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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破08证明不等式问题(十三大题型)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)重难点突破08证明不等式问题(十三大题型)(原卷版+解析)，共71页。试卷主要包含了已知函数，已知函数.，已知函数，，已知函数，已知是函数的极值点，已知函数，当，时，证明等内容，欢迎下载使用。
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
例3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．
例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
例6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．
变式1．已知函数．
（1）证明：；
（2）数列满足：，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：，．
变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．
题型三：分析法
例7．已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．
例12．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．
变式4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．
例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．
变式5．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
变式6．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
题型六：放缩法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．
变式7．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
变式8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式
题型七：虚设零点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．
变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
题型八：同构法
例22．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
例23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
例24．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
变式11．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．
例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：
例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.
变式13．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
例30．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
例33．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.
例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.
变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
题型十三：三角函数
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．
例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
例39．已知函数在，（1）处的切线为．
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：．
重难点突破08 证明不等式问题
目录
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）
【解析】（1）由题意得，，所以切线斜率，
所以，即，此时切线方程为；
（2）令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
所以，即恒成立，
所以当时，．
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【解析】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
例3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．
【解析】解：（1），
因，，
①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
②当时，，函数在内单调递增；
③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
函数在内的最小值为，
欲证不等式成立，即证，即证，
因，所以只需证，
令，则，
所以，函数在，内单调递减，（1），
又因，即．所以，
即当时，成立，
综上，当时，，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．
【解析】（1）证明：令，则，
所以在上单调递减，所以，即．
令，则有，
所以，所以，即．
（2）由可得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，．
令，则有，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
所以对于，有，
所以，所以，
即，
整理得：．
例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
【解析】（Ⅰ）解：，，
依题意（1）（1），；
（Ⅱ）证明：由，得，
令，则，
时，，递减；
时，，递增．
时，（1），即，
综上所述，时，．
例6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．
【解析】（1）解：，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：直线是函数图象的切线，设切点为，，
则，即，
切点在切线上，，
，
，解得，
当时，等价于，
等价于，
设，
则，
，，由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
（1），即，
．
变式1．已知函数．
（1）证明：；
（2）数列满足：，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：，．
【解析】证明：（1）由题意知，，，
①当时，，
所以 在区间上单调递减，
②当时，令，因为，
所以 在区间上单调递增，因此，
故当时，，
所以 在区间 上单调递增，
因此当 时，，
所以；
（2）（ⅰ）由（1）知，在区间 上单调递增，，
因为，
故，
所以，
因此当 时，，又因为，
所以，
（ⅱ）函数，，则，
令，则，
所以 在区间 上单调递增；
因此，
所以 在区间 上单调递减，所以，
因此，
所以对，．
变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．
【解析】解：，，
当时，或，
在和上单调递增，
证明：时，
．
题型三：分析法
例7．已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
【解析】（1）解：由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
（2）证明：由（1）可知，，
要证，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以．
例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
【解析】（1）因为，所以，切线斜率为
因为，所以切点为
切线方程为即
（2）法一：令，所以，
所以在单调递增，，
所以，所以，
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明，即
两边同取对数得：
令，
则
显然在递增，
所以存在当时递减，
当时递增;
因为
所以在上恒成立，所以原命题成立
法二：设则，
要证：
需证：
即证：
因为，需证，即证：
①时必然成立
②时，因为所以只需证明，
令，，
令，
∴在上为增函数
因为
，所以
所以存在，使得
∴在上为减函数，在上为增函数
∴
综上可知，不等式成立
例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，
只需证，即证，
，，
，
．
变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．
【解析】（Ⅰ）解：函数，则，
①当时，恒成立，
则在上单调递增，
所以，故函数无零点，不符合题意；
②当时，由，得，
若，即，此时在上单调递增，不符合题意；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
又，故，使得，
而当时，时，
故，使得，
根据零点存在定理，，，使得，符合题意；
综上所述，实数的取值范围是；
（Ⅱ）证明：，
所以，即，
由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，
故只要证明：，
即，，
设，
则，
故在上单调递增，即（1），
所以成立；
综上所述，成立．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.
