2023湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高二上学期期中联考试题数学含答案

2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知复数满足，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列说法正确的是(    )

A. 零向量没有方向
B. 若，，则
C. 长度相等的向量叫做相等向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

3.    高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，位评委的打分如下：，，，，，，，，，，则(    )

A. 该组数据第百分位数为 B. 该组数据第百分位数为
C. 该组数据中位数为和 D. 该组数据中位数为

4.    若直线，，则直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    在空间四边形中，、分别是、的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是(    )
    

A.  B.
C.  D.

6.    若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    年北京奥运会游泳中心水立方的设计来于威尔，弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，如图，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形，已知该多面体共有个顶点，且该多面体表面积是，则该多面体的棱长是(    )
    

A.  B.  C.  D.

8.    在中，角，，所对的边分别为，，，，是的平分线，，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.    下列描述正确的是(    )

A. 若事件，满足，则与是对立事件
B. 若，，，则事件与相互独立
C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件
D. 一个袋子中有个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是

10. 已知是边长为正三角形的外心，沿将该三角形折成直二面角，则下列说法正确的是(    )

A. 直线垂直直线
B. 直线与平面所成角的大小为
C. 平面与平面的夹角的余弦值是
D. 到平面的距离是

11. 某中学高二学生人，其中男生人，女生人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为的样本，经计算得到男生身高样本均值为，方差为女生身高样本均值为，所有样本的方差为，下列说法中正确的是(    )

A. 男生样本容量为 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为
C. 所有样本的均值为 D. 女生身高的样本方差为

12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有
    (    )

A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若为的内心，，则
D. 若为的垂心，，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 在中，是边上的点且，若则          ．
14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程          ．
15. 已知的顶点，的平分线所在的直线方程为，边的高所在的直线方程为，则直线的方程为          ．
16. 在四棱锥中，，，，

若，点到面的距离是          ．

若该四棱锥内存在半径为的球，的最小值是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知圆的方程

求的范围

已知，，，为圆上的动点，求的最大值．

18. 本小题分

新高考实行“”模式，其中“”为语文、数学，外语这门必选科目，“”由考生在物理、历史门首选科目中选择门，“”由考生在政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门。已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少门。

从所有选科组合中任意选取个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率

假设甲、乙、丙三人每人选择任意个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率．

19. 本小题分

已知三棱柱，侧面是边长为的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点是棱的中点．

在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由

当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．

20. 本小题分

在中，角，，所对的边分别为，，，且，的中线长为．

证明：

求的面积最大值．

21. 本小题分

如图，四棱锥的底面为菱形，且菱形的面积为，，都与平面垂直，，．

求三棱锥与四棱锥公共部分的体积大小

若二面角大小为，求与平面所成角的正弦值．

22. 本小题分

在中，已知，，且A.

求顶点的轨迹的方程

曲线与轴交于，两点，是直线上一点，连，分别与交于，两点异于，两点，试探究直线是否过定点，若是求定点，若不是说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的模、复数的模长及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

【解答】

解：表示圆心在，半径为的圆，

表示圆上的点到点的距离．

故最大值就是点到的距离加上圆半径长，即．
故答案为．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念、向量的数量积运算，属基础题．

【解答】

解：零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故A不正确；
、可以是相反向量且都垂直，故B不正确；
长度相等的向量方向不一定同向，故C不正确；
故选D．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查百分位数，中位数的定义，属于基础题．

【解答】

，第百分位数为第个数和第个数的平均数，为，故B正确；
中位数为，故CD错误．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的倾斜角，属于基础题．

【解答】

解：当时，原式可以写为，此时倾斜角为；

当时，原式可以写为，此时倾斜角为，当时满足上式；

综上可知，直线的倾斜角为．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量的线性运算与表示，结合向量三角形法则进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

【解答】

解：、分别是、的中点，

，故A正确，
，
，
，，
即，故B正确，
，故C错误，
，故D正确．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系及直线的斜率，属于中档题．

【解答】

方程是恒过定点，斜率为的直线，
曲线，即，
是圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，，
在同一坐标系内作出直线与半圆，如图，

当直线与半圆相切时，
由，得相切时斜率为，
又，所以，或，
所以或

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，求出多面体中正方形与正六边形的个数是关键，属于中档题．
设棱长为，求出每个正方形及正六边形的面积，再由已知求得正方形及正六边形的个数，即可求解．

【解答】

解：设棱长为，正方形的面积为，
正六边形的面积为，
又正方形有个顶点，正六边形有个顶点，该多面体共有个顶点，
则最多有个正方形，最少有个正六边形，一个正六边形与个正方形相连，
所以该多面体有个正方形，正六边形有个．
故该多面体表面积是．
解得，所以棱长为．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式求解三角形中的应用，属于中档试题．
由已知结合三角形的面积公式及基本不等式可求的最小值．

【解答】

解：设，，，
由得，
整理得，

当且仅当时等号成立，即的最小值为．

故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对立事件的判断，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．

【解答】

对于选项A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“点数为，，”，事件为“点数为，，”，则，但是，不是对立事件，故A错误；
，，故B正确；
掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以既不是互斥事件，也不是对立事件，故C错误；
若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，
若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，
所以第二次摸到红球的概率为，故D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间中线线位置关系，线面角，平面与平面夹角，点到平面距离，属于中档题．

