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新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展05极值点偏移问题与拐点偏移问题(7种考向)(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展05极值点偏移问题与拐点偏移问题(7种考向)(原卷版+解析)，共92页。学案主要包含了命题方向目录，方法技巧与总结，典型例题，过关测试等内容，欢迎下载使用。
命题方向一：极值点偏移:加法型
命题方向二：极值点偏移:减法型
命题方向三：极值点偏移:乘积型
命题方向四：极值点偏移:商型
命题方向五：极值点偏移:平方型
命题方向六：极值点偏移:混合型
命题方向七：拐点偏移问题
【方法技巧与总结】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【典型例题】
命题方向一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
命题方向二：极值点偏移:减法型
例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
命题方向三：极值点偏移:乘积型
例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
命题方向四：极值点偏移:商型
例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
命题方向五：极值点偏移:平方型
例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；
②.
命题方向六：极值点偏移:混合型
例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
例15．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
命题方向七：拐点偏移问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若正实数满足，求证：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
例18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：
【过关测试】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③B．②③④C．②④D．③④
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2023·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知有两个零点，下列说法正确的是
A．B．
C．D．有极小值且
8．（2023·四川·统考一模）设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．（多选题）（2023·北京·高三强基计划）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（多选题）（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线恒与定曲线相切，且，则（ ）
A．有一个极大值点B．
C．D．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．C．D．
14．（多选题）（2023·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选题）（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在正实数k，使得恒成立
B．函数有且只有1个零点
C．是的极小值点
D．对任意两个正实数，且，若，
16．（多选题）（2023·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
17．（多选题）（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
18．（多选题）（2023·湖北·高二期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
19．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.
①；
②；
③；
④.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
23．（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
24．（2023·四川南充·高二统考期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
28．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，试比较与的大小；
(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．
31．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．
32．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
37．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）已知有两个不同的零点、．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：（为的导函数）．
38．（2023·浙江杭州·校考三模）已知函数.其函数图像与x轴交于､.且.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：;
（3）若C在图像上，且为正三角形，记，求的值.
39．（2023·江西九江·高三阶段练习）已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【命题方向目录】
命题方向一：极值点偏移:加法型
命题方向二：极值点偏移:减法型
命题方向三：极值点偏移:乘积型
命题方向四：极值点偏移:商型
命题方向五：极值点偏移:平方型
命题方向六：极值点偏移:混合型
命题方向七：拐点偏移问题
【方法技巧与总结】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【典型例题】
命题方向一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）当时定义域为，
，
令，解得或，
当时，当或时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）①由，得.
设，
则，
由题意得函数恰好有两个零点.
（i）当，则，只有一个零点1．
（ii）当时，由得，由得，
即在上为减函数，在上为增函数，
而，，
所以在上有唯一零点，且该零点在上.
取且，
则
所以在上有唯一零点，且该零点在上，
所以，恰好有两个零点.
（iii）当时，由得或，
若，，
所以在上至多有一个零点.
若，则，
当时，，即在上单调递减．
又，所以在上至多有一个零点.
当时，在上单调递增，
在上为减函数，
又，
所以在上无零点.
若，则，
又当时，，
所以不存在零点．
在上无零点
故当时，；
当时，．
因此在上单调递增，在上单调递减．
又．
所以在无零点，在至多有一个零点．
综上，的取值范围为．
②不妨设，
由①知，，，
且，在单调递减，
所以等价于，即．
由于，
且，
所以．
设，
则，
当时，，所以.
而，故当时，．
从而，故．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
【解析】（1）方法一：当时，不等式两边同除以得：
，，
记，则，
①当即时，则，
所以在上递增，满足要求，
②当时，则在上递增，
满足要求
③当时，令得，
所以在上递减，与题设不符，舍去，
综上，的取值范围为；
方法二：化为，，
记，则
①当时，由基本不等式可知：则，当且仅当时取等，所以在上递增，
满足要求；
②当时，令得，
所以在上递减，
此时与题设不符
综上，的取值范围为；
（2）定义域为，
，
令得，由题意，是方程的两个不等实根，
记，
则，令得：，令，，
故在上递增，在上递减，
因为，又，且当时，恒成立，
所以，
则，由（1）取，则时，
，
又代入，并整理得，
，
同理，，
所以.
例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.
所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
令，则若，解得，
所以当时，，当时，，
所以，，
所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递增，
且由，，可知.
故，
从而可推得，而，
因此.
令，
则，
，
而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
命题方向二：极值点偏移:减法型
例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
【解析】（1）定义域为，，
令，解得：或，
当时，；当时，；
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
（2）由（1）知：，，．
令，，
则；
令，则；
令，则，
在上恒成立，在上单调递增，
，
在上恒成立，在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，，
对任意恒成立．
，，又，，
在上单调递增，，，即；
令，，
则；
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．又，，
在上单调递增，且，，；
由得：，，.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
【解析】（1）由可得，令，其中，
则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数，
，令可得，列表如下：
如下图所示：
当时，函数无零点；
当时，函数只有一个零点；
当时，函数有两个零点.
（2）证明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述两个等式作差得，
要证，即证，
因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则，
因为函数在上单调递增，，，，
设函数的图象在处的切线交直线于点，
函数的图象在处的切线交直线于点，
因为，所以，函数的图象在处的切线方程为，
联立可得，即点，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的，，当且仅当时等号成立，
由图可知，则，所以，，
因为，可得，
函数在处的切线方程为，
联立，解得，即点，
因为，
所以，，
构造函数，其中，则，，
当时，，此时函数单调递减，
当时， ，此时函数单调递增，则，
所以，对任意的，，当且仅当时，等号成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
命题方向三：极值点偏移:乘积型
例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
【解析】(1)设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知：；
当时，；当时，，；
要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，
；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，
，原不等式得证.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）定义域为，
，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.
当时，易知，；
由以上可知，当时，有两个不同的零点.
（2）由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.
即只需证，构造函数.
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.
【解析】(1)，
令，由，
可得在上单调递减，上单调递增，
所以，
所以在上单调递增；
(2)依题意，，相减得，
令，则有，，
欲证成立，
只需证成立，
即证成立，
即证成立，
令，只需证成立，
令，
即证时，成立
，
令，
则，
可得在内递减，在内递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以成立，故原不等式成立.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
【解析】（1）由可得，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，；
（2）要证，即证，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因为和取等的条件不同，故，即；
（3）由题知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨设，记.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以.