【解析】由题设有，设，，
要证即证.
下面证明：当时，.
此时，，
当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，有，，
故当时，.
当，，，
当时，要证即证即证，
设，其中，故，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，，
故，所以当时，成立.
综上，任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．
【解析】（1）（1）由得：（），
①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，
②当时，令，解得：，
当时，，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以在时，取得最大值，
又由函数在上存在最大值，
因此，解得：，
所以的取值范围为.
（2）证明：当时，，且函数的定义域为，
要证明，即证明时，，
只需要证明：时，，
因为，所以不等式等价于
设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，且当时，等号成立；
又设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，等号成立；
综上可得：时，，且等号不同时成立，
所以时，，
即当时，得证.
例12．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域是，
则，
若，则当时，，当，时，，
故是函数的极小值点，符合条件，
若，令，解得：或，
若，则当和，时，
当时，，
故是的极小值点，符合条件，
若，则恒成立，没有极值点，不符合条件，
若，则当和时，
当，时，故是的极大值点，不符合条件，
故的取值范围是，；
（Ⅱ）当时，，，
则，，，
设，，，，
由，可得（1），当且仅当时“”成立，
，
设，则在，上递减，
（1），（2），
故存在，，使得当时，，当，时，，
故在上单调递增，在，上单调递减，
由于（1），（2），故（2），当且仅当时“”成立，
故当时，（1）（2）．
变式4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．
【解析】解
当时，恒成立，故函数在上单调递增
当时，由可得或
由可得
综上可得，时，恒成立，故函数在上单调递增
当时，函数的单调递增区间为，，，单调递减区间
证明：原不等式可化为
容易得，上式两边同乘以可得
设，
则由可得（舍或
时，，时，
当时，函数取得最小值
当且仅当即时取等号
令，可得在上单调递增，且（1）
当时，有最小值
由于上面两个等号不能同时取得，故有，则原不等式成立
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．
【解析】解：（Ⅰ），；
时，；，时，；
（1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函数在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明；
设，则；
函数在上是增函数，（1）；
；
原不等式成立．
例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
【解析】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得（1），（1），
解得；
（2）证明：当时，，
即为，
即，
当时，，
即为，
设，，
可得在递增，
当时，（1），即有；
当时，（1），即有．
综上可得，当且时，都成立．
例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．
【解析】（1）解：设，于是，
所以，，
又（1），则．
所以．（5分）
（2）证明：因为对，，，
所以在，内单调递减．
于是（1）
证明，即证明，
记，
则，
所以函数在，是单调增函数，
所以（e），故命题成立．（12分）
变式5．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
（2）证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当，时，，
函数在上单减，在，上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
变式6．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数图象过点，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
题型六：放缩法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【解析】（1），当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
（2）显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
【解析】（1），
（ⅰ）当时，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法一：等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，
令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，
∴，故.
方法二：当时，，
令，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，上单调递增，
∴，即，
∴.
例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．
【解析】（1）解：由，得．
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，解得，由，解得，
故在，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：．
令，则．
当时，．
令，则当时，．
当时，单调递增，．
当时，；当时，；当时，．
（1）．
即，故．
变式7．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
【解析】解：（1），
当，即时，，函数在上单调递增
当，即时，
由解得，由解得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令
当时，欲证，即证．即证，即，
即证
先证：．
设则设，
在上单调递减，在，上单调递增
，，则，
即，当且仅当，时取等号．
再证：．
设，则．
在上单调递增，则，即．
，所以．．当且仅当时取等号．
又与．两个不等式的等号不能同时取到，
成立，
即当时，成立．
变式8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式
【解析】解：（1）函数．定义域为：．
，（1）．
令，，
函数在定义域上单调递增．
，．，函数单调递减．时，，函数单调递增．
（2）不等式，即．
，，舍去．
当时，不等式的左边右边，舍去．
，且．
①时，由，要证不等式．可以证明：．等价于证明：．
令．
，
函数在上单调递减，
（1）．
②当时，不等式．
令，．
，函数在上单调递增，
（1）．
由，
．
不等式成立．
综上可得：不等式的解集为：．
题型七：虚设零点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【解析】（1）由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）函数，定义域为，
，在上单调递增，
若在区间上有极小值，则有，解得.
