等,两条线段的斜率对应相等.
    当a1,a2,a3的和与b1,b2,b3的和相等时,此时两个函数射线部分完全重合,这与题设中方程的解集是有限集矛盾
    不妨令a1,a2,a3的和小于b1,b2,b3的和即a1+a2+a3<b1+b2+b3,﹣a1﹣a2﹣a3>﹣b1﹣b2﹣b3,
    两个函数图象射线部分端点上下位置不同,即若左边f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上,右边射线端点一定在下,反之亦有可能.
    不妨认为左边f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上,右边射线端点一定在下,且射线互相平行,中间线段也对应平行,图象只能如图:
    故两函数图象只能有一个交点,即方程的解集是有限集时,最多有一个元素,
    故答案为:1.
    例26.(浙江省衢州市2022-2023学年高三数学试题)已知等差数列满足:,则的最大值为( )
    A.18B.16C.12D.8
    【答案】C
    【解析】
    不为常数列,且数列的项数为偶数,设为
    则,一定存在正整数k使得或
    不妨设,即,
    从而得,数列为单调递增数列,
    ,且,
    ,同理
    即,
    根据等差数列的性质,
    所以n的最大值为12,选项C正确,选项ABD错误
    故选:C.
    例27.(上海市川沙中学2022-2023学年高三第二学期数学试题)等差数列,满足,则( )
    A.的最大值为50B.的最小值为50
    C.的最大值为51D.的最小值为51
    【答案】A
    【解析】为等差数列,则使,所以数列中的项一定有正有负,不妨设,因为为定值,故设,且,解得.若且,则,同理若,则.所以,所以数列的项数为,所以,由于,所以,解得,故,故选A.
    变式16.(上海市青浦区2023届高三二模数学试题)等差数列,满足,则( )
    A.的最大值是50B.的最小值是50
    C.的最大值是51D.的最小值是51
    【答案】A
    【解析】时,满足条件,所以满足条件,即最小值为2,舍去B,D.
    要使得取最大值,则项数n为偶数,
    设,等差数列的公差为,首项为,不妨设,
    则,且,由可得,
    所以
    ,
    因为,所以,所以,而,
    所以,故.
    故选A
    变式17.(浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题)设等差数列,,…,(,)的公差为,满足,则下列说法正确的是
    A.B.的值可能为奇数
    C.存在,满足D.的可能取值为
    【答案】A
    【解析】因为
    所以

    则 ()
    ①当时,,不满足(),舍去.
    ②当时,由()得为平底型,故为偶数 .
    的大致图像为:

    所以,故A正确.

    当 时
    当 时
    故不存在,满足,C错


    由于 所以,故D错
    ③当时,令
    由于 的图像与的图像关于轴对称,故只需研究
    故令
    因为
    所以
    由②知为平底型,故为偶数,故B错

    所以 ,故A正确
    由②知,不存在,满足,故C错
    由②知,,故D错
    综上所述,A正确,BCD错误
    故选A.
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