人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式综合训练题，共26页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13746" 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc13746 \h 1
\l "_Tc4558" 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc4558 \h 2
\l "_Tc23391" 【题型3 解简单的分式不等式】 PAGEREF _Tc23391 \h 3
\l "_Tc25964" 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 PAGEREF _Tc25964 \h 3
\l "_Tc20917" 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc20917 \h 4
\l "_Tc29049" 【题型6 一元二次不等式有解问题】 PAGEREF _Tc29049 \h 4
\l "_Tc6272" 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 PAGEREF _Tc6272 \h 5
\l "_Tc13286" 【题型8 二次函数的零点问题】 PAGEREF _Tc13286 \h 7
\l "_Tc1527" 【题型9 三个“二次”关系的应用】 PAGEREF _Tc1527 \h 7
【知识点1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】
【例1】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）一元二次不等式x−1x+2>0的解集为（ ）
A．−∞,−2∪1,+∞B．−2,1
C．−∞,−1∪2,+∞D．−1,2
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式x2<4x的解集为（ ）
A．x0C．x0【变式1-2】（2022秋·高一单元测试）若集合A=x|x2+2x>0，B=x|x2+2x−3<0，则A∩B=（ ）
A．x|−3B．x|−3C．R
D．{x|−3【变式1-3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式x2−5x+6>0的解集为（ ）
A．{x|2{x|x<2}
C．{x|x>3}D．{x|x<2或x>3}
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【例2】（2022秋·湖南益阳·高一校考期中）若0A．x1m1m
C．xx>m或x<1mD．xm【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高一校考阶段练习）不等式x2-2a+1x+a2+a<0的解集为（ ）
A．xaa+1
C．xa【变式2-2】（2022秋·安徽·高一校联考期中）对于给定实数a，不等式ax−1x+1<0的解集不可能是（ ）
A．x−1C．xx>−1D．R
【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高一校联考期中）关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−1A．{x∣−2C．{x∣x>2或x<−1}D．{x∣x>1或x<−2}
【题型3 解简单的分式不等式】
【例3】（2022秋·高一校考课时练习）不等式1−xx≥0的解集为（ ）
A．x|0≤x≤1B．x|0C．x∣x≤0或x≥1D．{x∣x<0或x=1}
【变式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x−3x−2≥0的解集是（ ）
A．xx<2或x≥3B．x2C．xx≤2或x≥3D．x2≤x≤3
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）不等式x+1x−32x+1≥0的解集为（ ）
A．−1,−12∪3,+∞B．−1,−12∪3,+∞
C．−1,−12∪3,+∞D．−1,−12∪3,+∞
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知a>0,b>0，则不等式−b<1xA．x<−1a或x>1bB．x<−1b或x>1a
C．−1a【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−a+1x+a≤0的解集是−4,3的子集，则a的范围是（ ）
A．[－4，3]B．[－4，2]
C．[－1，3]D．[－2，2]
【变式4-1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≤-4或a≥4B．a-4≤a≤4
C．aa<-4或a>4D．a-4【变式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式x2−3x+2<0的解集为{x∣mA．3B．4C．5D．6
【变式4-3】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．5【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
【例5】（2023春·湖南长沙·高二统考期末）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−2,2B．−10,2C．−∞,−2∪2,+∞D．−∞,−2
【变式5-1】（2023秋·辽宁·高三校考期末）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,2)B．(2,+∞)C．(−∞,2)D．(−∞,2]
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）若不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,4B．−∞,−2∪5,+∞
C．−∞,−1∪4,+∞D．−2,5
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若对于任意x∈[m,m+1]，都有x2+mx−1<0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−23,0)B．(−22,0)
C．[−23,0]D．[−22,0]
【题型6 一元二次不等式有解问题】
【例6】（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≥−2B．aa≤−2C．aa≥−6D．aa≤−6
【变式6-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）若∃x∈0,4，使得不等式x2−2x+a>0成立，则实数a的取值范围（ ）
A．a>−1B．a>1C．a>8D．a>−8
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,2B．−∞,0∪13,32
C．−∞,23D．−∞,1
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,+∞B．3,+∞C．6,+∞D．2,+∞
【题型7 一元二次不等式的实际应用】
【例7】（2023·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
【变式7-1】（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m，CD=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
(1)设MP=x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及S与x的关系式；
(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2，试求x的取值范围.