故实数的取值范围为.
（2），即，由，可化简得，
要证，即证.
设，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
时，时，
则，，此时，
则时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即.
设，
，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即
故，即有.
所以，即.
例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．
【解析】（1），由题意知，则，即，
由，知，即．
（2）由（1）得，设，
则．
设，则在上单调递增，
且，所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递减；当时，单调递增．
．
设，则，
当时，单调递减，所以，所以，
故当时，．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．
【解析】记．
．
令，
则，所以即在上单调递增．
由，知．
．即，
当单调递减；当单调递增．
故在处取得极小值，也是最小值，
，
由（*）式，可得．
代入式，得．
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在单调递减，
故，即，
故．．
由．
故，即，原不等式得证．
变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）函数的定义域为，.
令函数，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，即恒成立，
故的单调递增区间是和.
（2）当时，，即当时，.
令，，
令，，
令，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，，
所以存在，使得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
，故当时，；当时，，
即当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
于是，所以.
令函数，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
则.
因为，所以，故，
得.
综上所述：当时，.
题型八：同构法
例22．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
例23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【解析】（1）解：函数的定义域为，，
令，即，△，解得或，
若，此时△，在恒成立，
所以在单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增．
综上所述：若，在单调递增；
若，在，上单调递增，
在上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
，令，则，递减，
故，，递减，
又，故，原结论成立．
例24．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上递减，在上递增．
（2）解：函数在处取得极值，
，
，
令，则，
由得，，由得，，
在，上递减，在，上递增，
，即．
（3）证明：，即证，
令，
则只要证明在上单调递增，
又，
显然函数在上单调递增．
，即，
在上单调递增，即，
当时，有．
变式11．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式．
【解析】解：（1）．
当时，，从而，函数在单调递减；
当时，若，则，从而，
若，则，从而，
函数在单调递减，在单调递增． （4分）
（2）根据（1）函数的极值点是，若，则，
，即，
，即，
令，则，
得：是函数在内的唯一极小值点，也是最小值点，
故，
故；
（3）由即，
构造函数，则，，，
即在递增，
，
，
．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．
【解析】设，则，
，
代入的二阶泰勒公式，有，
．
所以原题得证．
例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：
【解析】证明：设，则在处带有拉格朗日余项．
三阶泰勒公式
例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
【解析】（1）由，得
，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以
（2）证明：当时，恒成立，
令，
即，
则
，
……
，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
……
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
综上对任意的，，都有.
变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.
【解析】（1）因为，所以函数定义域为，.
因为，且，所以是函数的极小值点，则，所以，得.
当时，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件，故.
（2）由（1）可得，.令，则，所以，即，，
所以.证毕.
