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2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第四节空间直线平面的垂直课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第四节空间直线平面的垂直课件，共60页。PPT课件主要包含了强基础增分策略，知识梳理，不大于，0°90°，a⊥α，半平面，直二面角，b⊥α，答案A，增素能精准突破等内容，欢迎下载使用。
1.直线与直线垂直(1)两条直线所成的角:平面内两条直线相交形成4个角,其中 90°的角称为两条直线所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
角的大小与点O的位置无关
(3)空间两条直线所成角的取值范围是 . (4)两条异面直线互相垂直:如果两条异面直线所成的角是 ,称这两条异面直线互相垂直.
微思考能给空间两条直线的互相垂直下个定义吗?
提示 如果空间两条直线所成的角是直角,称这两条空间直线互相垂直.
2.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
与“所有直线”是同义的,但与“无数条”不同
(2)判定定理与性质定理
(3)直线和平面所成的角①定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. ②范围:[0°,90°],一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°.
微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?
提示 存在,如图.
3.平面与平面垂直(1)二面角:从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以该点为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,这两条射线所构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
(3)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(4)判定定理与性质定理
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?
提示 不一定.当m⊂α时,m⊥β.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( )(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.( )(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( )
2.(2023山东泰安一模)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,n⊂α,则“m⊥α”是“m⊥n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析由线面垂直的性质定理知,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n成立,即充分性成立;由线面垂直的判定定理,当m垂直平面α内的两条相交直线,才有m⊥α,即必要性不成立.故选A.
3.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为 .
答案 a∥α或a⊂α 解析 当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条件
典例突破例1.(1)(多选)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法正确的是( )A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,则b∥βD.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β
(2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成,将△ACD绕AC边旋转的过程中,下列结论可能成立的是( )A.CD⊥ABB.BC⊥ADC.BD⊥ABD.BC⊥CD
答案 (1)ABD (2)ACD
解析 (1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;对于B,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α,所以存在直线m⊂α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正确;对于C,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α.又α∥β,所以b⊂β或b∥β,故C错误;对于D,若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β,故D正确.故选ABD.
(2)当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时,因为CD⊥AC,AC∩BC=C,此时CD⊥平面ABC,而AB,BC⊂平面ABC,则CD⊥AB,CD⊥BC,A,D正确;此时AB⊥平面BCD,DB⊂平面BCD,所以AB⊥DB,C正确;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD=A,故必有BC⊥平面ABD,由图形可知,D点在B点正上方,而CD
解析 如图1所示,在正方体中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,故B正确;如图2所示,在平面γ内取一点Q,作QM⊥CP,QN⊥CD,因为平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,所以QM⊥平面α,QN⊥平面β.又因为α∩β=l,所以QM⊥l,QN⊥l.又QM∩QN=Q,则l⊥平面γ,故C正确;
典例突破例2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
方法总结证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:
对点训练2(2023陕西榆林二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形, ∠ABC=60°,PA=PC,E是棱PD上的一点,且 .(1)证明:AC⊥平面PBD;
(1)证明 如图,记AC∩BD=O,连接OP,则O是BD,AC的中点.因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是AC的中点.因为PA=PC,所以OP⊥AC.因为OP,BD⊂平面PBD,且OP∩BD=O,所以AC⊥平面PBD.
(2)解如图,连接OE.因为PB=PD,且由题意知O是BD的中点,所以OP⊥BD.由(1)知OP⊥AC,AC,BD⊂平面ABCD,且AC∩BD=O,所以OP⊥平面ABCD.
例3.(2023全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1,过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C.∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D.∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC,∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边
方法总结利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法
对点训练3如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
例4.(1)(2023广西梧州一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则异面直线A1B,EF所成角的余弦值是( )
(2)(2023全国乙,理9)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
(3)(2023安徽滁州一模)如图,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
答案 (1)C (2)C (3)D
解析(1)如图,F是线段C1D的中点,连接CD1交C1D于点F,由CD1∥BA1,知异面直线A1B,EF所成角即为直线CD1,EF所成角,故∠CFE或其补角是异面直线EF与A1B所成角.
