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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破11导数中的同构问题(六大题型)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破11导数中的同构问题(六大题型)(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了常见的同构函数图像等内容，欢迎下载使用。
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：不等式同构
例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
变式10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
变式11．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
例15．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
变式17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
变式18．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
重难点突破11 导数中的同构问题
目录
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：不等式同构
例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，即在上单调递减，
∴，即，
设，则，
即在上单调递增，
又∵，∴.
故选：.
例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，
因为，所以，即，
而a，b，，所以，
故选：C
变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
构造函数，其导函数，
令，解得：，列表得：
所以在上单增.
因为，所以，即
故选:D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以函数单调递增，
又，所以，
所以，
对于A，当，时，，，此时，故A错误；
对于B，由指数函数的单调性可得，故B错误；
对于C，当，时，，，此时，故C错误；
对于D，令，则，所以函数单调递增，所以即，故D正确.
故选：D.
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【解析】(1)显然，则，.
(2)显然，则，.
(3)显然，则，.
(4)显然，则
，.
(5)，.
(6)，，.
(7)，.
(8)，.
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【解析】可化为：.
记，定义域为R.
因为，所以在R上单调递增.
又，
所以为奇函数.
所以由可得：，所以2.
故选：B
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
【答案】A
【解析】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以方程的解只有一个，
所以，所以．
故选：A
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1），
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有.
（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：
由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
；
于是有.
变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
【解析】（1）对两边取自然对数，得(1),
对两边取自然对数，得
即，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ，则 ,
所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要证，即证明等价于
令 ，则只要证明 即可，
由 知， ，故等价于证
设 则 ，即 在 单调递增，
故 ，即 .
设则 ，即在单调递增，
故，即 。
由上可知成立，则.
变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）函数在R上单调递增，则在区间上的值域为，
显然有，
所以函数为区间上的“倍缩函数”.
（2）因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，
因此函数是定义域上的增函数，
因为函数为上的“倍缩函数”，则函数在上的值域为，
于是得，即是方程的两个不等实根，
则方程有两个不等实根，
令，则关于的一元二次方程有两个不等的正实根，
因此，解得，当时，函数恒有意义，
所以实数的取值范围是.
（3）常数，函数的定义域为，并且，
假定存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，
则函数在区间上的值域为，由，及知，
因为函数在上单调递增，即，
若，即，则函数在区间上的值域中有数0，矛盾，
若，即，当时，在上单调递减，
有，即，整理得，显然无解，
若，即，当时，在上单调递增，
有，即是方程的两个不等实根且，
而方程，于是得方程在上有两个不等实根，
从而，解得，而，即有，
解方程得：，
所以当时，存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”， ，
当时，不存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
（2）要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．
即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故
上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1），.
若，则时，时，
所以在定义域内先减后增，无最大值.
若，则，最大值为0，但不满足.
若，令，得.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
所以x=1时取得最大值，最大值为.
，.
若，则时，时，
所以在定义域内先减后增，无最大值.
若，则，最大值为0，但不满足.
若，令，得.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以时取得最大值，最大值为.
综上，，解得.
（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点1.
它们的大致图像如图所示，设曲线与在上交于点A，
当直线经过点A时，直线与曲线还有另一个交点B，
设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，
则，则，故①，同理得②，
由①②知，与是直线与曲线交点的横坐标，故C是存在的.
因为且，所以，又，
所以，，从而有，故结论成立.
变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1）
当时，显然无最小值，舍去.
当时，令在上单调递增；上单调递减；
，
，易知m>0令
当时，单调递增；当时，单调递减；
.
（2）在单调递增；上单调递减；；
在上单调递增；上单调递减；
.
当时，；当时，在上单调递减；
,
在上有唯一的零点
当时，无零点.
综上，存在唯一的使，
即与有唯一的交点，
令，构造，
显然与单调性相同，且在上有一个零点，另一个零点为，
构造与单调性相同，
且，
一个零点为，另一个零点.
故存在直线与和共有三个不同的交点，.
且由，而有在单调递增；
且由，而，由在上单调递减；，，
由，
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ; .