变式13．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解析】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．
（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，．
（3）令，则，
，在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②由（2）知：当时，，
，
令，则，
在上单调递减，，即当时，，
，；
综上所述：．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
【解析】（1）由已知可得，，设，
则．
当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；
当时，由可得，．
由可得，，所以，即在上单调递减；
由可得，，所以，即在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，所以对，有．
设，则．
解可得，或或．
由可得，，所以，函数在上单调递增；
由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
又，所以，即．
所以，有，
整理可得，，
所以，有，恒成立．
例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
【解析】（1），，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．
（2）证明：要证，即证，
即证．
令，，则，
所以在区间单调递增，所以时，，
即时，．
令，，则在时恒成立，
所以，且时，单调递增，
因为时，，，且，
所以，且时，，即．
所以，且时，．
例30．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）解：设，，
，
在，上为减函数，又（e），
当时，；当时，．
，，
在，上为增函数，又（1），
，时，，
在，上为增函数，
（1）．
①当时，，
设，
则，
在，上为减函数，
（1），
当，
，
，
比更接近．
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
（e），
在时为减函数，
（e），
，
比更接近．
综上：在且时时，比更接近．
变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
【解析】解：（1）当时，，
则，
，
故
则在上单调递减．
（2）当时，，
要证明对任意的，，．
则只需要证明对任意的，，．
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
【解答】解：（1），，，
故曲线在原点处的切线方程为．
（2）①当时，；
②当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递增，且（1）
在递减，在递增．
在的最小值为（1）；
③当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递减，且时，．
，
综上所述：．
（3）依（2）得时，，
曲线在原点处的切线方程为
设，
，，
令，解得，或．
在，递增，在递减．
，时，，递增，而，
当时，，
设，分别与，交点的横坐标为，，
，．
则，，（证毕）
例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
，
（1），
曲线在点处的切线方程为即，
，；
（2）证明：令，
则，
令，则，
单调递增，又（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
，
（3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设，
由题知，曲线在处的切线方程为，
令，即即的根为，则，
由（2）知，
，
单调递增，
，
设曲线在处的切线方程为，
，
，
设方程即的根为，则，
令，
由（2）同理可得，即，
，
又单调递减，
，
．
例33．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
【解答】解：（1），则，又，
切线方程为，即；
（2）证明：先证明，
令，则，
易知函数在上递减，在，上递增，
则，即，
再证明，令，则，
易知函数在上递减，在上递增，
则（1），即，
如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，
由，得，当且仅当时等号成立，
由，得，当且仅当时等号成立，
，即得证．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.
【解析】（1）由，得.
令，则.
注意到，所以是函数的极小值点，则，
所以，得.
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件，故.
（2）由（1）可得，.
令，则，
所以，即.
令，则，且不恒为零，
所以函数在上单调递增，
故，则，
所以，
令分别取，累加得：
.
即证.
例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
【解析】（1）函数，求导得，
由于函数在R上单调递增，则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，不满足条件；
当时，，在R上单调递增，
又，即，不满足条件；
当时，令，得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
于是当时，取得最小值，
于是，即，
令，则，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
则，由于恒成立，因此，则有，
所以单调递增时，的值为1.
（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，
因此当且时，
，
而当时，，
所以，
则，所以，.
例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
【解析】（1）由题意，，
，
，
令，解得，
又时，时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
，即的最小值为0.
（2）证明：由（1）得，，
可知，当且仅当时等号成立，
令，则.
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.
【解析】（1）因为，
则，
当时，，时，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，无极大值.
（2）由（1）知在上单调递增，
故时，
即：，令得，
化简得：，
于是有：，，，
累加得：
即
变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），可得.
令，其中，则.
①当时，，合乎题意；
②当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以，不恒成立，不合乎题意；
③当时，，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）当时，，所以.
由（1）知：，即，所以.
令，得，即，所以.
当时，，则，显然，结论成立；
当时，
，
结论成立.因此，当时，成立.
题型十三：三角函数
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．
【解析】证明：要证，即证，只需证，
因为，也就是要证，令，
因为，所以，
所以在上为减函数，
所以，所以得证．
例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）由函数，可得，
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值；
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
综上可得，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，所以在单调递增，
所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，
只需证明：，即，
即，即，
令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.
例39．已知函数在，（1）处的切线为．
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：．
【解析】解：（1），
故（1），得，又（1），
所以，得．
则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
（2）证明：令，，，递增，
所以，所以当时，，
令，，，递增，
，所以当时，，
要证，由，，及，
得，，故原不等式成立，
只需证，
即证．由（1）可得，且，
所以，则原不等式成立．x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
单调递减
单调递增
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
例3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．
例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
例6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．
变式1．已知函数．
（1）证明：；
（2）数列满足：，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：，．
变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．
题型三：分析法
例7．已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．
例12．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．
变式4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．
例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．
变式5．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
变式6．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
题型六：放缩法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．
变式7．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
变式8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式
题型七：虚设零点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．
变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
题型八：同构法
例22．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
例23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
例24．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
变式11．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．
例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：
例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.