【变式7-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x2-0.1x，s乙=0.005x2-0.05x，问：甲、乙两车有无超速现象？
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（0（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型8 二次函数的零点问题】
【例8】（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）关于x的函数y=x2-mx+m的两个零点均在区间[1,3]内，则实数m的取值范围是 ．
【变式8-1】（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为x-2【变式8-2】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）已知函数y=−x2+bx+c只有一个零点，不等式−x2+bx+c−m>0的解集为x0,x0+2，则m的值为（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【变式8-3】（2022秋·江苏南京·高一阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值见下表：
则下列结论正确的是（ ）
A．a>0B．该二次函数的零点为1
C．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)D．a−b+c<0
【题型9 三个“二次”关系的应用】
【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【变式9-1】（2022·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，那么关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（ ）
A．x|x>3或 x<−2B．x|x>2或 x<−3
C．x−2【变式9-2】（2023·江苏·高一假期作业）若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A．B．
C．D．
【变式9-3】（2021秋·云南·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,−1)∪(3,+∞)，则对函数f(x)=ax2+bx+c，下列不等式成立的是（ ）
A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(4)>f(1)>f(0)
C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(0)>f(4)>f(1)
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13746" 【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc13746 \h 1
\l "_Tc4558" 【题型2 含参的一元二次不等式的解法】 PAGEREF _Tc4558 \h 3
\l "_Tc23391" 【题型3 解简单的分式不等式】 PAGEREF _Tc23391 \h 4
\l "_Tc25964" 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 PAGEREF _Tc25964 \h 6
\l "_Tc20917" 【题型5 一元二次不等式恒成立问题】 PAGEREF _Tc20917 \h 7
\l "_Tc29049" 【题型6 一元二次不等式有解问题】 PAGEREF _Tc29049 \h 8
\l "_Tc6272" 【题型7 一元二次不等式的实际应用】 PAGEREF _Tc6272 \h 10
\l "_Tc13286" 【题型8 二次函数的零点问题】 PAGEREF _Tc13286 \h 13
\l "_Tc1527" 【题型9 三个“二次”关系的应用】 PAGEREF _Tc1527 \h 15
【知识点1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【题型1 不含参的一元二次不等式的解法】
【例1】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）一元二次不等式x−1x+2>0的解集为（ ）
A．−∞,−2∪1,+∞B．−2,1
C．−∞,−1∪2,+∞D．−1,2
【解题思路】由一元二次不等式的解法直接求解即可.
【解答过程】∵ x−1x+2>0，
∴ x>1或x<−2
故不等式的解集为−∞,−2∪1,+∞.
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式x2<4x的解集为（ ）
A．x0C．x0【解题思路】先移项，再提取公因式，即得不等式的解集.
【解答过程】不等式x2<4x可化为x2−4x<0,∴xx−4<0,
解得0即不等式x2<4x的解集为x0故选：A.
【变式1-2】（2022秋·高一单元测试）若集合A=x|x2+2x>0，B=x|x2+2x−3<0，则A∩B=（ ）
A．x|−3B．x|−3C．R
D．{x|−3【解题思路】化解集合，根据交集定义计算.
【解答过程】A=x|x2+2x>0={x|x<−2或x>0}，B=x|x2+2x−3<0=x|−3∴A∩B={x|−3故选：D.
【变式1-3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）不等式x2−5x+6>0的解集为（ ）
A．{x|2{x|x<2}
C．{x|x>3}D．{x|x<2或x>3}
【解题思路】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【解答过程】由不等式x2−5x+6>0，可得(x−2)(x−3)>0，解得x<2或x>3，
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
故选：D.