【解析】解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，
所以，当时，，时，
（2），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由于，
当且仅当等号成立，所以．
（3），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，
所以，当且仅当等号成立，
所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，当且仅当等号成立，所以．
（6），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（7），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（8），由于，两者都是当且仅当等号成立，所以，则，所以．
（9），当且仅当，即时等号成立．由有解，
，，易知在上递增，在递减，
所以
故答案为:；；；；；；；；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
【答案】
【解析】可变为，
再变形可得，，设，原不等式等价于
，因为，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，而，，
当时，，所以由可得，，
因为，所以．
设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．
当时，不等式在恒成立；
当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．
故答案为：．
变式10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，
即为，
设，，，
令，可得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得和有且只有一个交点，
设为，当时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极小值，且为最小值．
即有，令，
可得，．
则当时，不等式恒成立．
则的最小值为．
另解1：由于与互为反函数，
故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，
此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，
即可得的最小值为．
另解2：不等式恒成立，即为，
即有，可令，可得在递增，
由选项可得，所以，若，则，
所以，即有，
由的导数为，当时，递减．时，递增，
可得时，取得最大值．则，
的最小值为．
故选：．
变式11．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：因为对任意的，，不等式恒成立，
所以，
即，
令，，
则，
故在上单调递增，
由题意得，
所以，即对任意的，恒成立，
故只需，
易得在，上单调递增，
故（e），
所以．
故选：．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，由，可得，
不等式两边同时除以可得，
即，
令，，其中，，
所以，函数在上为增函数，且，由，可得，
所以，对任意的，，即，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，解得.
故选：B.
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
，解得，
当时，，单调递增；
当时，单调递减；
所以，无极小值.
（2）若选①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
即，
令，，则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，的最大值为，故，即.
故当时，恒成立.
若选择②：由关于的方程有两个实根，
得有两个实根，
整理得，
即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，
所以，即，
令，，
则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，
的最大值为，又因为
所以要想有两个根，只需要，
即，所以的取值范围为.
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
即，所以，，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，
令，所以，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
故选：B.
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，
则．
于是．所以．
构造函数，
易知当时，单调递增．所以，．
于是，
令，则．在上单调递减，
在单调递增．所以，即．
故选：A
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，所以，..
，，则，
又因为，所以，
令，则，
，当时，，递增，
所以，则，
，，
所以在区间递减；在区间递增，
所以的最小值为，即B选项正确.
故选：B
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
由，得，
当时，由，得，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
故选：A
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
【答案】C
【解析】，，
令，，则，
令，解得：，
当时，，当时，，
故在上递增，在，上递减，
则的最大值是，
令，，则，
当时，此题无解，故，
则时，，当，，当，解得：，
故在递减，在，递增，
则的最小值是，
若成立，只需，
即，即，
两边取对数可得：，，
故的最大正整数为5，
故选：C．
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，利用导数证明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合适的选项.设，该函数的定义域为，则.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
所以，，即，
令，则函数在上为增函数，且，，
所以，存在使得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，又，
所以，存在使得.
，
当且仅当时，等号成立；
，
当且仅当时，等号成立.
所以，，即．
故选：B.
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
例15．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【解析】（1）解：函数的定义域为，，
令，即，△，解得或，
若，此时△，在恒成立，
所以在单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增．
综上所述：若，在单调递增；
若，在，上单调递增，
在上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
，令，则，递减，
故，，递减，
又，故，原结论成立．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
【解析】（1）解：函数定义域为，则，
故在，递增，
当时，，没有零点；
当时，单调递增，，（1），
由函数零点存在定理得在区间，内有唯一零点，
综上可得，函数只有一个零点．
（2）证明：法一：要证，
即证，
令，定义域为，
则，
由（1）知，在区间，内有唯一零点，设其为，
则①，因，且在区间上单调递增，
所以当时，，，单调递减，
当，时，，，单调递增；
所以，
由式①可得，，
所以，
又时，恒成立，
所以，得证．
法二：问题转化为证明，
令，易知，（当且仅当时“”成立）
又，则，
故（当且仅当时“”成立）．
变式17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上递减，在上递增．
（2）解：函数在处取得极值，
，
，
令，则，
由得，，由得，，
在，上递减，在，上递增，
，即．
（3）证明：，即证，
令，
则只要证明在上单调递增，
又，
显然函数在上单调递增．
，即，
在上单调递增，即，
当时，有．
变式18．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
【解析】解：（1）的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，
令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，
令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则．
，，，，
则，从而在，上单调递减，
，即．
（3）证明：方法一：当时，．
由（1）知，（1），，即．
当时，，，则，
即，又，
，
即．
方法二：当时，要证，
只需证
即证，
令，易证，
故，
所以当时，．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
+
0
-
极大值
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：不等式同构
例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
变式10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
变式11．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
例15．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
变式17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
变式18．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
重难点突破11 导数中的同构问题
目录
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
3、常见的指数放缩：
4、常见的对数放缩：
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且时，有
（2） 当 且时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7）；
（8）；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘同构，如；
（2）加法同构，即加同构，如，
（3）两种构法的区别：
= 1 \* GB3 ①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；
= 2 \* GB3 ②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；
题型一：不等式同构
例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.
故选：A.
