还剩37页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 高考数学第一轮复习(新教材新高考)第01讲导数的概念、运算及几何意义（核心考点精讲精练）(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 高考数学第一轮复习(新教材新高考)第02讲导数与函数的单调性（核心考点精讲精练）(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 高考数学第一轮复习(新教材新高考)第02讲平面向量的数量积（核心考点精讲精练）(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲平面向量基本定理及“爪子定理”(高阶拓展)（核心考点精讲精练）(学生版+解析) 试卷 0 次下载
高考数学第一轮复习(新教材新高考)第02讲幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
展开
这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第02讲幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共40页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可.
【详解】当时，幂函数在上单调递减，
当时，幂函数在上单调递增，
可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，
当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，
当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，
令，分别代入，，得到，，
因为，可知曲线、对应的值分别为、.
故选：A.
2．（全国·高考真题）函数的图象是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），（，），可排除C．
故选B．
点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】首先求出函数过定点的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断.
【详解】解：（，且）
令，则，即，故函数（，且）的图象恒过定点.
设
则解得，
故的图象大致是
故选：
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题.
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（，且）
【答案】A
【分析】根据函数，，，的图象特征判断.
【详解】在同一坐标系中作出函数，，，
在第一象限的图象，如图所示：
由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（），
故选：A
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】
考查幂函数.
∵>0，根据幂函数的图象与性质
可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选A.
点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意.
综上.
故选：A.
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
考点：函数的单调性.
1．（2023·安徽模拟）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【详解】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A
考点四、幂函数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
2．（2023·浙江·模拟）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】由得，，
而函数是偶函数，所以有，
所以，
所以的周期为4，
则，
．
当时，，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，又，
所以，
即，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键.
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【分析】令，易得函数为奇函数，且为增函数，则不等式，即为，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，
因为，所以函数为奇函数，
由函数都是增函数，可得为增函数，
，
则不等式，
即为，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
考点五、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
【答案】D
【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以，解得，所以.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值，
所以，在处取得最大值，
所以，函数在处取得最大值.
因为，所有点构成一个正方形区域，
所以，所以.
故选：D.
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.
【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.
【详解】由幂函数性质可知，定义域为，且在定义域内单调递增；即A正确；
在其定义域，上分别单调递减，即C错误；
由正切函数图像可知，为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；
由指数函数性质可知，在上为单调递减，所以D错误.
故选：A
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对AB：直接判断其单调性；
对C：把 化为，判断其单调性；
对D：利用判断的单调性.
【详解】本题考查函数的单调性.
A项中，函数在上单调递减，故A错误；
B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；
D项中，函数在上单调递减，故D错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．8D．9
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，利用三角函数和特殊幂函数的奇偶性进行分析，可得到，进而计算得到答案.
【详解】由，有，可得.
故选：C
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将函数在区间上单调递增，转化为且在区间上恒成立可求解.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数在上为奇函数,
所以，解得，又，
即，
所以，解得，解得，
所以，，
由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
则不等式，即，等价于，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：C
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
【答案】2
【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数是幂函数，则，得或，
当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；
当时，函数是奇函数，不合题意.
故答案为：2.
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．
【详解】，定义域为，图象不经过第二象限，且为幂函数，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．
【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2，
∴，
∴在R上为奇函数，
由，得，
∵在R上为单调增函数，
∴，
∴恒成立．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
【答案】B
【分析】根据幂函数的解析式得出等式，构造函数应用导数求最值后确定参数值可得答案．
【详解】依题意，则，设
单调递减,
单调递增,
知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.
故选：B．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
【答案】AC
【分析】根据幂函数中结论一一分析即可.
【详解】
对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；
对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC.
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数的单调减区间为______；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.
令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
【答案】
【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式变形为，
所以，
令，则有，
因为函数在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）设且满足，则______.
【答案】
【分析】等式整理成表达式.构造函数，判断单调性与奇偶性找的关系.
【详解】，即即，同理
又因为，所以
构造函数，
所以，，即
又因为，
即，所以是定义在上的奇函数.
所以式变为：
即
由幂函数知在上单调递增，
所以，，即.
故答案为：
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，
故选A.
2．（江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】分与去解不等式，求出的取值范围.
【详解】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是.
故选：D
3．（山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【详解】令,可得．
设
根据题意与直线只有两个交点，
不妨设，结合图形可知，当时如右图，
与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得，即，此时，
，
同理可得，当时如左图，，
故选：B．
【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
【考点】幂函数的性质.
第02讲 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
2．（全国·高考真题）函数的图象是
A．B．
C．D．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（，且）
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
1．（2023·安徽模拟）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点四、幂函数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
2．（2023·浙江·模拟）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
考点五、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．8D．9
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数的单调减区间为______；
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
9．（2023·全国·高三专题练习）设且满足，则______.
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
2．（江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
3．（山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可.
【详解】当时，幂函数在上单调递减，
当时，幂函数在上单调递增，
可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，
当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，
当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，
令，分别代入，，得到，，
因为，可知曲线、对应的值分别为、.
故选：A.
2．（全国·高考真题）函数的图象是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．
解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），（，），可排除C．
故选B．
点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】首先求出函数过定点的坐标，再求出幂函数的解析式，即可判断.