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【例2】（2022秋·湖南益阳·高一校考期中）若0A．x1m1m
C．xx>m或x<1mD．xm【解题思路】根据一元二次方程x−mx−1m=0两根大小关系进行求解即可.
【解答过程】一元二次方程x−mx−1m=0的两个根为m,1m，
因为0因此不等式x−mx−1m<0的解集是xm故选：D.
【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高一校考阶段练习）不等式x2-2a+1x+a2+a<0的解集为（ ）
A．xaa+1
C．xa【解题思路】解含有参数的一元二次不等式，求出解集.
【解答过程】x2-2a+1x+a2+a<0变形为x-ax-a+1<0，
显然a故选：A.
【变式2-2】（2022秋·安徽·高一校联考期中）对于给定实数a，不等式ax−1x+1<0的解集不可能是（ ）
A．x−1C．xx>−1D．R
【解题思路】分类讨论a的值，解不等式，即可得答案.
【解答过程】由ax−1x+1<0，分类讨论a如下：
①当a=0时，原式⇔x+1>0⇒ x>−1；
②当a≠0时,原式⇔ax−1ax+1<0
⑴当a>0时，原式⇔ x−1ax+1<0 ⇔ −1⑵当a<0时，原式⇔ x−1ax+1>0
i当−1−1；
ii当a=−1时，解得x≠−1；
iii当a<−1时，1a>−1，解得x<−1或x>1a．
由上可知，不等式解集不可能为R.
故选：D.
【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高一校联考期中）关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−1A．{x∣−2C．{x∣x>2或x<−1}D．{x∣x>1或x<−2}
【解题思路】根据不等式的解集可知a<0，由根与系数的关系得出b，c与a的关系，代入待求不等式即可求解.
【解答过程】因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣−1可知a<0且ax2+bx+c=0两根分别为−1,2；
根据跟与系数得关系可得−1+2=−ba−1×2=ca解得b=−ac=−2a
带入bx2−ax−c<0可得−ax2−ax+2a<0，左右两边同时除以−a得x2+x−2<0；
解得−2故选：A.
【题型3 解简单的分式不等式】
【例3】（2022秋·高一校考课时练习）不等式1−xx≥0的解集为（ ）
A．x|0≤x≤1B．x|0C．x∣x≤0或x≥1D．{x∣x<0或x=1}
【解题思路】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得.
【解答过程】由原式得x(1−x)≥0且x≠0，解得0即不等式的解集为x|0故选：B.
【变式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x−3x−2≥0的解集是（ ）
A．xx<2或x≥3B．x2C．xx≤2或x≥3D．x2≤x≤3
【解题思路】直接解分式不等式即可.
【解答过程】由x−3x−2≥0⇔x−3x−2≥0x−2≠0⇒ x<2或x≥3，
所以不等式的解集为：xx<2或x≥3，
故选：A.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）不等式x+1x−32x+1≥0的解集为（ ）
A．−1,−12∪3,+∞B．−1,−12∪3,+∞
C．−1,−12∪3,+∞D．−1,−12∪3,+∞
【解题思路】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.
【解答过程】不等式x+1x−32x+1≥0等价于x+1x−32x+1≥02x+1≠0，
利用数轴标根法可得−1≤x<−12或x≥3，所以不等式解集为−1,−12∪3,+∞.

故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知a>0,b>0，则不等式−b<1xA．x<−1a或x>1bB．x<−1b或x>1a
C．−1a【解题思路】先把不等式−b<1x【解答过程】因为−b<1x−b1x解1x>−b，即1x+b=1+bxx>0，即(1+bx)x>0，因为b>0，所以得x<−1b或x>0；
解1x0，所以得x<0或x>1a；
综上得x<−1b或x>1a.
故选：B.
【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−a+1x+a≤0的解集是−4,3的子集，则a的范围是（ ）
A．[－4，3]B．[－4，2]
C．[－1，3]D．[－2，2]
【解题思路】原不等式可化为x−ax−1≤0，后通过讨论a与1的大小解不等式，结合解集是−4,3的子集可得答案.
【解答过程】原不等式可化为x−ax−1≤0.
当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥−4即可，即−4≤a<1；
当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；
当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1综上可得：−4≤a≤3.
故选：A.
【变式4-1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≤-4或a≥4B．a-4≤a≤4
C．aa<-4或a>4D．a-4【解题思路】利用Δ≤0求得实数a的取值范围.
【解答过程】因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集，所以Δ=a2-4×4≤0，即-4≤a≤4，
故选：B.
【变式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式x2−3x+2<0的解集为{x∣mA．3B．4C．5D．6
【解题思路】根据三个二次的关系，再结合韦达定理可求.
【解答过程】依题意可得，m,n分别是关于x的一元二次方程x2−3x+2=0的两根，根据韦达定理可得：m+n=3.
故选：A.
【变式4-3】（2023秋·江苏扬州·高一期末）若关于x的不等式x2−(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．5【解题思路】由题设可得x−3x−m<0，讨论m,3的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【解答过程】不等式x2−m+3x+3m<0，即x−3x−m<0，
当m>3时，不等式解集为3,m，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故6当m=3时，不等式解集为∅，此时不合题意；
当m<3时，不等式解集为m,3，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；
故实数m的取值范围为6,7．
故选：C.
【题型5 一元二次不等式恒成立问题】
【例5】（2023春·湖南长沙·高二统考期末）若不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−2,2B．−10,2C．−∞,−2∪2,+∞D．−∞,−2
【解题思路】化简已知不等式，对m进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得m的取值范围.
【解答过程】依题意，不等式mx2+mx−4<2x2+2x−1对任意实数x均成立，
即不等式m−2x2+m−2x−3<0恒成立，
当m=2时，不等式可化为−3<0恒成立，
当m<2时，Δ=m−22+12m−2=m2+8m−20
=m+10m−2<0，解得−10综上所述，m的取值范围是−10,2.
故选：B.
【变式5-1】（2023秋·辽宁·高三校考期末）若对任意的x∈(0,+∞),x2−mx+1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,2)B．(2,+∞)C．(−∞,2)D．(−∞,2]
【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答过程】∀x∈(0,+∞),x2−mx+1>0⇔m0时，x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
则m<2，所以m的取值范围是(−∞,2).
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）若不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1,4B．−∞,−2∪5,+∞
C．−∞,−1∪4,+∞D．−2,5
【解题思路】求出二次函数的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得其取值范围.
【解答过程】x2−2x+5=x−12+4≥4，当且仅当x=1时等号成立，
故a2−3a≤4，故−1≤a≤4，
故选：A.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若对于任意x∈[m,m+1]，都有x2+mx−1<0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−23,0)B．(−22,0)
C．[−23,0]D．[−22,0]
【解题思路】由函数f(x)=x2+mx−1为开口向上的二次函数，要使任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0恒成立,只需f(m)<0,f(m+1)<0.即可求出答案.
【解答过程】由题可得f(x)=x2+mx−1<0对于x∈[m,m+1]恒成立，即{f(m)=2m2−1<0,f(m+1)=2m2+3m<0,
解得:−22故选：B.
【题型6 一元二次不等式有解问题】
【例6】（2023·全国·高一专题练习）若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．aa≥−2B．aa≤−2C．aa≥−6D．aa≤−6
【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【解答过程】若关于x的不等式x2−4x−2−a≤0有解,
则Δ=16+42+a≥0，解得a≥−6.
故选：C.
【变式6-1】（2023春·湖南长沙·高一校考期中）若∃x∈0,4，使得不等式x2−2x+a>0成立，则实数a的取值范围（ ）
A．a>−1B．a>1C．a>8D．a>−8
【解题思路】由题意可转化为∃x∈0,4，使a>−x2+2x成立，求−x2+2x的最小值即可.
