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高考数学第一轮复习(新教材新高考)第06讲函数与方程（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
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这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第06讲函数与方程（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共50页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
【答案】D
【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案.
【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点，
∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，
当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．
当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，即，故，
则．
故选：D．
1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________．
【答案】
【解析】解方程，即可得出答案.
【详解】令，则或，解得
故答案为：
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______．
【答案】2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由，得， 函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，
则，.
故答案为：.
考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
2．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
3．（北京·高考真题）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数
1．（湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=lg2x的图象，如下图所示：
由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.
考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】函数在区间上的零点的个数，转化为方程在区间上的根的个数.
【详解】求函数在区间上的零点个数，
转化为方程在区间上的根的个数.
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间上的零点个数为3.
故选：A.
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，
当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在函数的零点个数__________.
【答案】4
【分析】直接解方程即可得，注意首先把作为整体求解，即相当于解方程，设其解为（可能多于一个），然后再解方程．
【详解】当时， ，，，，
当时，由，得；由，得，
同理当时，或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，
故答案为：4.
【点睛】本题考查求函数零点个数，解题方法是解方程法．直接解方程即可得．注意分段函数需要分段求解．
5．（全国·高考真题）函数在的零点个数为________．
【答案】
【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
6．（湖北·高考真题）函数的零点个数为_________．
【答案】．
【详解】函数的零点个数等价于方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数．
于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．
考点三、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
2．（北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
1．（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理即可计算求解.
【详解】在连续不断，且单调递减，
，
所以零点位于，
故选：C
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的零点存在定理判断.
【详解】因为，
，
.
所以函数的零点所在的区间为，
故选：C
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数和的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断．
【详解】解：函数，画出与的图象，如下图：
当时，，
当时，，
函数的零点所在的区间是．
故选：D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
考点四、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可得解.
【详解】因为与在上都单调递增，
所以在上单调递增，
因为在区间上有零点，
所以，即，即，
解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】将 代入 ，构造直线方程，运用点到直线的距离求解.
【详解】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标，
则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值，
原点到直线的距离为 ， ，
令 ， ，当 时，, 是增函数，
在 时， ；
故答案为： .
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
【答案】/.
【分析】由题意得，设直线，则点是直线l上的一点，然后求出原点O到直线l的距离，构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由已知可得．
不妨设直线，则点是直线l上的一点，
原点O到直线l的距离，
则，
设，
在上递减，在递增
可得，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l上的一点，然后将问题转化为则大于等于原点O到直线l的距离，再构造函数，求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】设零点为，将方程看作点在直线上，而的最小值代表含义即是直线到点的距离，根据点到直线距离公式列式求解即可.
【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上．
因为零点存在，则，即，
令，，
令，，当时，,单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，的最小值为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
某函数出现零点与双参数问题时，常见思路为将零点当作常数，则零点所对应方程就成为关于双参数的直线方程，将所求问题转换为该直线与某点的位置关系问题进行求解.（注意：虽然零点在找直线方程时当作常数看待，但得到问题所需解析式后，零点取值范围将影响解析式取值范围，这也就是零点范围的作用.）
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】设，即可求出b，继而求出的表达式，将看作主元，配方得，记，即可求解最大值.
【详解】设，则，
此时，则，
令，
当时，，
记，则，
所以在上递增，在上递减，
故,所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，
第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，
第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参数）构造函数求出最值，即可求解.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
故选：D
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为.
【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性与最值，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解，
设，根据双勾函数的性质可知，
在单调递减，单调递增，
且，
要使在时有2个不同的解，
则，
故选:D.
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.
【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：D
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，即可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可得有解，
所以，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，∴的取值范围为.
故选：A
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由题意可得，所以的一个零点为0，令，求出的零点，即为零点，代入计算即可得答案．
【详解】令，则有，即，
所以有，
令，则，
令，则有，即有，
因为，所以，则，
即有，当时，等号成立，所以当时，，
所以共有3个零点，分别为0，，，
所以．
故选：A
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】BC
【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算.
【详解】由题意可知：
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得：
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
不论与的大小关系，则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令，可得：
当时，即，可得；
当时，即，可得，；
当时，即，可得，.
原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示，是方程的两个解，
根据韦达定理可得：，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为，结合图象可得，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中，
则有，当且仅当时，成立，
综上所述：的最小值为10，选项D成立.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
二、填空题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
【答案】
【分析】依题意可得，显然，两边取对数可得，令，，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函数图象，再数形结合即可得解.
