能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（7种考向）

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能力拓展05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【命题方向目录】
命题方向一：极值点偏移:加法型
命题方向二：极值点偏移:减法型
命题方向三：极值点偏移:乘积型
命题方向四：极值点偏移:商型
命题方向五：极值点偏移:平方型
命题方向六：极值点偏移:混合型
命题方向七：拐点偏移问题
【方法技巧与总结】
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。

图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．
【典型例题】
命题方向一：极值点偏移:加法型
例1．（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知函数，．
(1)记，当时，求的单调区间．
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求实数a的取值范围；
②证明：．




例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.




例3．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.




命题方向二：极值点偏移:减法型
例4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值．
(2)若，求证：．




例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.




命题方向三：极值点偏移:乘积型
例6．（2023·广东深圳·高二统考期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.




例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.




例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为.
(1)判断的单调性；
(2)若关于的方程有两个实数根，，求证：.




变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.




命题方向四：极值点偏移:商型
例9．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.




例10．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.




命题方向五：极值点偏移:平方型
例11．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：；




例12．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.




例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．




变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：
①；
②.




命题方向六：极值点偏移:混合型
例14．（2023·山东日照·统考二模）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．




例15．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．




命题方向七：拐点偏移问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若正实数满足，求证：.




例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，当时，恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)若正实数、满足，证明：．




例18．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.




变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：





【过关测试】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则下列说法正确的有（    ）
①； ② ；③；  ④.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．是的极大值点
B．函数有2个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（    ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2023·吉林·高三吉林省实验阶段练习）已知有两个零点，下列说法正确的是
A． B．
C． D．有极小值且
8．（2023·四川·统考一模）设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（多选题）（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（    ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2023·北京·高三强基计划）已知且，则（    ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线恒与定曲线相切，且，则（    ）
A．有一个极大值点 B．
C． D．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数则下列结论正确的有（    ）
A．当时，是的极值点
B．当时，恒成立
C．当时，有2个零点
D．若是关于x的方程的2个不等实数根，则
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ）．
A． B． C． D．
14．（多选题）（2023·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
15．（多选题）（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）关于函数，则下列结论正确的是（    ）
A．存在正实数k，使得恒成立
B．函数有且只有1个零点
C．是的极小值点
D．对任意两个正实数，且，若，
16．（多选题）（2023·高二单元测试）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．函数的极小值为
B．函数有且只有个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数、，且，若，则
17．（多选题）（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．曲线在点处的切线可能与直线垂直
C．
D．
18．（多选题）（2023·湖北·高二期末）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．是的极小值点；
B．函数有且只有1个零点；
C．存在正整数，使得恒成立；
D．对任意两个正实数，，且，若，则.
19．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____.
①；
②；
③；
④.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；
(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.
参考数据：，




21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.




22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．




23．（2023·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．




24．（2023·四川南充·高二统考期末）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．




25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设是的两个零点，证明：．




26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：




27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）．
(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．




28．（2023·全国·高三专题练习）设函数为的导函数.
(1)求的单调区间；
(2)讨论零点的个数；
(3)若有两个极值点且，证明：.




29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．




30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，当时，试比较与的大小；
(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．




31．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知函数．
(1)若函数有三个零点，求a的取值范围．
(2)若，证明：．




32．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.




33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.




34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论极值点的个数．
(2)若有两个极值点，，且，证明：．




35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根为，，求证：．




36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，讨论函数的零点个数；
（2）设，是函数的两个零点，证明：.




37．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）已知有两个不同的零点、．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：（为的导函数）．




38．（2023·浙江杭州·校考三模）已知函数.其函数图像与x轴交于､.且.
（1）求a的取值范围；
（2）求证：;
（3）若C在图像上，且为正三角形，记，求的值.




39．（2023·江西九江·高三阶段练习）已知函数在（为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）记函数的两个零点为，，证明：．