(2) 如图,取AB中点O,连接OC,OD,则由题可知∠DOC为二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.设CA=CB=a,
(3)如图,设AC∩BD=O,连接OF,∵F,O分别为PC,AC的中点,∴FO∥PA.∵PA⊥平面ABCD,∴FO⊥平面ABCD,则平面FBD⊥平面ABCD.∵平面FBD∩平面ABCD=BD,CO⊥BD,∴CO⊥平面FBD.过点O作OE⊥BF,连接EC,易知BF⊥平面OEC,则BF⊥EC,即∠OEC为所求二面角的平面角,设PA=AD=AC=2,则△ADC为等边三角形,则
规律方法1.求异面直线所成角常通过平移一条直线,把空间角转化为平面角;平移直线的方法有:利用三角形的中位线平移;利用平行四边形平移;利用补形平移;利用平行线分线段成比例的推论平移.2.求直线与平面所成的角或二面角的步骤是:一做二证三计算,即先在图中作出所求的角,然后证明这个角是直线与平面所成的角或二面角,最后计算出角的大小.3.作二面角的平面角主要有两种方法:(1)定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2条射线,这2条射线所夹的角;(2)三垂线法:过一个半平面内一点(记为A)作另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B)再作棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB即为该二面角的平面角.
对点训练4(1)(2023陕西商洛一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE所成角的余弦值为( )
(2)(2023陕西商洛二模)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
(3)(2023全国高三专题练习)如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= ,则二面角A-PC-B的余弦值大小为 .
答案 (1)C (2)B (3)0
解析 (1)如图,取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角.
(3)如图,作AD⊥PC,DE∥BC,连接AE,∵PA=AC=1,故D,E分别为PC,PB的中点.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,故BC⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,故BC⊥PC,∴DE⊥PC,则∠ADE为二面角A-PC-B的平面角.
例5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB, AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.
(1)求证:AC⊥AE.(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.(3)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,又因为侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC⊂底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1.又因为AE⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AE.
(2)解连接AB1,因为A1B1=AB,AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.
因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1.又因为AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因为A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1⊂底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1.所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
(3)解在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.因为BB1∥AA1,所以△A1PE∽△B1BE,
由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F为棱BC的中点,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF,故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.此时A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.
名师点析立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化
对点训练5 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD, AB⊥AD,AB=AD=2CD=2,△APD为等边三角形,E为棱PB的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAD.(2)当PB的长为多少时,平面PAD⊥平面ABCD?请说明理由,并求出此时点E到平面PCD的距离.
(1)证明如图所示,取线段PA的中点F,连接EF,FD,因为E为棱PB的中点,则EF为△PAB的中位线,
所以EF∥CD,且EF=CD,所以四边形CEFD为平行四边形,所以CE∥DF,因为DF⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.
又因为AB⊥AD,AD∩PA=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.因为E为棱PB的中点,所以E到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离的一半.因为AB⊥平面PAD,AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.
1.直线与直线垂直(1)两条直线所成的角:平面内两条直线相交形成4个角,其中 90°的角称为两条直线所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
角的大小与点O的位置无关
(3)空间两条直线所成角的取值范围是 . (4)两条异面直线互相垂直:如果两条异面直线所成的角是 ,称这两条异面直线互相垂直.
微思考能给空间两条直线的互相垂直下个定义吗?
提示 如果空间两条直线所成的角是直角,称这两条空间直线互相垂直.
2.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
与“所有直线”是同义的,但与“无数条”不同
(2)判定定理与性质定理
(3)直线和平面所成的角①定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. ②范围:[0°,90°],一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°.
微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?
提示 存在,如图.
3.平面与平面垂直(1)二面角:从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以该点为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,这两条射线所构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角α的取值范围是[0°,180°].
(3)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(4)判定定理与性质定理
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?
提示 不一定.当m⊂α时,m⊥β.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( )(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.( )(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( )
2.(2023山东泰安一模)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,n⊂α,则“m⊥α”是“m⊥n”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析由线面垂直的性质定理知,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n成立,即充分性成立;由线面垂直的判定定理,当m垂直平面α内的两条相交直线,才有m⊥α,即必要性不成立.故选A.
3.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为 .
答案 a∥α或a⊂α 解析 当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条件
典例突破例1.(1)(多选)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法正确的是( )A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,则b∥βD.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β
(2)(多选)如图所示,已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成,将△ACD绕AC边旋转的过程中,下列结论可能成立的是( )A.CD⊥ABB.BC⊥ADC.BD⊥ABD.BC⊥CD
答案 (1)ABD (2)ACD
解析 (1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;对于B,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α,所以存在直线m⊂α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正确;对于C,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α.又α∥β,所以b⊂β或b∥β,故C错误;对于D,若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β,故D正确.故选ABD.
(2)当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时,因为CD⊥AC,AC∩BC=C,此时CD⊥平面ABC,而AB,BC⊂平面ABC,则CD⊥AB,CD⊥BC,A,D正确;此时AB⊥平面BCD,DB⊂平面BCD,所以AB⊥DB,C正确;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD=A,故必有BC⊥平面ABD,由图形可知,D点在B点正上方,而CD
解析 如图1所示,在正方体中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,故B正确;如图2所示,在平面γ内取一点Q,作QM⊥CP,QN⊥CD,因为平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,所以QM⊥平面α,QN⊥平面β.又因为α∩β=l,所以QM⊥l,QN⊥l.又QM∩QN=Q,则l⊥平面γ,故C正确;
典例突破例2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
方法总结证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:
对点训练2(2023陕西榆林二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形, ∠ABC=60°,PA=PC,E是棱PD上的一点,且 .(1)证明:AC⊥平面PBD;
(1)证明 如图,记AC∩BD=O,连接OP,则O是BD,AC的中点.因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是AC的中点.因为PA=PC,所以OP⊥AC.因为OP,BD⊂平面PBD,且OP∩BD=O,所以AC⊥平面PBD.
(2)解如图,连接OE.因为PB=PD,且由题意知O是BD的中点,所以OP⊥BD.由(1)知OP⊥AC,AC,BD⊂平面ABCD,且AC∩BD=O,所以OP⊥平面ABCD.
例3.(2023全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1,过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C.∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D.∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC,∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边
方法总结利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法
对点训练3如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.
(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.
例4.(1)(2023广西梧州一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则异面直线A1B,EF所成角的余弦值是( )
(2)(2023全国乙,理9)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形,若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
(3)(2023安徽滁州一模)如图,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
答案 (1)C (2)C (3)D
解析(1)如图,F是线段C1D的中点,连接CD1交C1D于点F,由CD1∥BA1,知异面直线A1B,EF所成角即为直线CD1,EF所成角,故∠CFE或其补角是异面直线EF与A1B所成角.
(2) 如图,取AB中点O,连接OC,OD,则由题可知∠DOC为二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.设CA=CB=a,
(3)如图,设AC∩BD=O,连接OF,∵F,O分别为PC,AC的中点,∴FO∥PA.∵PA⊥平面ABCD,∴FO⊥平面ABCD,则平面FBD⊥平面ABCD.∵平面FBD∩平面ABCD=BD,CO⊥BD,∴CO⊥平面FBD.过点O作OE⊥BF,连接EC,易知BF⊥平面OEC,则BF⊥EC,即∠OEC为所求二面角的平面角,设PA=AD=AC=2,则△ADC为等边三角形,则
规律方法1.求异面直线所成角常通过平移一条直线,把空间角转化为平面角;平移直线的方法有:利用三角形的中位线平移;利用平行四边形平移;利用补形平移;利用平行线分线段成比例的推论平移.2.求直线与平面所成的角或二面角的步骤是:一做二证三计算,即先在图中作出所求的角,然后证明这个角是直线与平面所成的角或二面角,最后计算出角的大小.3.作二面角的平面角主要有两种方法:(1)定义法:在棱上取一点,在两个半平面内作垂直于棱的2条射线,这2条射线所夹的角;(2)三垂线法:过一个半平面内一点(记为A)作另一个半平面的一条垂线,过这个垂足(记为B)再作棱的垂线,记垂足为C,连接AC,则∠ACB即为该二面角的平面角.
对点训练4(1)(2023陕西商洛一模)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=2,AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE所成角的余弦值为( )
(2)(2023陕西商洛二模)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为( )
(3)(2023全国高三专题练习)如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= ,则二面角A-PC-B的余弦值大小为 .
答案 (1)C (2)B (3)0
解析 (1)如图,取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角.
(3)如图,作AD⊥PC,DE∥BC,连接AE,∵PA=AC=1,故D,E分别为PC,PB的中点.∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又AC⊥BC,PA∩AC=A,故BC⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,故BC⊥PC,∴DE⊥PC,则∠ADE为二面角A-PC-B的平面角.
例5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB, AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.
(1)求证:AC⊥AE.(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.(3)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,又因为侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC⊂底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1.又因为AE⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AE.
(2)解连接AB1,因为A1B1=AB,AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.
因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1.又因为AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因为A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1⊂底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1.所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
(3)解在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.因为BB1∥AA1,所以△A1PE∽△B1BE,
由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F为棱BC的中点,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF,故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.此时A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.
名师点析立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化
对点训练5 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD, AB⊥AD,AB=AD=2CD=2,△APD为等边三角形,E为棱PB的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAD.(2)当PB的长为多少时,平面PAD⊥平面ABCD?请说明理由,并求出此时点E到平面PCD的距离.
(1)证明如图所示,取线段PA的中点F,连接EF,FD,因为E为棱PB的中点,则EF为△PAB的中位线,
所以EF∥CD,且EF=CD,所以四边形CEFD为平行四边形,所以CE∥DF,因为DF⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.
又因为AB⊥AD,AD∩PA=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.因为E为棱PB的中点,所以E到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离的一半.因为AB⊥平面PAD,AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.
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