【详解】由，得，因为不是的零点，
等式两边同时取对数得，即，
令，，则，所以为奇函数，
当时，，所以
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时函数取得极大值，即，
又因为，当时， ，当时，，
所以可得的图象如下所示，
又因为有两个正实根，所以.
故答案为：
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】设函数的零点为，则，则点在直线上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得.
【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上.
因为表示与的距离，所以则的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，即，
令，
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.
【详解】依题意，方程，即有三个不等实根，
设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为，
于是，
整理得，
因此，则，即有，解得或，
所以的取值范围是..
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，利用导数求出在上的单调性与最值，再求出时的解析式，画出图象，数形结合即可求解.
【详解】设，则有且只有4个根.
当时，,
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，.
当时，，，
当时，，，
故函数的图象如图所示：
因为，由图可知.
故答案为:.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
【答案】 1
【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
故答案为：1；.
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
【答案】①③
【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出，可得.利用基本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出，即可推出，从而推出，即可判断③.
【详解】由题意得，则，
即和为的零点；
而在R上单调递增，且，
在R上有且仅有一个零点，，
又，①正确；
又，
而在上单调递增，
，②错误；
，，
则，
而，故，即，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，解答的关键在于根据，变式为，从而推出和为的零点，再结合函数的单调性，说明，以下问题则可顺利解决.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由得，转化为函数与的图象有八个交点，画出与的图象，结合图象进行分析求解.
【详解】由函数的解析式可知：
时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称；
时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象.
由得，函数与的图象如图所示：
由，即有，由图可知，，
故，即，则，；
由的图象性质，有，，
，，
则，，
所以，
因为，，所以，而对勾函数在上单调递减，
所以，，，，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则__________.
【答案】1
【分析】令，由的图象可得最多只有两个解，所以由题意可知有两解，且，由图象可知有两解，有一解，代入即可求出结果.
【详解】由，得，
令，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的图象如图所示，
由图可知最多只有两个解，
若要有三解，则有两解，
且，
因为函数有三个零点，且，
所以由图象可知有两解，有一解，
所以
，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是令，然后将问题转化为有两解，且有两解，有一解，然后代入化简即可，考查数形结合的思想，属于较难题.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
【答案】B
【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
【详解】设，则是增函数，又
.
所以，
所以x0所在的区间是(1，2)
故选：B
【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.
3．（浙江·高考真题）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
4．（湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】令，则，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果.
【详解】令，则，
作出这两个函数的图象，如图：
由图可知，
当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题；
当时，由得或，
当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.
5．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
6．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
8．（湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
9．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
第06讲 函数与方程（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________．
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______．
考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
2．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
3．（北京·高考真题）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
1．（湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在函数的零点个数__________.
5．（全国·高考真题）函数在的零点个数为________．
6．（湖北·高考真题）函数的零点个数为_________．
考点三、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
1．（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
考点四、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
二、填空题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则__________.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．（浙江·高考真题）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
4．（湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
6．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
8．（湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
9．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
【答案】D
【分析】由韦达定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分类讨论即可得到答案.
【详解】∵等差数列{an}中，a1，a6为函数的两个零点，
∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，
当a1＝2，a6＝7时，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．
当a1＝7，a6＝2时，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到函数的零点问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为是函数的一个零点，
所以，即，故，
则．
故选：D．
1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________．
【答案】
【解析】解方程，即可得出答案.
【详解】令，则或，解得
故答案为：
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______．
【答案】2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由，得， 函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，
则，.
故答案为：.
考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【详解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．
2．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
3．（北京·高考真题）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数
1．（湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=lg2x的图象，如下图所示：
由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.
考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】函数在区间上的零点的个数，转化为方程在区间上的根的个数.
【详解】求函数在区间上的零点个数，
转化为方程在区间上的根的个数.
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间上的零点个数为3.
故选：A.
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，
当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在函数的零点个数__________.
【答案】4
【分析】直接解方程即可得，注意首先把作为整体求解，即相当于解方程，设其解为（可能多于一个），然后再解方程．
【详解】当时， ，，，，
当时，由，得；由，得，
同理当时，或，所以共有四个解，因此零点个数为4个，
故答案为：4.