例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知．且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，即在上单调递减，
∴，即，
设，则，
即在上单调递增，
又∵，∴.
故选：.
例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，
，
，
因为，所以，即，
而a，b，，所以，
故选：C
变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
构造函数，其导函数，
令，解得：，列表得：
所以在上单增.
因为，所以，即
故选:D.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以函数单调递增，
又，所以，
所以，
对于A，当，时，，，此时，故A错误；
对于B，由指数函数的单调性可得，故B错误；
对于C，当，时，，，此时，故C错误；
对于D，令，则，所以函数单调递增，所以即，故D正确.
故选：D.
题型二：同构变形
例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【解析】(1)显然，则，.
(2)显然，则，.
(3)显然，则，.
(4)显然，则
，.
(5)，.
(6)，，.
(7)，.
(8)，.
题型三：零点同构
例5．（2023·全国·高三专题练习）设，满足，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【解析】可化为：.
记，定义域为R.
因为，所以在R上单调递增.
又，
所以为奇函数.
所以由可得：，所以2.
故选：B
例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为（ ）
A．B．eC．D．1
【答案】A
【解析】对两边取自然对数，得①，
对两边取自然对数，得，
即②，
因为方程①②为两个同构方程，所以，解得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以方程的解只有一个，
所以，所以．
故选：A
例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1），
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有.
（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：
由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
；
于是有.
变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
【解析】（1）对两边取自然对数，得(1),
对两边取自然对数，得
即，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ，则 ,
所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要证，即证明等价于
令 ，则只要证明 即可，
由 知， ，故等价于证
设 则 ，即 在 单调递增，
故 ，即 .
设则 ，即在单调递增，
故，即 。
由上可知成立，则.
变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.
(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；
(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）函数在R上单调递增，则在区间上的值域为，
显然有，
所以函数为区间上的“倍缩函数”.
（2）因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，
因此函数是定义域上的增函数，
因为函数为上的“倍缩函数”，则函数在上的值域为，
于是得，即是方程的两个不等实根，
则方程有两个不等实根，
令，则关于的一元二次方程有两个不等的正实根，
因此，解得，当时，函数恒有意义，
所以实数的取值范围是.
（3）常数，函数的定义域为，并且，
假定存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，
则函数在区间上的值域为，由，及知，
因为函数在上单调递增，即，
若，即，则函数在区间上的值域中有数0，矛盾，
若，即，当时，在上单调递减，
有，即，整理得，显然无解，
若，即，当时，在上单调递增，
有，即是方程的两个不等实根且，
而方程，于是得方程在上有两个不等实根，
从而，解得，而，即有，
解方程得：，
所以当时，存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”， ，
当时，不存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
（2）要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．
即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）[方法一]：
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故
上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数和有相同的最大值，并且.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1），.
若，则时，时，
所以在定义域内先减后增，无最大值.
若，则，最大值为0，但不满足.
若，令，得.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
所以x=1时取得最大值，最大值为.
，.
若，则时，时，
所以在定义域内先减后增，无最大值.
若，则，最大值为0，但不满足.
若，令，得.
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以时取得最大值，最大值为.
综上，，解得.
（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点1.
它们的大致图像如图所示，设曲线与在上交于点A，
当直线经过点A时，直线与曲线还有另一个交点B，
设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，
则，则，故①，同理得②，
由①②知，与是直线与曲线交点的横坐标，故C是存在的.
因为且，所以，又，
所以，，从而有，故结论成立.
变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求实数的值；
(2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1）
当时，显然无最小值，舍去.
当时，令在上单调递增；上单调递减；
，
，易知m>0令
当时，单调递增；当时，单调递减；
.
（2）在单调递增；上单调递减；；
在上单调递增；上单调递减；
.
当时，；当时，在上单调递减；
,
在上有唯一的零点
当时，无零点.
综上，存在唯一的使，
即与有唯一的交点，
令，构造，
显然与单调性相同，且在上有一个零点，另一个零点为，
构造与单调性相同，
且，
一个零点为，另一个零点.
故存在直线与和共有三个不同的交点，.
且由，而有在单调递增；
且由，而，由在上单调递减；，，
由，
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ; .
【解析】解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，
所以，当时，，时，
（2），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由于，
当且仅当等号成立，所以．
（3），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，
所以，当且仅当等号成立，
所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，当且仅当等号成立，所以．
（6），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（7），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（8），由于，两者都是当且仅当等号成立，所以，则，所以．
（9），当且仅当，即时等号成立．由有解，
，，易知在上递增，在递减，
所以
故答案为:；；；；；；；；
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________.