因为
，
所以，即.
令，，则在上单调递增.
又，
所以，即，所以.
命题方向四：极值点偏移:商型
例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
【解析】（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
命题方向五：极值点偏移:平方型
例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
【解析】（1）由題意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为是方程的两不等实根，，
即是方程的两不等实根，
令，则，即是方程的两不等实根.
令，则，所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以0，即0.
令，要证，只需证，
解法1（对称化构造）：令，
则，
令，
则，
所以在上递增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（对数均值不等式）：先证，令，
只需证，只需证，
令，
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，
所以，即，所以.
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
【解析】（1）.
当时，，所以在上单调增，无极值；
当时，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在单调递增．
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）由题（1）可知，当时才存在，满足，
不妨设，
设，则
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递减，
所以，所以，即
故，
因为，又在上单调递增，
所以，所以，
下面证明：；
因为，
所以，所以，
所以，得证.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；
②.
【解析】（1）由，化简得：，两边平方，解得：.
（2）不妨令，
①当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，为定值，不合题意；
当时，，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足，
接下来证明，令，则，当时，，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则，
综上：，证毕.
②由①可知：当时，由得：，整理得：，即；
当时，，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕.
命题方向六：极值点偏移:混合型
例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
【解析】（1）由题意得：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：.
（2）由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；
，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，
，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立.
例15．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
【解析】（1）因为，，，
设，则，
若有两个极值点，则有个变号零点．
当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
若使得有个变号零点，则，即，即，
解得，此时，，
，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，故，
由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，
设函数在、上的零点分别为、，
当或时，；当时，.
此时函数有两个极值点，合乎题意.
综上所述，.
（2）证明：欲证，即证，
由于、为的零点，
则，可得，
令，则，
解得，，
所以只需证明：，即证：，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，则，
所以，即得证，故.
命题方向七：拐点偏移问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若正实数满足，求证：.
【解析】（1），切点为.
，.
切线为：，即.
（2）
.
令， ，，
，
，，为减函数，
，，为增函数，
，所以.
即.
得：，
得到，即：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，
而，
当时，，，
为单调递增函数，
当时，成立；
当时，存在大于1的实数，使得，
当时，成立，
在区间上单调递减，
当时，；
不可能成立，
所以，即的取值范围为.
（2）证明：不妨设，
正实数、满足，
有（1）可知，，
又为单调递增函数，
所以，
又，
所以只要证明：，
设，则，
可得，
当时，成立，
在区间上单调增函数，
又，
当时，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
例18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
【解析】（1）由已知得，切点，
则切线斜率，
所以切线方程为.
（2）（ⅰ）依题意知，只要，，
因为，
，，
所以在递减，在递增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）证明：因为，定义域为，
由得，
即，
令
令，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以
即，
又因为，
所以，即.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：
【解析】试题分析：求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．
解析：（1）①时，，即 ，则在和 上单增，在上单减；②时，，，则在上单增
③时，即，则在和上单增，在上单减.
（2）由得：；
；设函数.因为，所以在区间上，单调递减，在区间上，单调递增；因而函数的最小值为.
由函数知，即，又，故.
【过关测试】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，， ，令,则 ，
所以在单调递减，在上单调递增，且，故.
令
则，所以在上单调递减，且，
， ， ，
即 ,故选项A错误；
对于B， ，
令，
则，所以在单调递增，在上单调递减，
且，故.
令
所以在上单调递减，且，
，， ，
，，即，故选项B错误；
对于C，，，
，又在单调递增，， ，故选项C错误；
对于D，由C可知，， 又在单调递减 ，
，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，则，即，
令，则，，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增,
所以，
对于，总有，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
所以对于，对于任意，在上取，
则，
所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，
当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大，
所以的大致图像如图所示：
.
对于AD，因为，，不妨设，
由图象可知，，故，故AD错误；
对于B，假设成立，取，
则，显然不满足，故B错误；
对于C，令，又，
则，
所以在上单调递增，
又，则，即，
又，则，
因为，所以，又，在上单调递增，
所以，即，故C正确.
故选：C.
3．（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③B．②③④C．②④D．③④
【答案】B
【解析】令，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
而，，故，
而，故，故①错误.
又，故，
故②正确， 此时，故④正确.
设，
则（不恒为零），
故在上为增函数，
故，必有即，
所以，即，
由的单调性可得即，故③成立.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点，
由零点存在性定理，得，，则，故A错误.
对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
如图所示，
当时，与的图象有两个交点，
，解得，故B正确；
，由A选项知，，故C错误；
由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】D
【解析】对A，，函数在单减，在单增，
是的极小值点，A错误；
对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误；
对C， ，令，则，
设，则，函数在单增，在单减，
所以，∴，
则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误；
对D，不妨设，易知，
，且，
因为函数在单增，则，
即证：，记，
所以，所以在单减，所以，
即，所以，D正确.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.对于①
当时，在上恒成立，在上单调递增,不符合.
当时，由，，解得，
，解得
在单调递减，在单调递增．在有极小值，
函数有两个零点，
，，
①不正确；
对于②
因为，
，
取，，，，，
②不正确；
对于④
函数的极小值点为
要证，只要证
因为函数在单调递减，故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数单调递增，恒成立，
即，故得到
进而得证：，.
故④正确.
对于③
因为
根据，可得到.
③不正确.
综上正确的只有一个，
故选：.
7．（2023·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知有两个零点，下列说法正确的是
A．B．
C．D．有极小值且
【答案】B
【解析】，当时，函数为单调递增函数，至多一个零点，所以
令 ，解不等式得，解不等式得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以为极小值点，且
，A错误.
所以
令 ，
则
因为
所以
，不选D
令 ，，不选C.
故选：B.