【点睛】本题考查求函数零点个数，解题方法是解方程法．直接解方程即可得．注意分段函数需要分段求解．
5．（全国·高考真题）函数在的零点个数为________．
【答案】
【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
6．（湖北·高考真题）函数的零点个数为_________．
【答案】．
【详解】函数的零点个数等价于方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数．
于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图象有2个交点．
考点三、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
2．（北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
1．（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理即可计算求解.
【详解】在连续不断，且单调递减，
，
所以零点位于，
故选：C
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的零点存在定理判断.
【详解】因为，
，
.
所以函数的零点所在的区间为，
故选：C
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数和的图象，观察交点横坐标的范围，然后利用零点存在定理判断．
【详解】解：函数，画出与的图象，如下图：
当时，，
当时，，
函数的零点所在的区间是．
故选：D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
考点四、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可得解.
【详解】因为与在上都单调递增，
所以在上单调递增，
因为在区间上有零点，
所以，即，即，
解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】将 代入 ，构造直线方程，运用点到直线的距离求解.
【详解】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标，
则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值，
原点到直线的距离为 ， ，
令 ， ，当 时，, 是增函数，
在 时， ；
故答案为： .
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
【答案】/.
【分析】由题意得，设直线，则点是直线l上的一点，然后求出原点O到直线l的距离，构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由已知可得．
不妨设直线，则点是直线l上的一点，
原点O到直线l的距离，
则，
设，
在上递减，在递增
可得，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l上的一点，然后将问题转化为则大于等于原点O到直线l的距离，再构造函数，求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】设零点为，将方程看作点在直线上，而的最小值代表含义即是直线到点的距离，根据点到直线距离公式列式求解即可.
【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上．
因为零点存在，则，即，
令，，
令，，当时，,单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，的最小值为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
某函数出现零点与双参数问题时，常见思路为将零点当作常数，则零点所对应方程就成为关于双参数的直线方程，将所求问题转换为该直线与某点的位置关系问题进行求解.（注意：虽然零点在找直线方程时当作常数看待，但得到问题所需解析式后，零点取值范围将影响解析式取值范围，这也就是零点范围的作用.）
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【答案】
【分析】设，即可求出b，继而求出的表达式，将看作主元，配方得，记，即可求解最大值.
【详解】设，则，
此时，则，
令，
当时，，
记，则，
所以在上递增，在上递减，
故,所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，
第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，
第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法（关于另一个参数）构造函数求出最值，即可求解.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知为增函数，又，
，故零点所在的区间是.
故选：B.
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数.
【详解】由，
得，又，所以，
所以或
解得或.
所以函数在的零点个数是2.
故选：A.
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答.
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，
所以.
故选：D
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为.
【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性与最值，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解，
设，根据双勾函数的性质可知，
在单调递减，单调递增，
且，
要使在时有2个不同的解，
则，
故选:D.
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值.
【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：D
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，即可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可得有解，
所以，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，∴的取值范围为.
故选：A
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由题意可得，所以的一个零点为0，令，求出的零点，即为零点，代入计算即可得答案．
【详解】令，则有，即，
所以有，
令，则，
令，则有，即有，
因为，所以，则，
即有，当时，等号成立，所以当时，，
所以共有3个零点，分别为0，，，
所以．
故选：A
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】BC
【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算.
【详解】由题意可知：
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得：
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
不论与的大小关系，则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
【答案】AD
【分析】根据题意分析可得：原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，结合图象以及基本不等式逐项分析判断.
【详解】令，可得：
当时，即，可得；
当时，即，可得，；
当时，即，可得，.
原函数的4个零点可表示为直线与函数交点的横坐标，
对于选项A、C：如图所示，是方程的两个解，
根据韦达定理可得：，即可知选项A成立，选项C不成立；
对于选项B：因为，结合图象可得，即可知选项B不成立；
对于选项D：其中，
则有，当且仅当时，成立，
综上所述：的最小值为10，选项D成立.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
二、填空题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
【答案】
【分析】依题意可得，显然，两边取对数可得，令，，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函数图象，再数形结合即可得解.
【详解】由，得，因为不是的零点，
等式两边同时取对数得，即，
令，，则，所以为奇函数，
当时，，所以
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时函数取得极大值，即，
又因为，当时， ，当时，，
所以可得的图象如下所示，
又因为有两个正实根，所以.
故答案为：
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】设函数的零点为，则，则点在直线上，然后将问题转化为点到直线的距离的最值问题，构造函数，利用导数求解可得.