【详解】解：（，且）
令，则，即，故函数（，且）的图象恒过定点.
设
则解得，
故的图象大致是
故选：
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，待定系数法求幂函数解析式以及幂函数的图象的识别，属于基础题.
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（，且）
【答案】A
【分析】根据函数，，，的图象特征判断.
【详解】在同一坐标系中作出函数，，，
在第一象限的图象，如图所示：
由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（），
故选：A
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】
考查幂函数.
∵>0，根据幂函数的图象与性质
可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选A.
点睛：对于形如的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别分析函数的奇偶性和单调性即可选出结果.
【详解】解：为奇函数，，为偶函数，
但在单调递增，所以在单调递减，
而为偶函数且在单调递增.
故选：A
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，
所以且，
由，得或，
当时，，满足题意；
当时，足，不符合题意.
综上.
故选：A.
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
考点：函数的单调性.
1．（2023·安徽模拟）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【详解】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A
考点四、幂函数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
2．（2023·浙江·模拟）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】由得，，
而函数是偶函数，所以有，
所以，
所以的周期为4，
则，
．
当时，，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，又，
所以，
即，
故选：C
【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键.
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【分析】令，易得函数为奇函数，且为增函数，则不等式，即为，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，
因为，所以函数为奇函数，
由函数都是增函数，可得为增函数，
，
则不等式，
即为，即，
即，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
考点五、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
【答案】D
【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以，解得，所以.
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值，
所以，在处取得最大值，
所以，函数在处取得最大值.
因为，所有点构成一个正方形区域，
所以，所以.
故选：D.
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.
【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.
【详解】由幂函数性质可知，定义域为，且在定义域内单调递增；即A正确；
在其定义域，上分别单调递减，即C错误；
由正切函数图像可知，为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；
由指数函数性质可知，在上为单调递减，所以D错误.
故选：A
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对AB：直接判断其单调性；
对C：把 化为，判断其单调性；
对D：利用判断的单调性.
【详解】本题考查函数的单调性.
A项中，函数在上单调递减，故A错误；
B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；
D项中，函数在上单调递减，故D错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】代入计算并运用函数奇偶性求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．8D．9
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，利用三角函数和特殊幂函数的奇偶性进行分析，可得到，进而计算得到答案.
【详解】由，有，可得.
故选：C
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将函数在区间上单调递增，转化为且在区间上恒成立可求解.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数在上为奇函数,
所以，解得，又，
即，
所以，解得，解得，
所以，，
由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
则不等式，即，等价于，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：C
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出函数与在均单调递减时，a的取值区间结合选项可得答案.
【详解】函数在均单调递减可得即；
函数在均单调递减可得，解得，
若函数与均单调递减，可得，
由题可得所求区间真包含于，
结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C
故选：C
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
【答案】2
【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数是幂函数，则，得或，
当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；
当时，函数是奇函数，不合题意.
故答案为：2.
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．
【详解】，定义域为，图象不经过第二象限，且为幂函数，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．
【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2，
∴，
∴在R上为奇函数，
由，得，
∵在R上为单调增函数，
∴，
∴恒成立．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
【答案】B
【分析】根据幂函数的解析式得出等式，构造函数应用导数求最值后确定参数值可得答案．
【详解】依题意，则，设
单调递减,
单调递增,
知该方程有唯一解，故，易知该函数为偶函数.
故选：B．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
【答案】AC
【分析】根据幂函数中结论一一分析即可.
【详解】
对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；
对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC.
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数的单调减区间为______；
【答案】
【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.
【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数.
令，得或.
易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
【答案】
【分析】不等式变形为，即，构造函数，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式变形为，
所以，
令，则有，
因为函数在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）设且满足，则______.
【答案】
【分析】等式整理成表达式.构造函数，判断单调性与奇偶性找的关系.
【详解】，即即，同理
又因为，所以
构造函数，
所以，，即
又因为，
即，所以是定义在上的奇函数.
所以式变为：
即
由幂函数知在上单调递增，
所以，，即.
故答案为：
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，
故选A.
2．（江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】分与去解不等式，求出的取值范围.
【详解】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是.
故选：D
3．（山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】B
【详解】令,可得．
设
根据题意与直线只有两个交点，
不妨设，结合图形可知，当时如右图，
与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得，即，此时，
，
同理可得，当时如左图，，
故选：B．
【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
【考点】幂函数的性质.
第02讲 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
2．（全国·高考真题）函数的图象是
A．B．
C．D．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是
A．B．
C．D．
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（，且）
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）函数y=在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．1或
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
1．（2023·安徽模拟）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点四、幂函数的综合应用
1．（2023·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
2．（2023·浙江·模拟）已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
考点五、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．8D．9
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数为偶函数
C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数的单调减区间为______；
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
9．（2023·全国·高三专题练习）设且满足，则______.
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
2．（江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
3．（山东·高考真题）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第1题,5分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023年新I卷，第4题,5分
二次函数单调区间求参数值或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
相关试卷
高考数学第一轮复习(新教材新高考)第04讲利用导数证明不等式（核心考点精讲精练）(学生版+解析)： 这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第04讲利用导数证明不等式（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共75页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)： 这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，能结合指数函数比较指数式大小等内容，欢迎下载使用。
高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)： 这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共81页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