8．（2023·四川·统考一模）设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】对①，因为，
设，则有，
又由，所以在单调递增，在单调递减，
或，
所以，①正确；
对②，令，
则，所以，
即当时，
对于，则有，
即，而在上单调增减，
所以，对于同理可得，因此②正确；
对③，令，则，
则由得＞0，得，得，此时g(x)为增函数，
由得＜0，得，得，此时g(x)为减函数，
再令，
则，
则，在上为增函数，
则，
则，
即g()＜g(2)，
∵g()lnlna，
∴g()＝g()，则g()＝g()＜g(2)，
∵g(x)在上为增函数，∴2，
即2，故③正确.
故选：D.
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2023·北京·高三强基计划）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】不妨设，，
因为，故，
由可得，故，所以，，
又.
设，则，
故在为增函数，故即，
故即，故C错误，D正确.
函数的导函数为，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，且.
考虑函数，
则，
而，故，故，
所以在上为减函数，故，
所以，所以即，
而，故即，故A正确，B错误.
故选：AD.
11．（多选题）（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线恒与定曲线相切，且，则（ ）
A．有一个极大值点B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为直线恒与定曲线相切，
则曲线为坐标平面上挖去诸切线上的点后余下的所有点形成的边界（边界为虚边界），而余下的不在切线上，故无解，
设，则，
若，则，当时，无解，此时边界点为
若，则，故在上为增函数，
而当时，，时，，
故无论取何值，从而总有解.
若，则时，，，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
若，则无解，故即，
边界对应的函数为，.
若，因此时，，故此时总有解.
综上，，故C错误.
当时，，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
故有唯一的极大值点，且极大值为，故A正确.
又的图象如图所示：
当时，由可得或，即或，
有两个不同的解，故B错误.
若，则由图象可得，不妨设，
当时，，此时成立；
当时，令，其中，
则，
因为，故，故，
所以在上为减函数，故，
所以，故，
故，而，
由的单调性可得即，
综上，D成立，
故选：AD.
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由可得，令，其中，
所以，直线与曲线的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式，其中，且、均为正数.
先证明，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
接下来证明：，其中，即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，所以，，
因为，故，，B错，CD都对.
故选：ACD.
14．（多选题）（2023·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得，消去可得，A对；
对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错；
对于C选项，设，因为，则，
所以，，，
则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，故，C对；
对于D选项，，
构造函数，其中 ，则，
所以，函数在上单调递减，则 ，D对.
故选：ACD.
15．（多选题）（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在正实数k，使得恒成立
B．函数有且只有1个零点
C．是的极小值点
D．对任意两个正实数，且，若，
【答案】BCD
【解析】若恒成立，则，令，则，令，则，当时，，当时，，所以，即，所以在上递减，无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故A错误；
对于函数，其定义域为，由于，由可得，当时，，当时，，可知是的极小值点，选项C正确；
设，则，可知在上单调递减，又，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项B正确；
由是的极小值点，可知若时，，易知，则，令，则，则，则在上单调递减，，故，又在上单调递增，则，故，选项D正确，
故选：BCD．
16．（多选题）（2023·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域是，且，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，，故A正确；
对于B，令，则，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故，故函数在上单调递减，
又，，
故函数有且只有个零点，故B正确；
对于C，设，
若时，，
记，由二次函数的基本性质可知，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，
因此，不存在实数，使得恒成立，C选项错误；
对于D：设，，结合A选项可知，，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
，，则，所以，，
即，
因为函数在上单调递增，所以，，因此，，D选项正确.
故选：ABD.
17．（多选题）（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
有两个极值点，有两个变号零点，，
即，，A正确；
对于B，曲线在点处的切线斜率，
若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误；
对于C，由题意知：，即，
则，由A知：，
由二次函数性质知：，C正确；
对于D，由题意知：，即，又，
，即；
要证，只需证，即证，
即证，
设，则只需证，
令，则，
在上单调递增，，，
则，D正确.
故选：ACD．
18．（多选题）（2023·湖北·高二期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
【答案】ABD
【解析】利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数的单调性利用特殊值可判断B；转化为构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已知得出，构造函数证明不等式可判断D.对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，，
∴，
∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以，
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD.
19．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.
①；
②；
③；
④.
【答案】①②④
【解析】设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；
因为，则，由图可知，则，
所以，，①对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，③错④对.
故答案为：①②④.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
【解析】（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
【解析】（1）因为，，
所以，.
当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；
所以不合题意，故.
当时，令，得.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，解得.
所以，的值为.
（2）方法一：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，从而得.
令，则，
所以函数在上单调递增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得证.
方法二：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以，即方程有两个不同的实数根.
令，，则，.
令，得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以.
令，，
则.
所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以.
又在上单调递增，所以.即，得证.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）设切点，，
得，，所以，代入直线方程得；
（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，
则；
②，即，等价于，
令，，
，
因为，所以，故，
所以在上单调递增，故,
不妨设，故，即，
由已知，所以，
由①知，当时，单调递增，
故，所以，
所以.
23．（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）∵，∴，
令，得x＝1，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：由（1）知，不妨设，
构造函数，，
故，
故在上单调递减，，
∵，∴，
又∵，∴，即，
∵，∴，，
又∵在上单调递增，∴，即，得证．
24．（2023·四川南充·高二统考期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
【解析】（1）的定义域为，.令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；当时，只有单增区间；
（2）由题可知，，设是方程的两个不等实根，不妨设为，则，两式相减整理得到，从而得到，要证，故只需要证明，由于，转化为，即，即，令，则上述式子转化为设，则，当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，故得证，即.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【解析】（1）由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
（2）证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
【解析】（1）证明：令，
因为，
所以在上单调递增，所以，
即当时，.
（2）证明：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，
所以.
因为方程有两个不等实根，所以.
不妨设.
由（1）知，当时，；当时，.
方程可化为.
所以，整理得.①
同理由，整理得.②
由①②，得.
又因为所以.
法二：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，所以.
因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.
要证，只要证，只要证：.
因为在上单调递增，只要证：.
令，只要证，恒成立.
因为，
令，则，
故在上单调递增，，所以，
所以在上单调递减，所以，故原结论得证.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【解析】（1）当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
28．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【解析】（1）因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
（3）证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【解析】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，试比较与的大小；
(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．
【解析】（1）因为，，
当时，，且，
又当时，，即函数在上单调递减，所以．
（2）证明：先证明，其中，
即证，
令，，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
由题知，取对数有，即，
又，所以．
31．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．
【解析】（1）令，则，记
令，得
当时，，时，，时，
所以当时，取得极大值，时，取得极大值，
因为函数有三个零点与有三个交点，
所以，即 a的取值范围为.
