高考数学第一轮复习(新教材新高考)第10讲图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）(学生版+解析)

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命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分
【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形
2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解
【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习
知识讲解
正弦定理
（其中为外接圆的半径）
余弦定理
，，
三角形的面积公式
，
考点一、图形类解三角形综合考查
1．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角C的平分线交AB于点D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
4．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求；
(2)若，求的面积．
5．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；
(2)若，，求．
1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形中，，，，为的面积，且.
(1)求角；
(2)若，求四边形的周长.
2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；
(2)求的面积.
3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，为平面四边形的对角线，设，为等边三角形，记.
(1)当时，求的值；
(2)设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.
4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________，．

(1)求；
(2)如图，为边上一点，，，求的面积．
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．
给出以下三个条件：
①
②
③的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角；
(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．
【基础过关】
1．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
2．（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在中，，点在边上，．
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，为外一点，．
(1)若，求；
(2)若，求．
6．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）如图所示，D为外一点，且，，

(1)求sin∠ACD的值；
(2)求BD的长.
7．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.
(1)求；
(2)求的面积.
9．（2023·辽宁·校联考三模）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点，且．①；②；③．以其中两个作为条件，证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2023·江西九江·统考三模）如图，圆内接四边形ABCD中，已知，．
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值．
【能力提升】
1．（2023·广东·统考模拟预测）如图，的面积为，记内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求的值；
(2)已知点在线段上，点为的中点，若，求.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在中，，点在延长线上，且．
(1)求；
(2)若面积为，求．
3．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，．
(1)求角B的值；
(2)求BC的取值范围．
4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在中，为边上一点，.

(1)求角；
(2)从下面两个条件中选一个，求角.
①；
②.
5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；
(2)记，求的值．
6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.

(1)求的大小；
(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.
7．（2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
8．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图，在中，分别为边上一点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
9．（2023·广东韶关·统考模拟预测）在中，，，点为内一点.

(1)若（图1），求的面积；
(2)若（图2），求的最小值.
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面积为，求ABC的周长；
(2)若，，，求∠BDC的值.
【真题感知】
1．（全国·高考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
2．（北京·高考真题）如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.
3．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
4．（陕西·高考真题）在三角形ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
5．（全国·高考真题）的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
第10讲 图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为10-12分
【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形
2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解
【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习
知识讲解
1.正弦定理
（其中为外接圆的半径）
2.余弦定理
，，
3.三角形的面积公式
，
考点一、图形类解三角形综合考查
1．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角C的平分线交AB于点D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由正弦定理结合两角和差的正弦公式求得结果；
（2）由正弦定理、余弦定理结合三角形面积公式求得结果.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以.
（2）已知角C的平分线交AB于点D，且，.
在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
因为，，所以，
所以.
设，由余弦定理得，
即，
解得，
因为，
所以,
解得.
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）在四边形ABCD中，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①，；选②，
(2)选①，；选②，
【分析】（1）选①，利用余弦定理得到；选②，利用互补得到，结合余弦定理列出方程，求出答案；
（2）选①，在（1）的基础上，得到⊥，结合三角形面积公式求出和的面积，相加即可；选②，在（1）的基础上求出和，利用三角形面积公式求出和的面积，相加得到答案.
【详解】（1）选①，由余弦定理得，
解得，
选②，在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，解得.
（2）选①，，，
故，
在中，，所以⊥，故，
所以四边形ABCD的面积为；
选②，，故，故，
因为，所以，
故，
，
故四边形ABCD的面积为.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且．

(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）连接，由已知条件推导出，，从而得到，由此能证明．
（2）由已知条件推导出，，，从而得到，由（1）得，在中，由即可得出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
是的直径，
，
，
，且为锐角，
，
由（1）得，
，
在中，
，即．

4．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，，．

(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)的面积为.
【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长，再由正弦定理求；
（2）利用正弦定理求，根据四边形内角和关系结合二倍角公式求，进而求得的面积．
【详解】（1）因为，为锐角，
所以．
因为，，
在中，由余弦定理得，
即，得．
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，故，
所以；
（2）在中，由正弦定理得，
又，，，
即，所以．
因为，
，，
所以，
所以，
所以，
所以的面积.
5．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求出，再利用面积公式即可求出结果；
（2）在和中，利用正弦定理，建立等量关系和，从而得到，再化简即可得出结果.
【详解】（1）因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．