【答案】
【解析】可变为，
再变形可得，，设，原不等式等价于
，因为，所以函数在上单调递减，在
上单调递增，而，，
当时，，所以由可得，，
因为，所以．
设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即．
当时，不等式在恒成立；
当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．
故答案为：．
变式10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，
即为，
设，，，
令，可得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得和有且只有一个交点，
设为，当时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极小值，且为最小值．
即有，令，
可得，．
则当时，不等式恒成立．
则的最小值为．
另解1：由于与互为反函数，
故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，
此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，
即可得的最小值为．
另解2：不等式恒成立，即为，
即有，可令，可得在递增，
由选项可得，所以，若，则，
所以，即有，
由的导数为，当时，递减．时，递增，
可得时，取得最大值．则，
的最小值为．
故选：．
变式11．设实数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：因为对任意的，，不等式恒成立，
所以，
即，
令，，
则，
故在上单调递增，
由题意得，
所以，即对任意的，恒成立，
故只需，
易得在，上单调递增，
故（e），
所以．
故选：．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，由，可得，
不等式两边同时除以可得，
即，
令，，其中，，
所以，函数在上为增函数，且，由，可得，
所以，对任意的，，即，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，解得.
故选：B.
变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
，解得，
当时，，单调递增；
当时，单调递减；
所以，无极小值.
（2）若选①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
即，
令，，则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，的最大值为，故，即.
故当时，恒成立.
若选择②：由关于的方程有两个实根，
得有两个实根，
整理得，
即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，
所以，即，
令，，
则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，
的最大值为，又因为
所以要想有两个根，只需要，
即，所以的取值范围为.
题型五：利用同构求最值
例11．（2023·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
即，所以，，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
由可得，所以，
令，所以，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
故选：B.
例12．（2023·全国·高二期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，
则．
于是．所以．
构造函数，
易知当时，单调递增．所以，．
于是，
令，则．在上单调递减，
在单调递增．所以，即．
故选：A
例13．（2023·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，所以，..
，，则，
又因为，所以，
令，则，
，当时，，递增，
所以，则，
，，
所以在区间递减；在区间递增，
所以的最小值为，即B选项正确.
故选：B
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
所以，
所以，
所以，
由，得，
当时，由，得，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
令，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
故选：A
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．5D．11
【答案】C
【解析】，，
令，，则，
令，解得：，
当时，，当时，，
故在上递增，在，上递减，
则的最大值是，
令，，则，
当时，此题无解，故，
则时，，当，，当，解得：，
故在递减，在，递增，
则的最小值是，
若成立，只需，
即，即，
两边取对数可得：，，
故的最大正整数为5，
故选：C．
变式16．（2023·安徽淮南·统考一模）已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，利用导数证明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合适的选项.设，该函数的定义域为，则.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
所以，，即，
令，则函数在上为增函数，且，，
所以，存在使得，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，又，
所以，存在使得.
，
当且仅当时，等号成立；
，
当且仅当时，等号成立.
所以，，即．
故选：B.
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
例15．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【解析】（1）解：函数的定义域为，，
令，即，△，解得或，
若，此时△，在恒成立，
所以在单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增．
综上所述：若，在单调递增；
若，在，上单调递增，
在上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
，令，则，递减，
故，，递减，
又，故，原结论成立．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的零点的个数；
（2）证明：．
【解析】（1）解：函数定义域为，则，
故在，递增，
当时，，没有零点；
当时，单调递增，，（1），
由函数零点存在定理得在区间，内有唯一零点，
综上可得，函数只有一个零点．
（2）证明：法一：要证，
即证，
令，定义域为，
则，
由（1）知，在区间，内有唯一零点，设其为，
则①，因，且在区间上单调递增，
所以当时，，，单调递减，
当，时，，，单调递增；
所以，
由式①可得，，
所以，
又时，恒成立，
所以，得证．
法二：问题转化为证明，
令，易知，（当且仅当时“”成立）
又，则，
故（当且仅当时“”成立）．
变式17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上递减，在上递增．
（2）解：函数在处取得极值，
，
，
令，则，
由得，，由得，，
在，上递减，在，上递增，
，即．
（3）证明：，即证，
令，
则只要证明在上单调递增，
又，
显然函数在上单调递增．
，即，
在上单调递增，即，
当时，有．
变式18．已知函数，函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（3）证明：当时，．
【解析】解：（1）的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，
令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，
令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则．
，，，，
则，从而在，上单调递减，
，即．
（3）证明：方法一：当时，．
由（1）知，（1），，即．
当时，，，则，
即，又，
，
即．
方法二：当时，要证，
只需证
即证，
令，易证，
故，
所以当时，．
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数表达式
图像
函数表达式
图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
函数极值点
+
0
-
极大值
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