（2）记
记
则
记
则
易知在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增
因为，记
所以
由（1）可知，
所以，即
又，所以
因为，所以
由（1）知在区间上单调递增，所以，即
所以
32．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【解析】（1）的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以
，所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点.
不妨设.
要证，只需证明，
因为在，e）单调递增且，所以只需证明
，又，只需证明
设，
，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以成立.故有.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
【解析】（1）当时，，，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为.
.
当时，由可得或.
（i）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为；
（ii）当时，，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增；
（iii）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）证明：，则，
令，则.
当时，由可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
下面证明不等式，其中，即证，
令，即证对任意的恒成立，
构造函数，其中，
则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，
当时，，所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，
则，即，故原不等式得证.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．
【解析】（1）因为，
所以．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．
当时，，即，则在上单调递减，无极值点．
当时，，因为，，，
所以，，，即，
故有2个极值点；
综上，当时，无极值点．当时，有2个极值点；
（2）证明：令，，
则．
令，
则．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，故在上单调递增，则，即，
所以在上单调递减，则．
因为，所以．
要证，只需证．
因为，，，在上是增函数，
所以只需要证，即．
由，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，故．得证．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
【解析】（1），，那么，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）令，，
则，在单调递减，单调递增，又，不妨设
先证明．只要证明，即只要证明．
因为
令，，则
在单调递减，所以．
从而必有
下面证明．
因为，，所以，
又，所以，
令，，，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
故．
综上，．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
【解析】（1），
①当时，，因为，所以无零点；
②当时，，下面考查函数图象与函数图象的公共点个数.
当二者相切时，设切点为，则，解得，即函数图象与函数图象相切.
由图可知，当时，两函数图象有且只有一个公共点，即有1个零点；当，即时，两函数图象无公共点，即无零点；当，即时，两函数图象有2个公共点，即有2个零点.
综合①②可知，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.
（2）由（1）知，当时，，即对任意，.
因为函数有2个零点，由（1）知，，所以，即.
要证，即证，只需证.
因为是函数的两个零点，所以，两式相减得，所以只需证.
不妨设，则，即证，令，即证.
令，则，所以函数在上单调递增.
所以对任意，，即成立.
故原不等式成立.
37．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）已知有两个不同的零点、．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：（为的导函数）．
【解析】（1）由题意得的定义域为，，
令，解得．
又，所以，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）（ⅰ）由题知，，
设，则．
令，则，
令，得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以函数在上单调递减，
所以，当时，，，，则．
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，即当时，.
所以，，所以，
故要使得函数有两个不同的零点，只需即可，解得，
因此当时，函数有两个不同的零点；
（ⅱ）令函数，，
则，
所以在上恒成立，因此函数在上单调递增，且．
由（1）设，则，所以，
即，即，
因为，且在上单调递减，
所以，即．
由（ⅰ）知，则，由基本不等式可得，即，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，因此．
38．（2023·浙江杭州·校考三模）已知函数.其函数图像与x轴交于､.且.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：;
（3）若C在图像上，且为正三角形，记，求的值.
【解析】（1），
若，则，函数在R上单调递增，不符合题意；
所以
令，得，
当时，，函数在递减，
当时，，函数在递增，
所以
且当时，；
当时，；
令，
解得，
所以a的取值范围是.
（2）如图所示：
先证：，
由于，，
又在上单调递增
所以欲证：
只需证：
只需证：
由于
只需证：
只需证：
构造：
∴在上单调递增，又
所以当，
于是，即
综上可得：
所以，
所以.
（3）由 ，得，
由为正三角形且C也在图像上可知：
，
即，
即，
两边同除以有，
即，
，
由于，所以于是：，
整理可得：，
所以.
39．（2023·江西九江·高三阶段练习）已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
【解析】（1），
由，且当时，，当时，，
所以在时取得极值，所以，
所以，，，函数在上递增，在上递减，，
时；时，，有两个零点，，
故，；
（2）不妨设，由题意知，
则，，
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，
也就是证明：．
记，，∴，
∴在单调递增，
∴，所以原不等式成立，故得证．
减
极小值
增
减
极小值
增
命题方向一：极值点偏移:加法型
命题方向二：极值点偏移:减法型
命题方向三：极值点偏移:乘积型
命题方向四：极值点偏移:商型
命题方向五：极值点偏移:平方型
命题方向六：极值点偏移:混合型
命题方向七：拐点偏移问题
【方法技巧与总结】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【典型例题】
命题方向一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
命题方向二：极值点偏移:减法型
例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
命题方向三：极值点偏移:乘积型
例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
命题方向四：极值点偏移:商型
例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
命题方向五：极值点偏移:平方型
例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；
②.
命题方向六：极值点偏移:混合型
例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
例15．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
命题方向七：拐点偏移问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若正实数满足，求证：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
例18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：
【过关测试】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③B．②③④C．②④D．③④
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2023·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知有两个零点，下列说法正确的是
A．B．
C．D．有极小值且
8．（2023·四川·统考一模）设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．（多选题）（2023·北京·高三强基计划）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（多选题）（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线恒与定曲线相切，且，则（ ）
A．有一个极大值点B．
C．D．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．C．D．
14．（多选题）（2023·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（多选题）（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在正实数k，使得恒成立
B．函数有且只有1个零点
C．是的极小值点
D．对任意两个正实数，且，若，
16．（多选题）（2023·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
17．（多选题）（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
18．（多选题）（2023·湖北·高二期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
19．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.
①；
②；
③；
④.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
23．（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
24．（2023·四川南充·高二统考期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
28．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，试比较与的大小；
(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．
31．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．
32．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
37．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）已知有两个不同的零点、．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：（为的导函数）．
38．（2023·浙江杭州·校考三模）已知函数.其函数图像与x轴交于､.且.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：;
（3）若C在图像上，且为正三角形，记，求的值.