【解答】

解：设是边中点

由翻折过程中垂直关系的不变性，可知，由线面垂直定义可知，从而直线垂直直线；

由题可知即为直线与平面所成角，又三角形为等腰直角三角形，所以，故直线与平面所成角的大小为；
以为坐标原点，以，，所在的方向分别为，，轴，建立直角坐标系，则，设平面，平面的法向量分别为，平面与平面的夹角为，则，，平面与平面的夹角的余弦值是；

由可知，，平面的法向量为，所以到平面的距离．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了概率的运算，方差，均值知识点，属中档题．

【解答】

解：男生样本量为，故选项A正确；
每个学生入样的概率均为，故选项B错误；
记男生样本为，均值为，方差为；
女生样本为，均值为，方差为；
所有样本均值为，方差为，则
得
故选项D正确，选项C错误．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的新定义、三角形面积公式以及平面几何的相关知识，属于较难题．

【解答】

对于，由奔驰定理可知，若，则：：：：，选项A正确；
对于，在中，由可知，，
又，
：：：：，则，
，选项B错误；
对于，由奔驰定理可知，：：：：，为三角形内心，设内切圆半径为，故，，，则．为锐角三角形，故C错误
对于，如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，

，由奔驰定理可知，：：：：，
根据题意为的垂心，，设，，
同理，设，则，
，可得，，
，故D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理，属于基础题．

【解答】

解：由题可知，，又，所以

14.【答案】或或任填一个即可 

【解析】

【分析】

本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：

，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
显然符合题意
又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线的方程为，
直线与直线的交点为，设过该点的直线为，则，
解得或，
从而该切线的方程为．
所以与两圆都相切的直线方程为或或．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率及对称的应用，属于一般题．

【解答】

高线斜率为，，为，
，
设关于角平分线对称点为，
，可得，
，故BC方程为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了棱锥的结构特征，球的切接问题，属于拔高题．

【解答】

解：

由题可知四棱锥为底面为正方形的正四棱锥，又，，所以正方形的边长为，，故点到面的距离

如图，根据题意，作正四棱锥，

因为，
所以正四棱锥的侧面三角形均是正三角形，
所以，所以，
又，所以三角形是等腰直角三角形，
所以，
因为，，
所以，，
所以，，
所以，且与交点为的中点，，
因为，所以，又，，平面，
所以平面，
所以，
因为该四棱锥存在半径为的内切球，
所以，
所以，
所以，
设，
在直角三角形中，，所以，
因为三角形是等腰直角三角形，所以，
所以，所以，
所以，
所以
解得
故．

17.【答案】解：设即，
由原点到直线的距离不大于圆的半径可得，
解得，即
设点坐标为，所以，，
则由点与点的距离公式可得，所求的式子转化为
，
又点在圆上，所以，可得为求的最大值，所以最大值为． 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系应用，两点间距离公式的应用，属中档题．
 

18.【答案】用，分别表示“选择物理”，“选择历史”，用，，，分别表示选择“选择化学”，“选
择生物”，“选择政治”，“选择地理”，则所有选课组合的样本空间为
，则，
设为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求，
则，，
所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为
设甲乙丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件，，，由题意可知
，，相互独立，由可得，
记为甲乙丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求，则
，因为事件两两互斥，根据互斥事件概率加法公式可得
 

【解析】本题考查古典概型的计算、相互独立事件与互斥事件的运算，属于中档题．
 

19.【答案】解：存在，当为的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接，是的中位线
又四边形是平行四边形
又面，面平面
四边形是矩形，又平面平面
面
侧面是菱形，
是正三角形是的中点
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，

设平面的法向量
由得
令，则，
又平面的法向量
二面角的夹角的余弦值是 

【解析】本题考查了平面与平面所成角，线面平行的判定，属于中档题．
 

20.【答案】解：左边，，又，，
法一：角化边设点为的中点，在中，设，，所以
，
法二：边化角由，知，又，
所以的面积，当且仅当时，取等． 

【解析】本题考查正余弦定理解三角形，属难题．
 

21.【答案】，都与平面垂直，
设，的交点为，设，的交点为，
可知到平面的距离等于到平面的距离的一半。
又三棱锥与四棱锥的公共部分为三棱锥
二面角大小为面面，
过作，则面，
又面，
又，面，且，故AB面．
四边形为正方形，
又正方形的面积为，
，
，面，
面，
到面的距离等于到面的距离，
到面的距离为，
设与面所成的角为，
，
在中，，
，
即与面所成的角的正弦值为． 

【解析】本题考查锥体的体积，以及直线与平面所成的角，属于中档题．
 

22.【答案】解：由可得，设顶点的坐标为，则
法一：设带入得
带入得

，又由对称性知，定点在轴上
令，则．，所以恒过定点
法二：设带入得
由韦达定理可得，
又，，又，
．，将，带入可得
又，，所以过定点 

【解析】本题考查了与圆有关的轨迹问题，直线恒过定点问题，属于中档题．