1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形中，，，，为的面积，且.
(1)求角；
(2)若，求四边形的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式及数量积的定义化简方程可得，即可得解；
（2）求出，再由正弦定理求出AB=BC=1，即可得解.
【详解】（1）由，
在中得，
即，可得，
因为，所以.
（2）由，所以，
所以为等边三角形，，
所以，
由正弦定理知，得，
故四边形的周长为.
2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由正弦定理将条件等式角化边，再由余弦定理求解即可；
（2）先求出，再用正弦定理求出，然后求和，即可求出的面积.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得，即，
∴由余弦定理，，
又∵，
∴.
（2）∵，∴，
由第（1）问，，∴，
又∵，∴，
∴在中，由正弦定理，，∴，
又∵，∴，
∴的面积.
3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，为平面四边形的对角线，设，为等边三角形，记.
(1)当时，求的值；
(2)设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；.
【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理结合条件即得；
（2）利用余弦定理及三角形面积公式可 表示出四边形的面积，然后根据三角函数的性质即得.
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理，所以，
由余弦定理，得，
其中，故；
（2）在中，因为，
所以由余弦定理可得，
因为为等边三角形，
所以，
因为，
所以四边形的面积为，
因为，所以，
故当时，取得最大值1，即的最大值为.
4．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________，．

(1)求；
(2)如图，为边上一点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选择条件①，利用正弦定理将边化角，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；若选择条件②，利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及二倍角公式求出，即可求出，最后利用二倍角正弦公式计算可得；
（2）设，易知，，再利用余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）若选择条件①，在中，
由正弦定理得，
，，即，
，
又，；
若选择条件②，，
，即，
又，，所以，
因为，所以，所以，所以，则，
.
（2）设，易知，，
因为且为锐角，所以，
在中，由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，，
.
5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形中，的三内角对应的三边为．
给出以下三个条件：
①
②
③的面积为
(1)从以上三个条件中任选一个，求角；
(2)设，在（1）的条件下，求四边形的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对于①②：利用正、余弦定理结合三角恒等变换运算求解；对于③：利用余弦定理和面积公式运算求解；
（2）根据题意利用余弦定理建立边角关系，结合面积公式整理可得，进而可得结果.
【详解】（1）若选①：，
则，
整理得：，
由正弦定理得，所以，
因为，所以；
若选②：因为，则，
可得，
由正弦定理得：，
因为，，所以，
因为，则，可得，
所以，，即．
若选③：的面积为，则，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）因为，由（1）可知，所以为正三角形，
设，则，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
所以四边形的面积
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积取到最大值.
【基础过关】
1．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.

(1)若，求角的大小；
(2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答.
（2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
即，则，
整理得，而，即，又因为，
所以.
（2）在中，，
由余弦定理得，
于是，解得，
当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值.
2．（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；
(2)求的值及的长度.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可；
（2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.
【详解】（1）∵，，
，，;
（2），，，则.
，，
，，
又，在中，
，
由正弦定理可知，，
.
3．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，是边长为2的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.

(1)若，求的长；
(2)用表示的面积，并求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；
（2）由正弦定理求出AP，然后代入三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.
【详解】（1）由，且是边长为2的正三角形，
则，且，
所以在中，由余弦定理得，
所以；
（2）由，则，则，
在中，由正弦定理有，得，
所以
，
又，且，则，所以，
所以，则，
故的取值范围为.
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在中，，点在边上，．
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长．
【答案】(1)6
(2)6
【分析】（1）先求根据正弦定理可得.
（2）由的面积先求，再由余弦定理可得.
【详解】（1），
，
且，
根据正弦定理，
可得；
（2），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，为外一点，．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在中求出，再在中利用余弦定理求解作答.
（2）根据给定条件，求出，利用（1）的结论结合正弦定理求解作答.
【详解】（1）在中，，，，则，
在中，，，则，，
在中，由余弦定理得.
（2）由（1）知，，因为，，则，，
，由（1）知，，在中，由正弦定理得：
，则，
又是锐角，则，
所以.
6．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）如图所示，D为外一点，且，，