39．（2023·江西九江·高三阶段练习）已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【命题方向目录】
命题方向一：极值点偏移:加法型
命题方向二：极值点偏移:减法型
命题方向三：极值点偏移:乘积型
命题方向四：极值点偏移:商型
命题方向五：极值点偏移:平方型
命题方向六：极值点偏移:混合型
命题方向七：拐点偏移问题
【方法技巧与总结】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【典型例题】
命题方向一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）当时定义域为，
，
令，解得或，
当时，当或时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（2）①由，得.
设，
则，
由题意得函数恰好有两个零点.
（i）当，则，只有一个零点1．
（ii）当时，由得，由得，
即在上为减函数，在上为增函数，
而，，
所以在上有唯一零点，且该零点在上.
取且，
则
所以在上有唯一零点，且该零点在上，
所以，恰好有两个零点.
（iii）当时，由得或，
若，，
所以在上至多有一个零点.
若，则，
当时，，即在上单调递减．
又，所以在上至多有一个零点.
当时，在上单调递增，
在上为减函数，
又，
所以在上无零点.
若，则，
又当时，，
所以不存在零点．
在上无零点
故当时，；
当时，．
因此在上单调递增，在上单调递减．
又．
所以在无零点，在至多有一个零点．
综上，的取值范围为．
②不妨设，
由①知，，，
且，在单调递减，
所以等价于，即．
由于，
且，
所以．
设，
则，
当时，，所以.
而，故当时，．
从而，故．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
【解析】（1）方法一：当时，不等式两边同除以得：
，，
记，则，
①当即时，则，
所以在上递增，满足要求，
②当时，则在上递增，
满足要求
③当时，令得，
所以在上递减，与题设不符，舍去，
综上，的取值范围为；
方法二：化为，，
记，则
①当时，由基本不等式可知：则，当且仅当时取等，所以在上递增，
满足要求；
②当时，令得，
所以在上递减，
此时与题设不符
综上，的取值范围为；
（2）定义域为，
，
令得，由题意，是方程的两个不等实根，
记，
则，令得：，令，，
故在上递增，在上递减，
因为，又，且当时，恒成立，
所以，
则，由（1）取，则时，
，
又代入，并整理得，
，
同理，，
所以.
例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
【解析】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.
所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
令，则若，解得，
所以当时，，当时，，
所以，，
所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递增，
且由，，可知.
故，
从而可推得，而，
因此.
令，
则，
，
而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
命题方向二：极值点偏移:减法型
例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．
【解析】（1）定义域为，，
令，解得：或，
当时，；当时，；
的单调递增区间为和，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
（2）由（1）知：，，．
令，，
则；
令，则；
令，则，
在上恒成立，在上单调递增，
，
在上恒成立，在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，，
对任意恒成立．
，，又，，
在上单调递增，，，即；
令，，
则；
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．又，，
在上单调递增，且，，；
由得：，，.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
【解析】（1）由可得，令，其中，
则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数，
，令可得，列表如下：
如下图所示：
当时，函数无零点；
当时，函数只有一个零点；
当时，函数有两个零点.
（2）证明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述两个等式作差得，
要证，即证，
因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则，
因为函数在上单调递增，，，，
设函数的图象在处的切线交直线于点，
函数的图象在处的切线交直线于点，
因为，所以，函数的图象在处的切线方程为，
联立可得，即点，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的，，当且仅当时等号成立，
由图可知，则，所以，，
因为，可得，
函数在处的切线方程为，
联立，解得，即点，
因为，
所以，，
构造函数，其中，则，，
当时，，此时函数单调递减，
当时， ，此时函数单调递增，则，
所以，对任意的，，当且仅当时，等号成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
命题方向三：极值点偏移:乘积型
例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.
【解析】(1)设直线与曲线相切于点，
，；
又，，即；
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，，，解得：；
，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知：；
当时，；当时，，；
要证，只需证；
在上单调递减，只需证，
又，则只需证对任意恒成立；
设，
；
设，则，
在上单调递减，，
又当时，，，
在上单调递增，，
即在时恒成立，又，
，原不等式得证.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）定义域为，
，所以在上单调递减.
，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
又，所以先保证必要条件成立，即满足题意.
当时，易知，；
由以上可知，当时，有两个不同的零点.
（2）由题意，假设，要证明，只需证明.只需证，又.
即只需证，构造函数.
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.
【解析】(1)，
令，由，
可得在上单调递减，上单调递增，
所以，
所以在上单调递增；
(2)依题意，，相减得，
令，则有，，
欲证成立，
只需证成立，
即证成立，
即证成立，
令，只需证成立，
令，
即证时，成立
，
令，
则，
可得在内递减，在内递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以成立，故原不等式成立.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
【解析】（1）由可得，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，；
（2）要证，即证，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因为和取等的条件不同，故，即；
（3）由题知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨设，记.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以.
因为
，
所以，即.
令，，则在上单调递增.
又，
所以，即，所以.
命题方向四：极值点偏移:商型
例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
【解析】（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【解析】(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
命题方向五：极值点偏移:平方型
例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；
【解析】（1）由題意得，函数的定义域为.
由得：，
当时，在上单调递增；
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为是方程的两不等实根，，
即是方程的两不等实根，
令，则，即是方程的两不等实根.
令，则，所以在上递增，在上递减，，
当时，；当时，且.
所以0，即0.
令，要证，只需证，
解法1（对称化构造）：令，
则，
令，
则，
所以在上递增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（对数均值不等式）：先证，令，
只需证，只需证，
令，
所以在上单调递减，所以.
因为，所以，
所以，即，所以.
例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
【解析】（1）.
当时，，所以在上单调增，无极值；
当时，令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在单调递增．
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）由题（1）可知，当时才存在，满足，
不妨设，
设，则
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递减，
所以，所以，即
故，
因为，又在上单调递增，
所以，所以，
下面证明：；
因为，
所以，所以，
所以，得证.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；
②.
【解析】（1）由，化简得：，两边平方，解得：.
（2）不妨令，
①当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，为定值，不合题意；
当时，，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足，
接下来证明，令，则，当时，，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则，
综上：，证毕.
②由①可知：当时，由得：，整理得：，即；
当时，，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕.
命题方向六：极值点偏移:混合型
例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
【解析】（1）由题意得：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：.