变式13．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
例30．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
例33．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.
例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.
变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
题型十三：三角函数
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．
例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
例39．已知函数在，（1）处的切线为．
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：．
重难点突破08 证明不等式问题
目录
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；
(2)求证：当时，．（其中）
【解析】（1）由题意得，，所以切线斜率，
所以，即，此时切线方程为；
（2）令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
所以，即恒成立，
所以当时，．
例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【解析】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
例3．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．
【解析】解：（1），
因，，
①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
②当时，，函数在内单调递增；
③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
函数在内的最小值为，
欲证不等式成立，即证，即证，
因，所以只需证，
令，则，
所以，函数在，内单调递减，（1），
又因，即．所以，
即当时，成立，
综上，当时，，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)讨论的单调性，并证明：当时，．
【解析】（1）证明：令，则，
所以在上单调递减，所以，即．
令，则有，
所以，所以，即．
（2）由可得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，．
令，则有，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
所以对于，有，
所以，所以，
即，
整理得：．
例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
【解析】（Ⅰ）解：，，
依题意（1）（1），；
（Ⅱ）证明：由，得，
令，则，
时，，递减；
时，，递增．
时，（1），即，
综上所述，时，．
例6．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．
【解析】（1）解：，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：直线是函数图象的切线，设切点为，，
则，即，
切点在切线上，，
，
，解得，
当时，等价于，
等价于，
设，
则，
，，由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
（1），即，
．
变式1．已知函数．
（1）证明：；
（2）数列满足：，．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：，．
【解析】证明：（1）由题意知，，，
①当时，，
所以 在区间上单调递减，
②当时，令，因为，
所以 在区间上单调递增，因此，
故当时，，
所以 在区间 上单调递增，
因此当 时，，
所以；
（2）（ⅰ）由（1）知，在区间 上单调递增，，
因为，
故，
所以，
因此当 时，，又因为，
所以，
（ⅱ）函数，，则，
令，则，
所以 在区间 上单调递增；
因此，
所以 在区间 上单调递减，所以，
因此，
所以对，．
变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．
【解析】解：，，
当时，或，
在和上单调递增，
证明：时，
．
题型三：分析法
例7．已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
【解析】（1）解：由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
（2）证明：由（1）可知，，
要证，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以．
例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
【解析】（1）因为，所以，切线斜率为
因为，所以切点为
切线方程为即
（2）法一：令，所以，
所以在单调递增，，
所以，所以，
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明，即
两边同取对数得：
令，
则
显然在递增，
所以存在当时递减，
当时递增;
因为
所以在上恒成立，所以原命题成立
法二：设则，
要证：
需证：
即证：
因为，需证，即证：
①时必然成立
②时，因为所以只需证明，
令，，
令，
∴在上为增函数
因为
，所以
所以存在，使得
∴在上为减函数，在上为增函数
∴
综上可知，不等式成立
例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解析】证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，
只需证，即证，
，，
，
．
变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．
【解析】（Ⅰ）解：函数，则，
①当时，恒成立，
则在上单调递增，
所以，故函数无零点，不符合题意；
②当时，由，得，
若，即，此时在上单调递增，不符合题意；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
又，故，使得，
而当时，时，
故，使得，
根据零点存在定理，，，使得，符合题意；
综上所述，实数的取值范围是；
（Ⅱ）证明：，
所以，即，
由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，
故只要证明：，
即，，
设，
则，
故在上单调递增，即（1），
所以成立；
综上所述，成立．
题型四：凹凸反转、拆分函数
例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.
【解析】由题设有，设，，
要证即证.
下面证明：当时，.
此时，，
当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，有，，
故当时，.
当，，，
当时，要证即证即证，
设，其中，故，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，，
故，所以当时，成立.
综上，任意的，都有恒成立.
例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．
【解析】（1）（1）由得：（），
①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，
②当时，令，解得：，
当时，，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以在时，取得最大值，
又由函数在上存在最大值，
因此，解得：，
所以的取值范围为.
（2）证明：当时，，且函数的定义域为，
要证明，即证明时，，
只需要证明：时，，
因为，所以不等式等价于
设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，且当时，等号成立；
又设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，等号成立；
综上可得：时，，且等号不同时成立，
所以时，，
即当时，得证.
例12．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域是，
则，
若，则当时，，当，时，，
故是函数的极小值点，符合条件，
若，令，解得：或，
若，则当和，时，
当时，，
故是的极小值点，符合条件，
若，则恒成立，没有极值点，不符合条件，
若，则当和时，
当，时，故是的极大值点，不符合条件，
故的取值范围是，；
（Ⅱ）当时，，，
则，，，
设，，，，
由，可得（1），当且仅当时“”成立，
，
设，则在，上递减，
（1），（2），
故存在，，使得当时，，当，时，，
故在上单调递增，在，上单调递减，
由于（1），（2），故（2），当且仅当时“”成立，
故当时，（1）（2）．
变式4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：．
【解析】解
当时，恒成立，故函数在上单调递增
当时，由可得或
由可得
综上可得，时，恒成立，故函数在上单调递增
当时，函数的单调递增区间为，，，单调递减区间
证明：原不等式可化为
容易得，上式两边同乘以可得
设，
则由可得（舍或
时，，时，
当时，函数取得最小值
当且仅当即时取等号
令，可得在上单调递增，且（1）
当时，有最小值
由于上面两个等号不能同时取得，故有，则原不等式成立
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．
【解析】解：（Ⅰ），；
时，；，时，；
（1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函数在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明；
设，则；
函数在上是增函数，（1）；
；
原不等式成立．
例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
【解析】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得（1），（1），
解得；
（2）证明：当时，，
即为，
即，
当时，，
即为，
设，，
可得在递增，
当时，（1），即有；
当时，（1），即有．
综上可得，当且时，都成立．
例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．
（1）求的表达式；
（2）设，．证明：对任意，，，恒有．
【解析】（1）解：设，于是，
所以，，
又（1），则．
所以．（5分）
（2）证明：因为对，，，
所以在，内单调递减．
于是（1）
证明，即证明，
记，
则，
所以函数在，是单调增函数，
所以（e），故命题成立．（12分）
变式5．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
（2）证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当，时，，
函数在上单减，在，上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
变式6．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数图象过点，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
题型六：放缩法
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【解析】（1），当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
（2）显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
【解析】（1），
（ⅰ）当时，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法一：等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，
令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，
∴，故.
方法二：当时，，
令，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，上单调递增，
∴，即，
∴.
例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．
【解析】（1）解：由，得．
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，解得，由，解得，
故在，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：．
令，则．
当时，．
令，则当时，．
当时，单调递增，．
当时，；当时，；当时，．
（1）．
即，故．
变式7．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
【解析】解：（1），
当，即时，，函数在上单调递增
当，即时，
由解得，由解得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令
当时，欲证，即证．即证，即，
即证
先证：．
设则设，
在上单调递减，在，上单调递增
，，则，
即，当且仅当，时取等号．
再证：．
设，则．
在上单调递增，则，即．
，所以．．当且仅当时取等号．
又与．两个不等式的等号不能同时取到，
成立，
即当时，成立．
变式8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式
【解析】解：（1）函数．定义域为：．
，（1）．
令，，
函数在定义域上单调递增．
，．，函数单调递减．时，，函数单调递增．
（2）不等式，即．
，，舍去．
当时，不等式的左边右边，舍去．
，且．
①时，由，要证不等式．可以证明：．等价于证明：．
令．
，
函数在上单调递减，
（1）．
②当时，不等式．
令，．
，函数在上单调递增，
（1）．
由，
．
不等式成立．
综上可得：不等式的解集为：．
题型七：虚设零点
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【解析】（1）由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）函数，定义域为，
，在上单调递增，
若在区间上有极小值，则有，解得.