(1)求sin∠ACD的值；
(2)求BD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值；
（2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长.
【详解】（1）由题意，
在中，，，，
由余弦定理得，，
.
.
在中，，，
，
.
（2）由题意及（1）得，
在中，由正弦定理得，.
∴，且.
又，
∴，
∴.
在中，，，
由余弦定理得，，
∴，
∴.
7．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）如图，平面四边形中，，，．的内角的对边分别为，且满足．
(1)判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由；
(2)求内切圆半径的取值范围．
【答案】(1)有，
(2)
【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理结合条件得，所以，，所以四点共圆，则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．由正弦定理即可求出；
(2)由三角形面积公式得到，则，由正弦定理得，，化简得，因为，所以，即可得到的取值范围，从而得到半径的取值范围．
【详解】（1）在中，，
所以，
由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以．
因为，所以，所以四点共圆，
则四边形的外接圆半径就等于外接圆的半径．
又，所以．
（2）由（1）可知：，则，
，
则．
在中，由正弦定理，，
所以，，
则
，
又，所以，
所以，，即，
因为，所以．
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果；
（2）根据，，推出，再根据，求出，再根据三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）由，
根据正弦定理可得，即，
根据余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，且，所以，则，
所以，所以.
所以，即，
在三角形中，，，所以，
故.
9．（2023·辽宁·校联考三模）如图，在中，内角的对边分别为，过点作，交线段于点，且．①；②；③．以其中两个作为条件，证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明见解析.
【分析】选①②③，利用正弦、余弦定理求出，进而求出即可推理作答；选②③①，利用正弦、余弦定理求出，再利用三角形面积公式、正弦定理推理作答；选①③②，作于点，利用三角形面积公式求出，再由直角三角形锐角三角函数求出，由正余弦定理推理作答.
【详解】选择①②为条件，证明③：
在中，由及正弦定理得，即，
由余弦定理得，而，则，
又因为，且，即，有，因此，
由正弦定理得，
所以.
选择②③为条件，证明①：
在中，由及正弦定理得，即，
由余弦定理得，而，则，
因为，且，则有，此时，，
因此，解得，
由正弦定理得．
选择①③为条件，证明②：
因为，且，设，
在中，，有，，而，过点作于点，如图，
于是，解得，
在中，有，在中，有，
则有，而，解得或，
当时，，又为的内角，则，，即，
所以，由余弦定理得，即，
由正弦定理得：，其中为外接圆直径，
所以．
当时，，显然，即，则此时，结论不成立.
10．（2023·江西九江·统考三模）如图，圆内接四边形ABCD中，已知，．
(1)求；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据题给条件，利用正弦定理和二倍角正弦公式即可求得；
（2）先求得△ADC面积最大值，进而求得四边形面积的最大值．
【详解】（1）设四边形ABCD外接圆的半径为R，，
则，且，∴
如图，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得．
即∴，
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴
（2）连接AC，由（1）知，∴
又，∴△ABC为等腰直角三角形，∴
解法一：
取BC的中点O，AC的中点E，连接OE，则，
∴
当点D在OE的延长线上时，，
此时△ADC面积最大，最大值为
∴四边形ABCD面积的最大值为．
解法二：在△ADC中，由余弦定理得
即即，
∴，
即，当且仅当时取等号．
∴
∴四边形ABCD面积的最大值为．
【能力提升】
1．（2023·广东·统考模拟预测）如图，的面积为，记内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求的值；
(2)已知点在线段上，点为的中点，若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将中的替换为，边化角求得，再由三角形面积求即可；
（2）在中由余弦定理求得，向量法求得中线，在中由余弦定理求得的余弦值，再利用平方关系求得的正弦值，最后用求解即可.
【详解】（1）∵在中，，，
∴，
∴由正弦定理得，，
∴，
又∵，∴，
又∵，∴，
又∵的面积，
∴解得.
（2）在中，由余弦定理得，
，
∴，又∵为中点，∴.
∵为的中点，故，
∴
，
∴，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴
.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在中，，点在延长线上，且．
(1)求；
(2)若面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用余弦定理求得，再在和中两次利用正弦定理即可求出比值.
（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的值，再利用余弦定理即可.
【详解】（1）因为,设,则,
由余弦定理得，因为，
所以
在中,由正弦定理得,
在中,由正弦定理得,
因为,所以
整理得.
（2）由得,
由（1）得,所以,
在中,,
由余弦定理得
.
3．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且__________，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，．
(1)求角B的值；
(2)求BC的取值范围．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）根据所选条件，采用正余弦定理或者三角形面积公式一一计算即可
（2）根据题意，选择①②③求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，结合和三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）选①：，即 ，由正弦定理可得：
，整理得 ，
所以，即，
又，所以,得到，又，所以.
选②： ，由正弦定理可得：
，整理得 ，即，
又由余弦定理，所以，又，所以.
选③： ，根据条件得，得到 ，
又，所以.
综上，无论选择哪个条件，
（2）设，则，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得

