高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第二课时平面向量基本定理及坐标表示学案

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1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
[典例1] (1)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝2EC，CF＝3FD，记AB＝a，AD＝b，则EF＝( )
A．－34a＋13b B．34a＋13b
C．34a－13b D．－14a＋13b
(2)在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，则( )
A．m＝23，n＝12 B．m＝13，n＝23
C．m＝23，n＝13 D．m＝－13，n＝43
(1)A (2)B [因为BE＝2EC，CF＝3FD，
所以EC＝13BC，CF＝34CD，
因为在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，
所以EF＝EC+CF＝13 BC＋34CD＝13AD－34AB＝－34a＋13b，故选A．
(2)因为点D在边AB的延长线上，
AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB-CA＝2(CD-CB)，
所以CB＝13CA＋23CD．
又CB＝mCA＋nCD，
由平面向量基本定理可得m＝13，n＝23．]
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
跟进训练1 (1)(2024·福州检测)如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________．
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
(1)14a＋34b (2)34 [(1)AD＝AB+BD＝AB＋34BC＝AB＋34(AC-AB)＝14AB＋34AC＝14a＋34b．
(2)由题意可得BE＝12BA＋12BO＝12BA＋14BD，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34．]
【教师备用】如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
6 [法一：以λOA和μOB为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则OC＝OB1+OA1．
因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，|OC|＝23，
所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，
所以|OA1|＝|B1C|＝4，
所以OC＝4OA＋2OB，
即λ＋μ＝6．
法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，
C(23cs 30°，23sin 30°)，B(cs 120°，sin 120°)．
即A(1，0)，C(3，3)，B-12，32．
由OC＝λOA＋μOB＝λ(1，0)＋μ-12，32＝λ-12μ，32μ，
即λ-12μ，32μ＝(3，3)，
得λ-12μ=3，32μ=3，所以μ=2，λ=4，即λ＋μ＝6．]
考点二 平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x12+y12．
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2-x12+y2-y12．
3．重要坐标公式
已知△ABC的顶点A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为x1+x22，y1+y22，△ABC的重心坐标为x1+x2+x33，y1+y2+y33．
[典例2] (1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b．
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量MN的坐标．
(1)D [如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1，1)，
b＝(6，2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴-1=-λ+6μ，-3=λ+2μ，解得λ＝－2，μ＝－12．
∴λμ＝4．故选D．]
(2)[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，
c＝(1，8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵CM＝OM-OC＝3c，
∴OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
∴M(0，20)．
又∵CN＝ON-OC＝－2b，
∴ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，∴MN＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．
跟进训练2 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A．65 B．85
C．2 D．83
B [建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，
E(0，1)，
∴CA＝(－2，2)，CE＝(－2，1)，DB＝(1，2)，
∵CA＝λCE＋μDB，
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
∴-2λ+μ=-2，λ+2μ=2，解得λ=65，μ=25，故λ＋μ＝85．]
考点三 向量共线的坐标表示
1．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
2．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
利用向量共线求坐标
[典例3] 已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P的坐标为________．
(8，－15) [设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则AP＝32BP，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
即x-2=32x-4，y-3=32y+3，解得x=8，y=-15．所以点P的坐标为(8，－15)．]
利用向量共线求参数
[典例4] 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，
∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－12．
(2)AB＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
BC＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴AB∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝32．
两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb．
跟进训练3 设O(0，0)，A(0，3)，B(6，0)，BP＝－2AP，则|OP|＝( )
A．5 B．22
C．25D．17
(2)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________．
(1)B (2)(－4，－8) [(1)设P(x，y)，则BP＝(x－6，y)，AP＝(x，y－3)，
因为BP＝－2AP，
所以(x－6，y)＝－2(x，y－3)，
所以x-6=-2x，y=-2y+6，解得x=2，y=2，
即P(2，2)，则OP＝(2，2)，|OP|＝22+22＝22．故选B．
(2)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4．
从而b＝(－2，－4)，
那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]
课后习题(二十八) 平面向量基本定理及坐标表示
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
D [∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴12a＝12，12，32b＝32，-32，
∴12a－32b＝12-32，12+32＝(－1，2)，故选D．]
2．(湘教版必修第二册P28例7改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
D [由题意可知P1P2＝(3，－3)．
若P1P＝13P1P2，则P点坐标为(2，2)；
若P1P＝23P1P2，则P点坐标为(3，1)，
故选D．]
3．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
(1，5) [设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
即4=5-x，1=6-y，解得x=1，y=5．]
4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，则点P的坐标为________．
(3，1)或(1，－1) [∵A(2，0)，B(4，2)，∴AB＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且|AB|＝2|AP|，
∴AB＝2AP或AB＝－2AP，故AP＝(1，1)或AP＝(－1，－1)，故点P坐标为(3，1)或(1，－1)．]
5．设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b＝( )
A．(6，3) B．(－2，－6)
C．(2，1) D．(7，2)
B [2a－3b＝(－2，0)－(0，6)＝(－2，－6)．]
6．(2024·开封模拟)下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底的是( )
A．a＝(1，2)，b＝(0，0)
B．a＝(1，－2)，b＝(3，5)
C．a＝(3，2)，b＝(9，6)
D．a＝-34，12，b＝(3，－2)
[答案] B
7．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )
A．2，72 B．2，-12
C．(3，2) D．(1，3)
A [设D(x，y)，AD＝(x，y－2)，BC＝(4，3)，
又BC＝2AD，∴4=2x，3=2y-2，
∴x=2，y=72，故顶点D的坐标为2，72，故选A．]
8．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1，x)，且a－b与2a＋b共线，则x＝( )
A．23B．－23
C．32 D．－32
B [∵a－b＝(2，－2－x)，2a＋b＝(7，－4＋x)，a－b与2a＋b共线，∴2×(－4＋x)－7×(－2－x)＝0，解得x＝－23．故选B．]
9．(多选)(2024·聊城模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设AB＝a，AD＝b，则下列结论正确的是( )
A．AC＝12a＋b
B．BC＝－12a＋b
C．BM＝－13a＋23b
D．EF＝－14a＋b
ABD [AC＝AD+DC＝AD＋12AB＝12a＋b，故A正确；
BC＝BA+AD+DC＝－AB+AD＋12AB
＝－12a＋b，故B正确；
∵△ABM ∽△CDM且AB＝2CD，
∴AM＝2MC，∴AM＝23AC．
∴BM＝BA+AM＝－AB＋23AC＝－23a＋23b，故C错误；
EF＝EA+AD+DF＝－12AB+AD＋14AB＝－14a＋b，故D正确．]
10．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则向量BD的坐标为________．
(－3，－5) [∵AB+BC＝AC，
∴BC＝AC-AB＝(－1，－1)，
∴BD＝AD-AB＝BC-AB＝(－3，－5)．]
11．(2024·开封模拟)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________．
0 [由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，
m－2n＝(－λ－3，－3)，
∵(2m＋n)∥(m－2n)，
∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0．]
12．(2023·郑州调研)在△ABC中，D为AB中点，E为CD中点，设AB＝a，AC＝b，若AE＝λa＋μb，则λμ的值是________．
12 [AE＝1212AB+AC＝14AB＋12AC＝14a＋12b＝λa＋μb，
∵a，b不共线，∴λ=14，μ=12．∴λμ＝12．]