高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第一课时平面向量的概念及线性运算学案

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【教师备选资源】
第1课时 平面向量的概念及线性运算
[考试要求] 1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
考点一 平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度为0的向量，记作0．
3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[典例1] (多选)下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使aa＋bb＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
BCD [A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C项，因为aa与bb都是单位向量，所以只有当aa与bb是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；
D项，由向量相等的定义知D正确．]
解决此类问题应特别注意以下几点：
(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；
(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；
(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(4)对于任意非零向量a，aa是与a同向的单位向量．
跟进训练1 (2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
C [对于A，单位向量的模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，
若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|．
综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C．]
考点二 平面向量的线性运算
提醒：首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
向量的线性运算
[典例2] (多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量CD表示正确的是( )
A．CD＝CA+DB
B．CD＝BC+DA
C．CD＝12AB+AC
D．CD＝12CA＋12CB
AD [对于A，因为D是AB的中点，所以AD＝DB，
因为CD＝CA+AD，
所以CD＝CA+DB，所以A正确；
对于B，由三角形法则得，CD＝CB+BD＝CB+DA＝－BC+DA，所以B不正确；
对于C，CD＝CA+AD＝12AB-AC，所以C不正确；
对于D，因为D是AB的中点，
所以CD＝12CA＋12CB，所以D正确．故选AD．]
根据向量的线性运算求参数
[典例3] 在△ABC中，延长BC至点M，使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝( )
A．13 B．12 C．－12 D．－13
A [由题意，知AN＝13AM＝13(AB+BM)＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12(AC-AB)＝－16AB＋12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13．]
进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．
跟进训练2 (1)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
(2)已知正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么EF＝( )
A．12AB－13AD
B．14AB＋12AD
C．13AB＋12DA
D．12AB－23AD
(1)D (2)D [(1)如图，在△ABD中，BD＝12BA＝1，
∴BD＝13BC．
∵AD＝AB+BD＝AB＋13BC，
∴2AO＝AB＋13BC，
即AO＝12AB＋16BC．
故λ＋μ＝12＋16＝23．
(2)在△CEF中，有EF＝EC+CF．
因为点E为DC的中点，所以EC＝12DC．
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以CF＝23CB．
所以EF＝12DC＋23CB＝12AB＋23DA＝12AB－23AD，故选D．]
【教师备用】(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则( )
A．BC＝－12AB+AD
B．AF＝13AB＋13AD
C．BF＝－23AB＋13AD
D．CF＝16AB－23AD
ABC [∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，
∴BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD＋12AB＝－12AB+AD，A正确；
∵BC＝3EC，
∴BE＝23BC＝－13AB＋23AD，
∴AE＝AB+BE＝AB＋-13AB+23AD＝23AB＋23AD，又F为AE的中点，
∴AF＝12AE＝13AB＋13AD，B正确；
∴BF＝BA+AF＝－AB＋13AB＋13AD
＝－23AB＋13AD，C正确；
∴CF＝CB+BF＝BF-BC＝－23AB＋13AD－-12AB+AD＝－16AB－23AD，D错误．故选ABC．]
考点三 向量共线定理的应用
向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
[典例4] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC+CD＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB．
∴AB，BD共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b和a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是两个不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．
【教师备用】
已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA＋xOB+BC＝0成立的实数x的取值集合为( )
A．{0} B．∅ C．{－1} D．{0，－1}
C [因为BC＝OC-OB，
所以x2OA＋xOB+OC-OB＝0，
即OC＝－x2OA－(x－1)OB，
因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1．
当x＝0时，x2OA＋xOB+BC＝BC＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1．]
三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
跟进训练3 已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
B [∵BD＝BC+CD＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB，
∴BD，AB共线，又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．其余选项可逐一排除．故选B．]
课后习题(二十七) 平面向量的概念及线性运算
1．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
A．EF＝CD
B．AB与DE共线
C．BD与CD是相反向量
D．AE＝12|AC|
D [AE＝12AC，故D错误．]
2．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
12 [∵λa＋b与a＋2b共线，
∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),
∴λ=μ，2μ=1，∴λ=12，μ=12．]
3．(湘教版必修第二册P11例5改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________．(用a，b表示)
b－a －a－b [如图，DC＝AB＝OB-OA＝b－a，
BC＝OC-OB＝－OA-OB
＝－a－b．]
4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
8 2 [|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．
又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，
当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．]
5．(2024·山东淄博模拟)已知四边形ABCD，O为任意一点，若OA-OB＝OD-OC，那么四边形ABCD的形状是( )
A．正方形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
B [因为OA-OB＝OD-OC ，所以BA＝CD，
所以BA∥CD，且BA＝CD．
所以四边形ABCD是平行四边形．故选B．]
6．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC．若AB＝a，AC＝b，则PQ＝( )
A．13a＋13b B．－13a＋13b
C．13a－13b D．－13a－13b
A [PQ＝PB+BQ＝23AB＋13BC＝23AB＋13(AC-AB)＝13AB＋13AC＝13a＋13b，故选A．]
7．已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，则AB与AC共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
D [由AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即1=λn，m=λ，所以mn－1＝0．]
8．(多选)下列命题中正确的是( )
A．若a＝b，则3a＞2b
B．BC-BA-DC-AD＝0
C．若向量a，b是非零向量，则|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同
D．向量a与b(b≠0)共线的充要条件是：存在唯一的实数λ，使a＝λb
CD [向量不能比较大小，故A选项错误．
向量加法、减法的结果仍为向量，故B选项错误．
|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同，C选项正确．
根据向量共线的知识可知D选项正确．故选CD．]
9．(2023·辽宁高三一模)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AF＝xAB＋34AD，则x＝( )
A．34 B．23
C．12 D．14
C [连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以AF＝12(AD+AE)，
而AE＝AB+BE＝AB＋12BC＝AB＋12AD，
所以AF＝12(AD+AE)＝12AD+AB+12AD＝12AB＋34AD，又AF＝xAB＋34AD，
所以x＝12．故选C．]
10．已知e1，e2是两个不共线的向量，而e1－4e2和ke1＋e2共线，则实数k的值为________．
－14 [由向量共线定理知有且只有一个实数λ，使得ke1＋e2＝λ(e1－4e2)，
所以k=λ，1=-4λ，解得k＝－14．]
11．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有________个．
3 [根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA相等的向量有CB，DO，EF，共3个．]
12．(2023·哈尔滨调研)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB-OC|＝|OB+OC－2OA|，则△ABC的形状为________．
直角三角形 [OB+OC－2OA＝(OB-OA)＋(OC-OA)＝AB+AC，OB-OC＝CB＝AB-AC，
∴|AB+AC|＝|AB-AC|．
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：复数．
复数主要考查复数的概念及运算、复数的几何意义等．
2．轮考点：向量的线性运算、向量的数量积及模、夹角问题．
(1)线性运算主要考查三角形法则、平行四边形法则及运用基底表示平面向量；
(2)数量积重点考查向量的模、夹角及运用向量解决平行及垂直问题．
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
三角形法则
平行四边形法则
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法
几何意义
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb