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高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第四课时空间直线、平面的垂直课件
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这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第四课时空间直线、平面的垂直课件，共29页。PPT课件主要包含了直二面角，平面上的射影，°≤θ≤90°，两个半平面，垂直于棱，°≤α≤180°，垂线段，任意一点等内容，欢迎下载使用。
考点一 直线与平面垂直的判定与性质1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
[典例1] (2024·郑州一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
点拨 判定线面垂直的四种方法
[解] (1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
[典例2] (2024·潍坊联考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC.∴AD⊥AC.
点拨 已知两平面垂直时，一般要明确两平面的交线，用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟进训练2 (2024·厦门模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
[证明] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
考点三 垂直关系的综合应用1．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：____________．
2．二面角(1)从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：______________．
3．三种距离(1)点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的______，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)线面距一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)面面距如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都____，把它叫做这两个平行平面间的距离．
法二：如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
[典例3] (2024·天津河北区模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离．
[解] (1)连接BD交AC于点O，连接OP.∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PACQ，∴∠BPO即为BP与平面PACQ所成的角．
点拨 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可．
[解] (1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．
考点一 直线与平面垂直的判定与性质1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
[典例1] (2024·郑州一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
点拨 判定线面垂直的四种方法
[解] (1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
[典例2] (2024·潍坊联考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC.∴AD⊥AC.
点拨 已知两平面垂直时，一般要明确两平面的交线，用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟进训练2 (2024·厦门模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
[证明] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
考点三 垂直关系的综合应用1．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：____________．
2．二面角(1)从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：______________．
3．三种距离(1)点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的______，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)线面距一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)面面距如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都____，把它叫做这两个平行平面间的距离．
法二：如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
[典例3] (2024·天津河北区模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离．
[解] (1)连接BD交AC于点O，连接OP.∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PACQ，∴∠BPO即为BP与平面PACQ所成的角．
点拨 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可．
[解] (1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形．
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