，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是.
4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在中，为边上一点，.

(1)求角；
(2)从下面两个条件中选一个，求角.
①；
②.
【答案】(1)
(2)选择条件①或②，都有
【分析】（1）由余弦定理求解即可；
（2）选择条件①，在中，由正弦定理及角的范围求解即可；
选择条件②，在中，由正弦定理及三角函数诱导公式求得结果.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
，
又，.
（2）若选择条件①：
在中，由正弦定理可知：，即，解得.
在中，，从而，必有，又，故.
若选择条件②：在中，，，
由正弦定理可知：，即，解得，
又，则，，，
故，
在中，.
5．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．

(1)求和的值；
(2)记，求的值．
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理求解即可；
（2）先利用平方和关系求出，进而求，，然后用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
所以．
在中，由余弦定理得
．
所以．
（2）因为，所以．
，．
所以．
6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.

(1)求的大小；
(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正余弦定理边角互化计算即可；
（2）由题意分析可得，不管选哪个条件都需要利用正余弦定理进行边角转化，求出AC，再利用三角形面积公式求值即可.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
即.
由余弦定理得：，
又，所以.

（2）选①：由上可知，在中，，由正弦定理得：
，所以.
故，
在中，为锐角，，
故，.
.
在中，，故.
所以的面积.
选②：因为，所以.
所以.
.
在中，，故.
所以的面积.
选③：在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：.
，故.
所以的面积.
7．（2023·云南保山·统考二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
8．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图，在中，分别为边上一点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中由余弦定理求，在中由勾股定理求的长；
（2）设，在中由正弦定理求得，再由正弦定理求.
【详解】（1）在中由余弦定理可得，
又，
所以，
所以，
解得或，
因为为的斜边，，
故，
所以，且；
（2）设，
则，又，故，
因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设，
则，故，
因为，所以，所以，
所以，即，
由正弦定理可得，
所以，
所以.
9．（2023·广东韶关·统考模拟预测）在中，，，点为内一点.

(1)若（图1），求的面积；
(2)若（图2），求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得，从而可得，利用面积公式即可求解；
（2）设，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．
【详解】（1）在中，，，
由余弦定理得，
又，，
故．
（2）设，因为，则，则，
在中，由正弦定理可得，即，故，
在中，，
由余弦定理可得
，
其中，，，
因为，则，
即当时，．
10．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD中，已知，.

(1)若ABC的面积为，求ABC的周长；
(2)若，，，求∠BDC的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合余弦定理可得，由ABC的面积为可得，后由余弦定理可得AC即可得周长；
（2）由（1）结合，，可设，则，后由正弦定理可得，即可得答案.
【详解】（1）由余弦定理，在中，.
又，，则.
又ABC的面积为，则.
则，则ABC的周长为
.
（2）由（1）可知，又，，四边形内角和为，则.设，则.
在中，由正弦定理，.
在中，由正弦定理，.
消去，得
.
因，则，则.则.
【真题感知】
1．（全国·高考真题）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.
试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝. 5分
（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cs α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝ . 12分
考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.
2．（北京·高考真题）如图，在中， ， ，点在边上，且， .
（1）求；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）7.
【详解】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．
试题解析：（I）在中，∵，∴
∴
（II）在中，由正弦定理得：
在中，由余弦定理得：
∴
考点：正弦定理与余弦定理．
3．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．
在中，．
所以．
【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.
4．（陕西·高考真题）在三角形ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
【答案】AB=
【详解】在三角形ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得csADC==,
ADC=120°, ADB=60°
在三角形ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°
由正弦定理得,
AB=
5．（全国·高考真题）的内角的对边分别为已知.
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，，.