故实数的取值范围为.
（2），即，由，可化简得，
要证，即证.
设，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
时，时，
则，，此时，
则时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即.
设，
，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即
故，即有.
所以，即.
例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：．
【解析】（1），由题意知，则，即，
由，知，即．
（2）由（1）得，设，
则．
设，则在上单调递增，
且，所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递减；当时，单调递增．
．
设，则，
当时，单调递减，所以，所以，
故当时，．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．
【解析】记．
．
令，
则，所以即在上单调递增．
由，知．
．即，
当单调递减；当单调递增．
故在处取得极小值，也是最小值，
，
由（*）式，可得．
代入式，得．
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在单调递减，
故，即，
故．．
由．
故，即，原不等式得证．
变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）函数的定义域为，.
令函数，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，即恒成立，
故的单调递增区间是和.
（2）当时，，即当时，.
令，，
令，，
令，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，，
所以存在，使得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
，故当时，；当时，，
即当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
于是，所以.
令函数，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
则.
因为，所以，故，
得.
综上所述：当时，.
题型八：同构法
例22．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
例23．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【解析】（1）解：函数的定义域为，，
令，即，△，解得或，
若，此时△，在恒成立，
所以在单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增．
综上所述：若，在单调递增；
若，在，上单调递增，
在上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
，令，则，递减，
故，，递减，
又，故，原结论成立．
例24．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上递减，在上递增．
（2）解：函数在处取得极值，
，
，
令，则，
由得，，由得，，
在，上递减，在，上递增，
，即．
（3）证明：，即证，
令，
则只要证明在上单调递增，
又，
显然函数在上单调递增．
，即，
在上单调递增，即，
当时，有．
变式11．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明不等式．
【解析】解：（1）．
当时，，从而，函数在单调递减；
当时，若，则，从而，
若，则，从而，
函数在单调递减，在单调递增． （4分）
（2）根据（1）函数的极值点是，若，则，
，即，
，即，
令，则，
得：是函数在内的唯一极小值点，也是最小值点，
故，
故；
（3）由即，
构造函数，则，，，
即在递增，
，
，
．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．
【解析】设，则，
，
代入的二阶泰勒公式，有，
．
所以原题得证．
例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：
【解析】证明：设，则在处带有拉格朗日余项．
三阶泰勒公式
例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
【解析】（1）由，得
，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以
（2）证明：当时，恒成立，
令，
即，
则
，
……
，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
……
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
综上对任意的，，都有.
变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数a的值；
(2)已知且，求证：.
【解析】（1）因为，所以函数定义域为，.
因为，且，所以是函数的极小值点，则，所以，得.
当时，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件，故.
（2）由（1）可得，.令，则，所以，即，，
所以.证毕.