（2）由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；
，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，
，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立.
例15．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
【解析】（1）因为，，，
设，则，
若有两个极值点，则有个变号零点．
当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
若使得有个变号零点，则，即，即，
解得，此时，，
，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，故，
由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，
设函数在、上的零点分别为、，
当或时，；当时，.
此时函数有两个极值点，合乎题意.
综上所述，.
（2）证明：欲证，即证，
由于、为的零点，
则，可得，
令，则，
解得，，
所以只需证明：，即证：，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，则，
所以，即得证，故.
命题方向七：拐点偏移问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若正实数满足，求证：.
【解析】（1），切点为.
，.
切线为：，即.
（2）
.
令， ，，
，
，，为减函数，
，，为增函数，
，所以.
即.
得：，
得到，即：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．
【解析】（1）根据题意，可知的定义域为，
而，
当时，，，
为单调递增函数，
当时，成立；
当时，存在大于1的实数，使得，
当时，成立，
在区间上单调递减，
当时，；
不可能成立，
所以，即的取值范围为.
（2）证明：不妨设，
正实数、满足，
有（1）可知，，
又为单调递增函数，
所以，
又，
所以只要证明：，
设，则，
可得，
当时，成立，
在区间上单调增函数，
又，
当时，成立，即，
所以不等式成立，
所以.
例18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
【解析】（1）由已知得，切点，
则切线斜率，
所以切线方程为.
（2）（ⅰ）依题意知，只要，，
因为，
，，
所以在递减，在递增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）证明：因为，定义域为，
由得，
即，
令
令，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以
即，
又因为，
所以，即.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：
【解析】试题分析：求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．
解析：（1）①时，，即 ，则在和 上单增，在上单减；②时，，，则在上单增
③时，即，则在和上单增，在上单减.
（2）由得：；
；设函数.因为，所以在区间上，单调递减，在区间上，单调递增；因而函数的最小值为.
由函数知，即，又，故.
【过关测试】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，， ，令,则 ，
所以在单调递减，在上单调递增，且，故.
令
则，所以在上单调递减，且，
， ， ，
即 ,故选项A错误；
对于B， ，
令，
则，所以在单调递增，在上单调递减，
且，故.
令
所以在上单调递减，且，
，， ，
，，即，故选项B错误；
对于C，，，
，又在单调递增，， ，故选项C错误；
对于D，由C可知，， 又在单调递减 ，
，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以，则，即，
令，则，，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增,
所以，
对于，总有，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
所以对于，对于任意，在上取，
则，
所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，
当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大，
所以的大致图像如图所示：
.
对于AD，因为，，不妨设，
由图象可知，，故，故AD错误；
对于B，假设成立，取，
则，显然不满足，故B错误；
对于C，令，又，
则，
所以在上单调递增，
又，则，即，
又，则，
因为，所以，又，在上单调递增，
所以，即，故C正确.
故选：C.
3．（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则下列说法正确的有（ ）
①； ② ；③； ④.
A．①②③B．②③④C．②④D．③④
【答案】B
【解析】令，则，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
而，，故，
而，故，故①错误.
又，故，
故②正确， 此时，故④正确.
设，
则（不恒为零），
故在上为增函数，
故，必有即，
所以，即，
由的单调性可得即，故③成立.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点，
由零点存在性定理，得，，则，故A错误.
对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
如图所示，
当时，与的图象有两个交点，
，解得，故B正确；
，由A选项知，，故C错误；
由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】D
【解析】对A，，函数在单减，在单增，
是的极小值点，A错误；
对B，，函数在单减，至多一个零点，B错误；
对C， ，令，则，
设，则，函数在单增，在单减，
所以，∴，
则函数在单减，无最小值，且当时，，C错误；
对D，不妨设，易知，
，且，
因为函数在单增，则，
即证：，记，
所以，所以在单减，所以，
即，所以，D正确.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论.对于①
当时，在上恒成立，在上单调递增,不符合.
当时，由，，解得，
，解得
在单调递减，在单调递增．在有极小值，
函数有两个零点，
，，
①不正确；
对于②
因为，
，
取，，，，，
②不正确；
对于④
函数的极小值点为
要证，只要证
因为函数在单调递减，故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数单调递增，恒成立，
即，故得到
进而得证：，.
故④正确.
对于③
因为
根据，可得到.
③不正确.
综上正确的只有一个，
故选：.
7．（2023·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知有两个零点，下列说法正确的是
A．B．
C．D．有极小值且
【答案】B
【解析】，当时，函数为单调递增函数，至多一个零点，所以
令 ，解不等式得，解不等式得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以为极小值点，且
，A错误.
所以
令 ，
则
因为
所以
，不选D
令 ，，不选C.
故选：B.
8．（2023·四川·统考一模）设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】对①，因为，
设，则有，
又由，所以在单调递增，在单调递减，
或，
所以，①正确；
对②，令，
则，所以，
即当时，
对于，则有，
即，而在上单调增减，
所以，对于同理可得，因此②正确；
对③，令，则，
则由得＞0，得，得，此时g(x)为增函数，
由得＜0，得，得，此时g(x)为减函数，
再令，
则，
则，在上为增函数，
则，
则，
即g()＜g(2)，
∵g()lnlna，
∴g()＝g()，则g()＝g()＜g(2)，
∵g(x)在上为增函数，∴2，
即2，故③正确.
故选：D.
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）（2023·北京·高三强基计划）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】不妨设，，
因为，故，
由可得，故，所以，，
又.
设，则，
故在为增函数，故即，
故即，故C错误，D正确.
函数的导函数为，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，且.
考虑函数，
则，
而，故，故，
所以在上为减函数，故，
所以，所以即，
而，故即，故A正确，B错误.
故选：AD.
11．（多选题）（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线恒与定曲线相切，且，则（ ）
A．有一个极大值点B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为直线恒与定曲线相切，
则曲线为坐标平面上挖去诸切线上的点后余下的所有点形成的边界（边界为虚边界），而余下的不在切线上，故无解，
设，则，
若，则，当时，无解，此时边界点为
若，则，故在上为增函数，
而当时，，时，，
故无论取何值，从而总有解.
