湖北省鄂东南省级示范高中2024-2025学年高一上学期起点考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂东南省级示范高中2024-2025学年高一上学期起点考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，则( )
A.B.C.D.
2．命题“”的否定为( )
A.B.
C.D.
3．已知集合，则集合A的所有非空子集的个数为( )
A.5个B.6个C.7个D.8个
4．下列各组函数表示相同函数的是( )
A.
B.
C.
D.
5．设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知，则正确的结论是( )
A.B.
C.D.a与b的大小不确定
7．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．若正实数x,y满足，不等式有解，则m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A.B.
C.D.
10．若，且，则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值B.有最大值2
C.有最小值5D.有最小值
11．下列命题正确的有( )
A.若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为
B.设，若且，则
C.设，命题是命题的充分不必要条件
D.若集合和B至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是或
三、填空题
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____.
13．已知为二次函数，满足，则函数_____.
14．设集合，，函数，已知，且，则a的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
16．设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p，q一真一假，求实数m的取值范围.
17．已知关于x的不等式.
(1)若不等式的解集为或，求a的值；
(2)求关于x的不等式的解集.
18．某公司销售甲､乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润y（万元）与投资额x（万元）成正比，其关系如图(1)所示；乙产品的利润y（万元）与投资额x（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图(2)所示，
(1)分别将甲､乙两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)若该公司投资万元资金，并全部用于甲､乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？
19．设，其中，记.
(1)若，求的值域；
(2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围；
(3)若，求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，
所以.故选：D.
2．答案：B
解析：由全称命题的否定为特称命题知：
原命题的否定为：
故选：B
3．答案：C
解析：由题设，，即8可被整除且，
故集合A的所有非空子集的个数为
4．答案：D
解析：与的对应关系不同，不是同一函数：
定义域不同，不是同一函数：
的定义域为R，而的定义域为，不是同一函数：
与的定义域都为R，对应关系相同，是同一函数.
故途：D
5．答案：D
解析：根据题意，不等式，
则，
即，解集为
不等式，即，解集为，
因为且，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
6．答案：A
解析：取特殊值，令，则
易知，排除B，C，还不能排除D，猜测选A.
7．答案：A
解析：因为不等式的解集为，
所以2和3是方程的两个实数解，且；
由根和系数的关系知，
所以；
所以不等式可化为，
叫，解得，
所求不等式的解集为
故选：A
8．答案：B
解析：由，
仅当，
即时等号成立.
要使不等式有解，
只需.
所以.
故选：B
9．答案：AD
解析:对于A选项,即为图中所示;
对于B选项,应为如下图:
对于C选项,应为如下图:
对于D选项,即为图中所示.
故选:AD
10．答案：AC
解析：对于A，，
当且仅当且，当时取等号，不以ab有最大值故A正确，
对于B.因为.
所以，当且仅当时取等号，
所以有最大值，故B错误
对于C，，
当且仅当且叫且，
即时取等号，
所以有最小值5，故C正确
对于D.因为.
所以，
所以，
当且仅当且，即时取等号，
所以有最小值，故D错误.
故选：AC
11．答案：ABD
解析：选项A：函数有两个两点，
，
而且一个大于1另一个小于1.则或，
解得.
实数a的取值范围为，故A正确；
选项B：令，则.
由解得
所以.
因为，
所以，则.故B正确；
选项C：若既有；
若显然有；
若，则，
而，
所以，
故可以推出
若，
当时，如果，不等式显然成立，此时有
如果，则有，因而
当时，，此时有.
因而，敬可以推出，综合知p是q的充要条件
故C不正确；
选项D假设两个方程无实根（即A,B均是空集），则有
解得.
所以当或时，两个方程至少有一个方程有实根，
即两个集合至少有一个不是空集.
故填或，故D正确
12．答案：
解析：由题意得：，
解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是.
13．答案：
解析：设，
满足，
所以，
解得
则函数.
14．答案：
解析：因为，所以，
则，
由，可得，解得.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)时，，则，
则
(2)，等价于，
当，则，解得，符合题意
当.则，解得.
综上，实数m的取值范围为
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为p为真命题，
所以对任意，不等式恒成立，
所以，其中，
所以，解得，
所以m的取值范围；
（2）若q为真命题，即存在，使得不等式成立，
则，其中，
而，
所以，故；
因为p，q一真一假，
所以p为真命题，q为假命题或p为假命题q为真命题，
若p为真命题，q为假命题，则，所以；
若p为假命题，q为真命题，则或，所以.
综上，或，
所以m的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)不等式可化为，
原不等式的解集为
故；
(2)①当时，不等式为，解得：
②当时，方程的两根分别为，
（i）当时，，故不等式的解为：
（ii）当时，
若，即时，不等式的解为或.
若，即时，不等式的解为；
考，即时，不等式得解为或.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
18．答案：(1)
(2)当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元.
解析：(1)由题知，甲产品的利润函数为
乙产品的利润函数为.
由题知，函数经过d点，有，
所以.
函数经过点，有由，
所以.
(2)设乙产品的投资金额为万元，则甲产的投资金额为万元.
所获得总利润为y万元，则，
令，则，函数图象开口问上，
对称轴为，
所以当时，
函数在上单调递增，
当，即时，y有最大值.
当时，函数在上递增，
在上递减，当，即时，y有最大值.
综上得：当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元.
当时，乙产品投资a万元，甲产品不作投资，该公可可获得最大利润，最大利润为万元：
当时，乙产品投资万元，印产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)，
即
作图可知，函数的最大值为值域为.
(2)由题意，只需在上的值域为的子集即可，
因为，
所以，
对称轴为，由得，
①当，即时，在的图象可知，，
由题意得由,
时取等号.放第一个式子成立，
由第二个式子得
故此时
②当，即时，在递减，在上递增.
此时最小值为，最大值为，
所以，解得
故此时，
综上，所求t的范围为.
(3)令，
解得或,
故的图象如下:
当时，此时在[0,3]单调递减，
故只需要即可，
即，
解得，不符合题意，舍去，
当时，，此时在[0,3]上的最大值为，最小为,
只需要，
解得，
当时，，此时在[0,3]上的最大值为，
只需要,
且
且,无解,
综上可得: