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高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
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这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，能结合指数函数比较指数式大小等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
1．（上海·高考真题）满足方程的值为________．
【答案】0
【分析】令，原方程化为，即可求出，从而求出；
【详解】解：令，原方程化为，解得或
因为，所以，即，解得
故答案为：0
【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题.
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】．
故选：A．
3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：B.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；
方法二：求出的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．
【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．
故选：A．
1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.
【详解】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；
当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；
当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，
又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，
因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.
故选：ABC
3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.
【答案】
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2023·陕西汉中·统考一模）设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
【答案】A
【分析】由函数奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式，结合复合函数的单调性，判断在定义域上的单调性即可.
【详解】由且，为奇函数，
∵在上递减，则递增，又在上递增，
∴在上递增，
故选：A.
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，
因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.
故选：C
2．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解：因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
【答案】
【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
考点：指数函数的性质.
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
1．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.
【详解】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
4．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
【答案】1
【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间,进而求解最小值.
【详解】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
故答案为:1.
5．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
考点五、指数值的大小比较（构造函数比较大小）
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.
【详解】，
令，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，从而可知.
故选：B.
2．（2023·山东日照·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，由，可得，再由，再作商法，得，从而得解.
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，，所以，所以，故，
因为，又因为，
故，从而有，综上所述：.
故选：B.
3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据指数函数单调性解不等式，进而根据充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，则等价于，
又因为在定义域内单调递增，则等价于，
即等价于，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，
所以，
故选:B.
3．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过比较的大小可得，通过对数函数的单调性可得，即可选出答案.
【详解】，，．
故选：A
4．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.
【详解】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，
选项中四个函数定义域均为，，都有
对于A，，故为奇函数，满足性质①，
∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C，，故为奇函数，满足性质①，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
5．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
【答案】C
【分析】由指数运算，可得，求得的值.
【详解】由题可知，由则
.
故选：C.
6．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得且，结合与的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
二、填空题
7．（2023·上海·模拟预测）已知，则的值域是______；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
9．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足，且，请写出一个符合上述条件的函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题属于开放性问题，只要找到符合题意的解析式即可，不妨令，再一一判断即可.
【详解】令，显然在定义域上单调递增，满足，
且，即满足，所以符合题意．
故答案为：（答案不唯一）
10．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分别在和的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.
【详解】当，即时，，
，解得：（舍）；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断，再利用指数幂的运算以及正切函数的性质判断，从而可得答案.
【详解】，
，
，
所以，
故选：B.
2．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，
所以，
令，则，
令，
则，
所以在上递减，
所以，所以，
所以在上递减，
所以，
即当时，，
所以，
即，
所以．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，.
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.
【详解】由，
因为，，则，，
令且，则，则递减，
所以，即，则，故；
因为，，由，
令且，则，则递增；
故，，而，
所以，则，即，
综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小.
5．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.
【详解】由，得，
所以，
又函数单调递减，，
所以，即，
所以
由，得，
所以，
所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，
故，，所以A错误；
，．
又，所以，，所以C错误；
由，得．
因为，所以，
故，所以B错误；
因为在上单调递增，且，
所以．
因为在上单调递减，且，
所以，故．
故选：D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
【答案】B
【分析】由得的周期，再根据时，零点的个数，从而可得答案.
【详解】由得，
所以，即是以8为周期的周期函数，
当时，有两个零点2和4，
当时，，令，
则有，
当时，，，
所以无解，
所以当时，无零点，
又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点，
因此有上，有个零点．
故选：B．
二、多选题
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；
又函数是奇函数，则，因此，即有，
于是，即函数的周期为4，有，C正确；
因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；
当时，，所以，D错误．
故选：ABC
9．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】AD
【分析】对方程变形，因式分解得到或，画出的图象，结合图象特点，对进行分类讨论，求出答案.
【详解】由，得，
解得或，
作出的图象如图所示，
若，则或，
设，由，得，此时或.
当时，，有2个不等的实根;
当时，，有2个不等的实根，所以有4个不等的实根，
若原方程至少有8个不等的实根，则必须有且至少有4个不等实根，
若，由，得或有1个根，有3个不等的实根，此时有4个不等的实根，满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得或或，
当有1个根，
当时，有3个不等的实根，
当时，有3个不等的实根，
此时共有7个不等的实根，满足题意.
综上实数的取值范围为
.故选：AD.
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
三、填空题
10．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】先计算得到函数的图象关于中心对称，又由当时，，单调递减，可得在上单调递减，从而根据对称性和单调性可得或或，求解即可.
【详解】依题意，，
故，
故函数的图象关于中心对称.
当时，，单调递减，
故在上单调递减，且
因为函数的图象关于中心对称，
所以在上单调递减，且.
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为.
故答案为：
【真题感知】
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.
【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.
故选：B.
二、填空题
4．（辽宁·高考真题）设，则______．
【答案】/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
5．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可求解．
【详解】．
故答案为：．
6．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性得到，解得答案.
【详解】，则，整理得，解得.
故答案为：.
第03讲 指数与指数函数（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
1．（上海·高考真题）满足方程的值为________．
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西汉中·统考一模）设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
2．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
5．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
考点五、指数值的大小比较（构造函数比较大小）
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东日照·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
6．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2023·上海·模拟预测）已知，则的值域是______；
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
9．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足，且，请写出一个符合上述条件的函数___________．
10．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为______．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
4．（2023·重庆·统考模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
二、多选题
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
三、填空题
10．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.
【真题感知】
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（辽宁·高考真题）设，则______．
5．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
6．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
1．（上海·高考真题）满足方程的值为________．
【答案】0
【分析】令，原方程化为，即可求出，从而求出；
【详解】解：令，原方程化为，解得或
因为，所以，即，解得
故答案为：0
【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题.
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】．
故选：A．
3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：B.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；
方法二：求出的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．
【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．
故选：A．
1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.
【详解】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；
当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；
当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，
又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，
因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.
故选：ABC
3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.
【答案】
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2023·陕西汉中·统考一模）设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
【答案】A
【分析】由函数奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式，结合复合函数的单调性，判断在定义域上的单调性即可.
【详解】由且，为奇函数，
∵在上递减，则递增，又在上递增，
∴在上递增，
故选：A.
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，
因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.
故选：C
2．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解：因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
【答案】
【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
考点：指数函数的性质.
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
1．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.
【详解】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
4．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
【答案】1
【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间,进而求解最小值.
【详解】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
故答案为:1.
5．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
考点五、指数值的大小比较（构造函数比较大小）
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用其单调性判定大小即可.
【详解】，
令，则，
所以当时，函数单调递增，
，即，
即，从而可知.
故选：B.
2．（2023·山东日照·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，由，可得，再由，再作商法，得，从而得解.
【详解】令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，，所以，所以，故，
因为，又因为，
故，从而有，综上所述：.
故选：B.
3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.
【详解】设，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
又，则，
，所以，
对于，令，则，
此时，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据指数函数单调性解不等式，进而根据充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，则等价于，
又因为在定义域内单调递增，则等价于，
即等价于，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，
所以，
故选:B.
3．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过比较的大小可得，通过对数函数的单调性可得，即可选出答案.
【详解】，，．
故选：A
4．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.
【详解】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，
选项中四个函数定义域均为，，都有
对于A，，故为奇函数，满足性质①，
∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C，，故为奇函数，满足性质①，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
5．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
【答案】C
【分析】由指数运算，可得，求得的值.
【详解】由题可知，由则
.
故选：C.
6．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得且，结合与的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
二、填空题
7．（2023·上海·模拟预测）已知，则的值域是______；
【答案】
【分析】分段讨论的范围即可.
【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知，
当 时, .
综上: 的值域为 .
故答案为：.
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
9．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足，且，请写出一个符合上述条件的函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题属于开放性问题，只要找到符合题意的解析式即可，不妨令，再一一判断即可.
【详解】令，显然在定义域上单调递增，满足，
且，即满足，所以符合题意．
故答案为：（答案不唯一）
10．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分别在和的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.
【详解】当，即时，，
，解得：（舍）；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断，再利用指数幂的运算以及正切函数的性质判断，从而可得答案.
【详解】，
，
，
所以，
故选：B.
2．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，
所以，
令，则，
令，
则，
所以在上递减，
所以，所以，
所以在上递减，
所以，
即当时，，
所以，
即，
所以．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，.
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，
得，，，
构造函数，则，
当时，x＝1，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在x＝1处取最小值，
时，，即，
取，得，
，，即；
设，
则，
令，，
因为当时，令，
，单调递减，
又时，，则，即，
所以，
因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，
又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，
所以，即，
，即，
.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.
【详解】由，
因为，，则，，
令且，则，则递减，
所以，即，则，故；
因为，，由，
令且，则，则递增；
故，，而，
所以，则，即，
综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用中间值得到，构造利用导数研究单调性比较，作差法并构造研究函数值符号比较大小.
5．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.
【详解】由，得，
所以，
又函数单调递减，，
所以，即，
所以
由，得，
所以，
所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，
故，，所以A错误；
，．
又，所以，，所以C错误；
由，得．
因为，所以，
故，所以B错误；
因为在上单调递增，且，
所以．
因为在上单调递减，且，
所以，故．
故选：D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
【答案】B
【分析】由得的周期，再根据时，零点的个数，从而可得答案.
【详解】由得，
所以，即是以8为周期的周期函数，
当时，有两个零点2和4，
当时，，令，
则有，
当时，，，
所以无解，
所以当时，无零点，
又，因此在上函数有个零点，当时，有两个零点2和4，当时，无零点，当时，无零点，
因此有上，有个零点．
故选：B．
二、多选题
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；
又函数是奇函数，则，因此，即有，
于是，即函数的周期为4，有，C正确；
因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；
当时，，所以，D错误．
故选：ABC
9．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】AD
【分析】对方程变形，因式分解得到或，画出的图象，结合图象特点，对进行分类讨论，求出答案.
【详解】由，得，
解得或，
作出的图象如图所示，
若，则或，
设，由，得，此时或.
当时，，有2个不等的实根;
当时，，有2个不等的实根，所以有4个不等的实根，
若原方程至少有8个不等的实根，则必须有且至少有4个不等实根，
若，由，得或有1个根，有3个不等的实根，此时有4个不等的实根，满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得有1个根，不满足题意;
若，由，得或或，
当有1个根，
当时，有3个不等的实根，
当时，有3个不等的实根，
此时共有7个不等的实根，满足题意.
综上实数的取值范围为
.故选：AD.
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
三、填空题
10．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】先计算得到函数的图象关于中心对称，又由当时，，单调递减，可得在上单调递减，从而根据对称性和单调性可得或或，求解即可.
【详解】依题意，，
故，
故函数的图象关于中心对称.
当时，，单调递减，
故在上单调递减，且
因为函数的图象关于中心对称，
所以在上单调递减，且.
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为.
故答案为：
【真题感知】
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.
【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.
故选：B.
二、填空题
4．（辽宁·高考真题）设，则______．
【答案】/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
5．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可求解．
【详解】．
故答案为：．
6．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性得到，解得答案.
【详解】，则，整理得，解得.
故答案为：.
第03讲 指数与指数函数（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
1．（上海·高考真题）满足方程的值为________．
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西汉中·统考一模）设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
2．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校联考一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
3．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
5．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
考点五、指数值的大小比较（构造函数比较大小）
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东日照·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖北武汉·统考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）
A．元千克B．元千克C．元千克D．元千克
6．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2023·上海·模拟预测）已知，则的值域是______；
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
9．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足，且，请写出一个符合上述条件的函数___________．
10．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为______．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）设，，，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．c＜a＜bD．a＜c＜b
4．（2023·重庆·统考模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河北张家口·统考一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．253B．506C．507D．759
二、多选题
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，若关于的方程至少有8个不等的实根，则实数的取值不可能为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
三、填空题
10．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为______.
【真题感知】
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．（辽宁·高考真题）设，则______．
5．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
6．（全国·高考真题）不等式的解集是___________.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数
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