若，则时，，，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
若，则无解，故即，
边界对应的函数为，.
若，因此时，，故此时总有解.
综上，，故C错误.
当时，，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在为减函数，
故有唯一的极大值点，且极大值为，故A正确.
又的图象如图所示：
当时，由可得或，即或，
有两个不同的解，故B错误.
若，则由图象可得，不妨设，
当时，，此时成立；
当时，令，其中，
则，
因为，故，故，
所以在上为减函数，故，
所以，故，
故，而，
由的单调性可得即，
综上，D成立，
故选：AD.
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故A正确；
对于B，令，得，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以，
因为，所以，故，整理得，即恒成立，故B正确；
对于C，令，则，令，解得，故只有1个零点，故C错误；
对于D，因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以问题等价于有两个零点，证明，
不妨设，则由得到，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上单调递增，
又，所以，即恒成立，
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由可得，令，其中，
所以，直线与曲线的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，函数与的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式，其中，且、均为正数.
先证明，其中，
即证，
令，，其中，则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
接下来证明：，其中，即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，所以，，
因为，故，，B错，CD都对.
故选：ACD.
14．（多选题）（2023·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
且当时，，如下图所示：
当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
对于A选项，由已知可得，消去可得，A对；
对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错；
对于C选项，设，因为，则，
所以，，，
则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，故，C对；
对于D选项，，
构造函数，其中 ，则，
所以，函数在上单调递减，则 ，D对.
故选：ACD.
15．（多选题）（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）关于函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在正实数k，使得恒成立
B．函数有且只有1个零点
C．是的极小值点
D．对任意两个正实数，且，若，
【答案】BCD
【解析】若恒成立，则，令，则，令，则，当时，，当时，，所以，即，所以在上递减，无最小值，所以不存在正实数k，使得恒成立，故A错误；
对于函数，其定义域为，由于，由可得，当时，，当时，，可知是的极小值点，选项C正确；
设，则，可知在上单调递减，又，所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项B正确；
由是的极小值点，可知若时，，易知，则，令，则，则，则在上单调递减，，故，又在上单调递增，则，故，选项D正确，
故选：BCD．
16．（多选题）（2023·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域是，且，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，，故A正确；
对于B，令，则，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故，故函数在上单调递减，
又，，
故函数有且只有个零点，故B正确；
对于C，设，
若时，，
记，由二次函数的基本性质可知，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，
因此，不存在实数，使得恒成立，C选项错误；
对于D：设，，结合A选项可知，，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
，，则，所以，，
即，
因为函数在上单调递增，所以，，因此，，D选项正确.
故选：ABD.
17．（多选题）（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，令，则，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
有两个极值点，有两个变号零点，，
即，，A正确；
对于B，曲线在点处的切线斜率，
若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，B错误；
对于C，由题意知：，即，
则，由A知：，
由二次函数性质知：，C正确；
对于D，由题意知：，即，又，
，即；
要证，只需证，即证，
即证，
设，则只需证，
令，则，
在上单调递增，，，
则，D正确.
故选：ACD．
18．（多选题）（2023·湖北·高二期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
【答案】ABD
【解析】利用导数求函数的极值可判断A选项；求出函数的单调性利用特殊值可判断B；转化为构造函数并求函数的单调性可判断C；利用已知得出，构造函数证明不等式可判断D.对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A正确；
对于B选项，，
∴，
∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，结合A选项可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以，
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：ABD.
19．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.
①；
②；
③；
④.
【答案】①②④
【解析】设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；
因为，则，由图可知，则，
所以，，①对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，③错④对.
故答案为：①②④.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，
【解析】（1）若，则，此时无零点，舍.
故，，
令，因为，故在上有且只有一个零点，
若，则，这与矛盾，故.
且时，，当，，
故在上为减函数，在上为增函数，
下证：当时，有.
证明：当时，成立，
设，则，
故在上为减函数，故即，
故，故当时且.
当时，若，则恒成立，
而当时，有，
设，则，，
故当时，即：
当时，有即.
当时，，由时的讨论可得：
若时，有，故成立.
而即时，有成立.
因为仅有一个零点，故，
所以且，
故，整理得到，
化简得到：，
令，则，其中.
设，则，
故在上均为增函数，
而，
，
故在上有且只有一个零点，
而，
故在上有且只有一个零点，
故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，
故在有且只有两个零点，
且即，其中即.
设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值为，
则，且，故，
故即，但，故，
故，故互为相反数.
又，其中，而在为减函数，
故，同理，故.
（2），
设，故为的两个不同的零点，
故，
故，
故，
不妨设，则，
若，则，故为上的增函数，
故至多一个零点，与题设矛盾，故.
设，则，
故在上为增函数，故，
即任意，恒成立，故对任意的恒成立，
而，故，故.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
【解析】（1）因为，，
所以，.
当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；
所以不合题意，故.
当时，令，得.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，解得.
所以，的值为.
（2）方法一：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，从而得.
令，则，
所以函数在上单调递增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得证.
方法二：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以，即方程有两个不同的实数根.
令，，则，.
令，得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以.
令，，
则.
所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以.
又在上单调递增，所以.即，得证.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）设切点，，
得，，所以，代入直线方程得；
（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，
则；
②，即，等价于，
令，，
，
因为，所以，故，
所以在上单调递增，故,
不妨设，故，即，
由已知，所以，
由①知，当时，单调递增，
故，所以，
所以.
23．（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）∵，∴，
令，得x＝1，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：由（1）知，不妨设，
构造函数，，
故，
故在上单调递减，，
∵，∴，
又∵，∴，即，
∵，∴，，
又∵在上单调递增，∴，即，得证．
24．（2023·四川南充·高二统考期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．
【解析】（1）的定义域为，.令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；当时，只有单增区间；
（2）由题可知，，设是方程的两个不等实根，不妨设为，则，两式相减整理得到，从而得到，要证，故只需要证明，由于，转化为，即，即，令，则上述式子转化为设，则，当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，故得证，即.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．
【解析】（1）由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
（2）证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
【解析】（1）证明：令，
因为，
所以在上单调递增，所以，
即当时，.
（2）证明：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，
所以.
因为方程有两个不等实根，所以.
不妨设.
由（1）知，当时，；当时，.