【解答过程】因为∃x∈0,4，使得不等式x2−2x+a>0成立，
所以∃x∈0,4，使得不等式a>−x2+2x成立，
令f(x)=−x2+2x，x∈0,4，
因为对称轴为x=1，x∈0,4，
所以f(x)min=f(4)=−8，
所以a>−8，
所以实数a的取值范围为−8,+∞.
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．−∞,2B．−∞,0∪13,32
C．−∞,23D．−∞,1
【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；
②当m>0时，y=mx2−m−2x+m为开口方向向上的二次函数，
只需Δ=m−22−4m2=−3m2−4m+4>0，即0③当m<0时，y=mx2−m−2x+m为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数x，使得mx2−m−2x+m<0成立；
综上所述：实数m的取值范围为−∞,23.
故选：C.
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．−2,+∞B．3,+∞C．6,+∞D．2,+∞
【解题思路】设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围
【解答过程】设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，
所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，
即a>f(3)=2，得a>2，
所以实数a的取值范围为(2,+∞)，
故选：D.
【题型7 一元二次不等式的实际应用】
【例7】（2023·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
【解题思路】由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.
【解答过程】设该旅店某晚的收入为y元，则
y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗
由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600
即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，
解得：2所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）.
【变式7-1】（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m，CD=6m.为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上.
(1)设MP=x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及S与x的关系式；
(2)要使矩形BNPM的面积不小于42m2，试求x的取值范围.
【解题思路】（1）设PN=y，利用三角形相似得到y=−12x+10，再根据面积公式计算可得；
（2）依题意得到不等式S=−12(x−10)2+50≥42，求出x的取值范围，再根据（1）中x的取值范围计算可得；
【解答过程】（1）
解：设PN=y，作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8−y，EQ=x−4，
因为△EDF∽△EPQ，
所以EQPQ=EFFD，所以x−48−y=42，
所以y=−12x+10，
设矩形BNPM的面积为S，则S=xy=x(10−x2)=−12(x−10)2+50，x∈4,8；
解：依题意S=−12(x−10)2+50≥42，
解得6≤x≤14，
又4≤x≤8，
所以6≤x≤8，故x的取值范围为6,8.
【变式7-2】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：s甲=0.01x2-0.1x，s乙=0.005x2-0.05x，问：甲、乙两车有无超速现象？
【解题思路】由题意列不等式求解后判断，
【解答过程】由题意得，对于甲车，0.01x2-0.1x<12，
即x2-10x-1200<0，而x>0，
解得0甲车未超过规定限速，
同理对于乙车，0.005x2-0.05x>10，
x2-10x-2000>0，而x>0，解得x>50，
乙车超过规定限速．
答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（0（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【解题思路】（1）利用年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量列出表达式即可，要注意根据实际意义注明函数的定义域；（2）通过解一元二次不等式得到所求增加比例的范围．
【解答过程】（1）由题意得：y=[12(1+0.75x)−10(1+x)]×10000×(1+0.6x)，(0整理得：y=−6000x2+2000x+20000，(0（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须y−(12−10)×10000>0，(0即−6000x2+2000x>0，(0解得0【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型8 二次函数的零点问题】
【例8】（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）关于x的函数y=x2-mx+m的两个零点均在区间[1,3]内，则实数m的取值范围是 (4,92] ．
【解题思路】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解.
【解答过程】设f(x)=x2-mx+m
因为函数f(x)=x2-mx+m的两个零点均在区间[1,3]内，
所以有Δ=m2−4m>01≤m2≤3f(1)≥0f(3)≥0，解得：4即m∈(4,92]
故答案为：(4,92].
【变式8-1】（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为x-2【解题思路】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b，再由韦达定理求y=x2+bx+a所有零点之和即可.