【详解】设函数的零点为，则，则点在直线上.
因为表示与的距离，所以则的最小值即为原点到直线的距离的最小值平方，即，
令，
令，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故答案为：
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】把两个函数图象有三个交点转化为三次方程有三个根的问题，设出三个根，利用恒等式建立关系并求解作答.
【详解】依题意，方程，即有三个不等实根，
设两个函数图象的三个交点的横坐标，即方程的三个根为，
于是，
整理得，
因此，则，即有，解得或，
所以的取值范围是..
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定两个函数图象交点横坐标问题，可以等价转化为方程实根问题，再结合方程思想求解即可.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，利用导数求出在上的单调性与最值，再求出时的解析式，画出图象，数形结合即可求解.
【详解】设，则有且只有4个根.
当时，,
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，.
当时，，，
当时，，，
故函数的图象如图所示：
因为，由图可知.
故答案为:.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
【答案】 1
【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案.
【详解】第一空：当时，当时，，解得；
当时，，无零点，
故此时的零点个数是1；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
故答案为：1；.
【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
【答案】①③
【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出，可得.利用基本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出，即可推出，从而推出，即可判断③.
【详解】由题意得，则，
即和为的零点；
而在R上单调递增，且，
在R上有且仅有一个零点，，
又，①正确；
又，
而在上单调递增，
，②错误；
，，
则，
而，故，即，③正确.
综上，所有正确结论的序号为①③，
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，解答的关键在于根据，变式为，从而推出和为的零点，再结合函数的单调性，说明，以下问题则可顺利解决.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由得，转化为函数与的图象有八个交点，画出与的图象，结合图象进行分析求解.
【详解】由函数的解析式可知：
时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称；
时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象.
由得，函数与的图象如图所示：
由，即有，由图可知，，
故，即，则，；
由的图象性质，有，，
，，
则，，
所以，
因为，，所以，而对勾函数在上单调递减，
所以，，，，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则__________.
【答案】1
【分析】令，由的图象可得最多只有两个解，所以由题意可知有两解，且，由图象可知有两解，有一解，代入即可求出结果.
【详解】由，得，
令，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的图象如图所示，
由图可知最多只有两个解，
若要有三解，则有两解，
且，
因为函数有三个零点，且，
所以由图象可知有两解，有一解，
所以
，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是令，然后将问题转化为有两解，且有两解，有一解，然后代入化简即可，考查数形结合的思想，属于较难题.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
【答案】B
【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．
考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．
点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．
2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
【答案】B
【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
【详解】设，则是增函数，又
.
所以，
所以x0所在的区间是(1，2)
故选：B
【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.
3．（浙江·高考真题）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
4．（湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】令，则，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果.
【详解】令，则，
作出这两个函数的图象，如图：
由图可知，
当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题；
当时，由得或，
当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题.
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键.
5．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
6．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：1，
8．（湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意
②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意
④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点
综上可得，或
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
9．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
第06讲 函数与方程（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度中等偏下，分值为5分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
函数的零点
一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。
零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得
注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在
函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点
（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点
（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数
② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数
③ 若为增函数，且，则为增函数
（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点
1．（2022·安徽宣城·统考二模）已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数的两个零点，则a3a4＝（ ）
A．-14B．9C．14D．20
2．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·统考模拟预测）的零点为________．
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则______．
考点二、求函数零点或方程根或图象交点个数
1．（湖南·高考真题）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
2．（全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
3．（北京·高考真题）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
1．（湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在函数的零点个数__________.
5．（全国·高考真题）函数在的零点个数为________．
6．（湖北·高考真题）函数的零点个数为_________．
考点三、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（全国·高考真题）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（北京·高考真题）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
1．（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
考点四、根据零点区间或个数求参数范围
1．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是________．
3．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________．
4．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
5．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为______．
6．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
4．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空题
10．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
【能力提升】
一、多选题
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
二、填空题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为____.
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为__________.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数与函数的图象恰有三个不同的交点，其中交点的横坐标成等差数列，则的取值范围为__________.
6．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.
8．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________.
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则__________.
【真题感知】
一、单选题
1．（天津·高考真题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
2．（山东·高考真题）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
3．（浙江·高考真题）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A．B．C．D．
4．（湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
6．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2022·北京·统考高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
8．（湖南·高考真题）已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
9．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用
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