方程可化为.
所以，整理得.①
同理由，整理得.②
由①②，得.
又因为所以.
法二：由，得，
易知在单调递减，在单调递增，所以.
因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.
要证，只要证，只要证：.
因为在上单调递增，只要证：.
令，只要证，恒成立.
因为，
令，则，
故在上单调递增，，所以，
所以在上单调递减，所以，故原结论得证.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
【解析】（1）当时，，所以.
，所以.
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为(0，+∞)， .
当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.
（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.
由题意可得：.由及得：.
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由得 .所以
令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.
综上x1+x2>2e.
28．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.
【解析】（1）因为，
所以．
即，，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）由（1）得，．
当时，，则在上无零点．
当时，，则在上有一个零点．
当时，，因为，，，
所以，，，
故在上有两个零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点．
（3）证明：由（2）及有两个极值点，且，
可得， 在上有两个零点，且．
所以，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，
故．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．
【解析】（1）当时，，定义域为
令，则
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，得；
（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；
由
当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；
当时，在上有，在上有，
所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设
令
则
当时，，则在上单调递增
所以
故，因为
所以，又，
则，又在上单调递减，
所以，则．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，试比较与的大小；
(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．
【解析】（1）因为，，
当时，，且，
又当时，，即函数在上单调递减，所以．
（2）证明：先证明，其中，
即证，
令，，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，当时，，
所以，当时，，
由题知，取对数有，即，
又，所以．
31．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．
【解析】（1）令，则，记
令，得
当时，，时，，时，
所以当时，取得极大值，时，取得极大值，
因为函数有三个零点与有三个交点，
所以，即 a的取值范围为.
（2）记
记
则
记
则
易知在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增，所以
所以在区间上单调递增
因为，记
所以
由（1）可知，
所以，即
又，所以
因为，所以
由（1）知在区间上单调递增，所以，即
所以
32．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【解析】（1）的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以
，所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点.
不妨设.
要证，只需证明，
因为在，e）单调递增且，所以只需证明
，又，只需证明
设，
，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以成立.故有.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
【解析】（1）当时，，，则，
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，，该函数的定义域为.
.
当时，由可得或.
（i）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为；
（ii）当时，，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增；
（iii）当时，，由，可得，
由，可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（3）证明：，则，
令，则.
当时，由可得.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
下面证明不等式，其中，即证，
令，即证对任意的恒成立，
构造函数，其中，
则对任意的恒成立，故函数在上单调递增，
当时，，所以，当时，，
由已知可得，两式作差可得，
则，即，故原不等式得证.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．
【解析】（1）因为，
所以．
令，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．
当时，，即，则在上单调递减，无极值点．
当时，，因为，，，
所以，，，即，
故有2个极值点；
综上，当时，无极值点．当时，有2个极值点；
（2）证明：令，，
则．
令，
则．
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以，故在上单调递增，则，即，
所以在上单调递减，则．
因为，所以．
要证，只需证．
因为，，，在上是增函数，
所以只需要证，即．
由，
两式相减得，即．
因为，所以．
下面证明，即证．
令，则即证．
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
故．
又，
所以，故．得证．
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．
【解析】（1），，那么，，
所以在单调递减，在单调递增．
（2）令，，
则，在单调递减，单调递增，又，不妨设
先证明．只要证明，即只要证明．
因为
令，，则
在单调递减，所以．
从而必有
下面证明．
因为，，所以，
又，所以，
令，，，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
故．
综上，．
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.
【解析】（1），
①当时，，因为，所以无零点；
②当时，，下面考查函数图象与函数图象的公共点个数.
当二者相切时，设切点为，则，解得，即函数图象与函数图象相切.
由图可知，当时，两函数图象有且只有一个公共点，即有1个零点；当，即时，两函数图象无公共点，即无零点；当，即时，两函数图象有2个公共点，即有2个零点.
综合①②可知，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.
（2）由（1）知，当时，，即对任意，.
因为函数有2个零点，由（1）知，，所以，即.
要证，即证，只需证.
因为是函数的两个零点，所以，两式相减得，所以只需证.
不妨设，则，即证，令，即证.
令，则，所以函数在上单调递增.
所以对任意，，即成立.
故原不等式成立.
37．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）已知有两个不同的零点、．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：（为的导函数）．
【解析】（1）由题意得的定义域为，，
令，解得．
又，所以，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（2）（ⅰ）由题知，，
设，则．
令，则，
令，得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，所以函数在上单调递减，
所以，当时，，，，则．
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，即当时，.
所以，，所以，
故要使得函数有两个不同的零点，只需即可，解得，
因此当时，函数有两个不同的零点；
（ⅱ）令函数，，
则，
所以在上恒成立，因此函数在上单调递增，且．
由（1）设，则，所以，
即，即，
因为，且在上单调递减，
所以，即．
由（ⅰ）知，则，由基本不等式可得，即，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，因此．
38．（2023·浙江杭州·校考三模）已知函数.其函数图像与x轴交于､.且.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：;
（3）若C在图像上，且为正三角形，记，求的值.
【解析】（1），
若，则，函数在R上单调递增，不符合题意；
所以
令，得，
当时，，函数在递减，
当时，，函数在递增，
所以
且当时，；
当时，；
令，
解得，
所以a的取值范围是.
（2）如图所示：
先证：，
由于，，
又在上单调递增
所以欲证：
只需证：
只需证：
由于
只需证：
只需证：
构造：
∴在上单调递增，又
所以当，
于是，即
综上可得：
所以，
所以.
（3）由 ，得，
由为正三角形且C也在图像上可知：
，
即，
即，
两边同除以有，
即，
，
由于，所以于是：，
整理可得：，
所以.
39．（2023·江西九江·高三阶段练习）已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．
【解析】（1），
由，且当时，，当时，，
所以在时取得极值，所以，
所以，，，函数在上递增，在上递减，，
时；时，，有两个零点，，
故，；
（2）不妨设，由题意知，
则，，
欲证，只需证明：，只需证明：，
即证：，
即证，设，则只需证明：，
也就是证明：．
记，，∴，
∴在单调递增，
∴，所以原不等式成立，故得证．
减
极小值
增
减
极小值
增
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