变式13．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解析】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．
（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，．
（3）令，则，
，在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②由（2）知：当时，，
，
令，则，
在上单调递减，，即当时，，
，；
综上所述：．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
【解析】（1）由已知可得，，设，
则．
当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；
当时，由可得，．
由可得，，所以，即在上单调递减；
由可得，，所以，即在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，所以对，有．
设，则．
解可得，或或．
由可得，，所以，函数在上单调递增；
由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
又，所以，即．
所以，有，
整理可得，，
所以，有，恒成立．
例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
【解析】（1），，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．
（2）证明：要证，即证，
即证．
令，，则，
所以在区间单调递增，所以时，，
即时，．
令，，则在时恒成立，
所以，且时，单调递增，
因为时，，，且，
所以，且时，，即．
所以，且时，．
例30．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）解：设，，
，
在，上为减函数，又（e），
当时，；当时，．
，，
在，上为增函数，又（1），
，时，，
在，上为增函数，
（1）．
①当时，，
设，
则，
在，上为减函数，
（1），
当，
，
，
比更接近．
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
（e），
在时为减函数，
（e），
，
比更接近．
综上：在且时时，比更接近．
变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
【解析】解：（1）当时，，
则，
，
故
则在上单调递减．
（2）当时，，
要证明对任意的，，．
则只需要证明对任意的，，．
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例31．已知函数
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个正实数根，，求证：．
【解答】解：（1），，，
故曲线在原点处的切线方程为．
（2）①当时，；
②当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递增，且（1）
在递减，在递增．
在的最小值为（1）；
③当时，问题等价于恒成立．
设，则，
在上单调递减，且时，．
，
综上所述：．
（3）依（2）得时，，
曲线在原点处的切线方程为
设，
，，
令，解得，或．
在，递增，在递减．
，时，，递增，而，
当时，，
设，分别与，交点的横坐标为，，
，．
则，，（证毕）
例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
，
（1），
曲线在点处的切线方程为即，
，；
（2）证明：令，
则，
令，则，
单调递增，又（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
，
（3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设，
由题知，曲线在处的切线方程为，
令，即即的根为，则，
由（2）知，
，
单调递增，
，
设曲线在处的切线方程为，
，
，
设方程即的根为，则，
令，
由（2）同理可得，即，
，
又单调递减，
，
．
例33．设函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．
【解答】解：（1），则，又，
切线方程为，即；
（2）证明：先证明，
令，则，
易知函数在上递减，在，上递增，
则，即，
再证明，令，则，
易知函数在上递减，在上递增，
则（1），即，
如图，设直线与直线，相交点的横坐标分别为，，
由，得，当且仅当时等号成立，
由，得，当且仅当时等号成立，
，即得证．
题型十二：函数与数列不等式问题
例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)已知且，求证：.
【解析】（1）由，得.
令，则.
注意到，所以是函数的极小值点，则，
所以，得.
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件，故.
（2）由（1）可得，.
令，则，
所以，即.
令，则，且不恒为零，
所以函数在上单调递增，
故，则，
所以，
令分别取，累加得：
.
即证.
例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的值；
(2)证明：（且）.
【解析】（1）函数，求导得，
由于函数在R上单调递增，则恒成立，
令，则，
当时，，当时，，不满足条件；
当时，，在R上单调递增，
又，即，不满足条件；
当时，令，得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
于是当时，取得最小值，
于是，即，
令，则，
当时，，单调递增；时，，单调递减，
则，由于恒成立，因此，则有，
所以单调递增时，的值为1.
（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，
因此当且时，
，
而当时，，
所以，
则，所以，.
例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）
【解析】（1）由题意，，
，
，
令，解得，
又时，时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
，即的最小值为0.
（2）证明：由（1）得，，
可知，当且仅当时等号成立，
令，则.
，
即，
也即，
所以，
故对任意正整数，都有.
变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)对任意的，求证：.
【解析】（1）因为，
则，
当时，，时，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，无极大值.
（2）由（1）知在上单调递增，
故时，
即：，令得，
化简得：，
于是有：，，，
累加得：
即
变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），可得.
令，其中，则.
①当时，，合乎题意；
②当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以，不恒成立，不合乎题意；
③当时，，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）当时，，所以.
由（1）知：，即，所以.
令，得，即，所以.
当时，，则，显然，结论成立；
当时，
，
结论成立.因此，当时，成立.
题型十三：三角函数
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．
【解析】证明：要证，即证，只需证，
因为，也就是要证，令，
因为，所以，
所以在上为减函数，
所以，所以得证．
例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）由函数，可得，
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值；
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
综上可得，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，所以在单调递增，
所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，
只需证明：，即，
即，即，
令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.
例39．已知函数在，（1）处的切线为．
（1）求的单调区间与最小值；
（2）求证：．
【解析】解：（1），
故（1），得，又（1），
所以，得．
则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
（2）证明：令，，，递增，
所以，所以当时，，
令，，，递增，
，所以当时，，
要证，由，，及，
得，，故原不等式成立，
只需证，
即证．由（1）可得，且，
所以，则原不等式成立．x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
单调递减
单调递增
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