【解答过程】由题设，易知：-2,7是ax2+bx+1=0的两个根，则a<0-ba=51a=-14，所以a=-114b=514，
对于y=x2+bx+a，其所有零点之和为-b=-514.
故答案为：-514.
【变式8-2】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）已知函数y=−x2+bx+c只有一个零点，不等式−x2+bx+c−m>0的解集为x0,x0+2，则m的值为（ ）
A．−4B．−3C．−2D．−1
【解题思路】根据函数有一个零点可得Δ=b2+4c=0，再将不等式的解集转化为方程x2−bx−c+m=0的两根，最后利用韦达定理和两根的大小关系即可求解.
【解答过程】函数y=−x2+bx+c只有一个零点，则Δ=b2+4c=0，
不等式−x2+bx+c−m>0的解集为x0,x0+2，
即x2−bx−c+m<0的解集为x0,x0+2．
设方程x2−bx−c+m=0的两根为x1,x2，
则x1+x2=b,x1⋅x2=−c+m，且x2−x1=2，
∴x2−x12=x2+x12−4x1x2=4，则b2−4(−c+m)=4，
整理得b2+4c−4m=4，∴m=−1．
故选：D.
【变式8-3】（2022秋·江苏南京·高一阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值见下表：
则下列结论正确的是（ ）
A．a>0B．该二次函数的零点为1
C．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(1,2)D．a−b+c<0
【解题思路】由二次函数性质对选项逐一判断
【解答过程】对于A，由表格数据知二次函数图象开口向下，a<0，故A错误，
对于B，该函数的对称轴为x=0+32=32，零点为1和2，故B错误，
对于C，因为a<0，可得ax2+bx+c<0的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)，故C错误，
对于D，当x=−1时，y=a−b+c=−6<0，故D正确，
故选：D.
【题型9 三个“二次”关系的应用】
【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【解题思路】本题可根据图像得出结果.
【解答过程】结合图像易知，
不等式ax2+bx+c>0的解集−2,1，
故选：A.
【变式9-1】（2022·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，那么关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为（ ）
A．x|x>3或 x<−2B．x|x>2或 x<−3
C．x−2【解题思路】根据a>0，确定二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向，再由二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，写出不等式的解集.
【解答过程】因为二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，−3，
又二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，
所以不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x>2或 x<−3，
故选：B.
【变式9-2】（2023·江苏·高一假期作业）若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A．B．
C．D．
【解题思路】由3个二次之间的关系，可得a<0，函数y＝ax2－x－c的两个零点为−2,1，选出图象.
【解答过程】因为不等式的解集为{x|－2故选：B.
【变式9-3】（2021秋·云南·高一校考阶段练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,−1)∪(3,+∞)，则对函数f(x)=ax2+bx+c，下列不等式成立的是（ ）
A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(4)>f(1)>f(0)
C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(0)>f(4)>f(1)
【解题思路】利用二次不等式ax2+bx+c>0的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像与性质，从而判断出f(0)，f(1)，f(4)的大小关系.
【解答过程】由于二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，
所以a>0，−1,3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，即−1+3=−ba,−1×3=ca
即b=−2a,c=−3a.
则f(x)=ax2+bx+c，a>0，其图像开口向上，且对称轴为x=−b2a=1 ，
所以f(4)>f(0)>f(1)
故选：A.△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+ c
(a>0)的图象
ax2+bx+ c=0
(a>0)的根
有两个不相等
的实数根
x1,x2（x1有两个相等
的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0
(a>0)的解集
或
R
ax2+bx+ c<0
(a>0)的解集
{x|x1x
－2
－1
0
1
3
y
－12
－6
－2
0
－2
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+ c
(a>0)的图象
ax2+bx+ c=0
(a>0)的根
有两个不相等
的实数根
x1,x2（x1有两个相等
的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0
(a>0)的解集
或
R
ax2+bx+ c<0
(a>0)的解集
{x|x1x
－2
－1
0
1
3
y
－12
－6
－2
0
－2