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    新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展08利用导数多维度证明不等式(13种考向)(原卷版+解析)
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    新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展08利用导数多维度证明不等式(13种考向)(原卷版+解析)

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    这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展08利用导数多维度证明不等式(13种考向)(原卷版+解析),共79页。

    命题方向一:直接法
    命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
    命题方向三:分析法
    命题方向四:凹凸反转、拆分函数
    命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
    命题方向六:放缩法
    命题方向七:虚设零点
    命题方向八:同构法
    命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
    命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
    命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
    命题方向十二:函数与数列不等式问题
    命题方向十三:三角函数
    【方法技巧与总结】
    利用导数证明不等式问题,方法如下:
    (1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
    (2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
    (3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
    (4)对数单身狗,指数找基友
    (5)凹凸反转,转化为最值问题
    (6)同构变形
    【典例例题】
    命题方向一:直接法
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,
    (1)证明 :;
    (2)证明:.
    例2.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:;
    (2)证明:;
    (3)证明:.
    命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
    例3.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)讨论的单调性,并证明:当时,.
    例4.已知曲线与曲线在公共点处的切线相同,
    (Ⅰ)求实数的值;
    (Ⅱ)求证:当时,.
    命题方向三:分析法
    例5.已知函数,已知是函数的极值点.
    (1)求;
    (2)设函数.证明:.
    例6.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数
    (1)求在处的切线;
    (2)若,证明当时,.
    命题方向四:凹凸反转、拆分函数
    例7.(2023·北京·高三专题练习)已知函数,当,时,证明:任意的,都有恒成立.
    例8.(2023·河南开封·校考模拟预测)设函数,.
    (1)若函数在上存在最大值,求实数的取值范围;
    (2)当时,求证:.
    命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
    例9.已知函数.
    (Ⅰ)当时,求在,上最大值及最小值;
    (Ⅱ)当时,求证.
    例10.已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为.
    (1)求、的值;
    (2)当且时.求证:.
    命题方向六:放缩法
    例11.(2023·全国·高三专题练习)已知,,.
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)当时,求证:.
    例12.(2023·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数 (,为自然对数的底数).
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,求证:.
    命题方向七:虚设零点
    例13.(2023·广东佛山·高三统考开学考试)已知函数,其中,.
    (1)证明:函数有唯一零点;
    (2)设为函数的零点.
    ①证明;
    ②写出一个代数式,使,并证明这一结论.
    例14.(2023·全国·高三专题练习)设函数,,其中.
    (1)若,证明:当时,;
    (2)设,且,其中是自然对数的底数.
    ①证明恰有两个零点;
    ②设如为的极值点,为的零点,且,证明:.
    命题方向八:同构法
    例15.(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知过点可以作曲线的两条切线,切点分别为、,线段的中点坐标为,其中是自然对数的底数.
    (1)若,证明:;
    (2)若,证明:
    例16.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,求证:在上恒成立;
    (3)求证:当时,.
    命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
    例17.(2023·全国·高三专题练习)证明不等式:.
    例18.(2023·全国·高三专题练习)证明:
    例19.已知函数.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)若,对,恒成立,求实数的取值范围;
    (3)当时.若正实数,满足,,,,证明:.
    命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
    例20.(2023·辽宁大连·统考三模)(1)非零实数,满足:.证明不等式:.
    (2)证明不等式:.
    例21.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数.
    (1)讨论函数的导函数的单调性;
    (2)若,求证:对,恒成立.
    例22.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)证明:当时,;
    (2)设为正实数且.
    (i)若,证明:;
    (ii)若,证明:.
    命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
    例23.(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数.
    (1)讨论的极值点个数;
    (2)若有两个极值点,直线过点.
    (i)证明:;
    (ii)证明:.
    例24.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求,的值;
    (2)证明:;
    (3)若函数有两个零点,,证明.
    命题方向十二:函数与数列不等式问题
    例25.(2023·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习)已知函数f(x)=a(csx﹣1)﹣blnx+xsinx.
    (1)若a=1,b=0,证明:f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
    (2)若a=0,b=π,
    ①证明:时,f(x)>0;
    ②证明:>π[ln(n+1)﹣ln2](其中n≥2,且n∈N+).
    例26.(2023·浙江绍兴·高三统考期末)已知函数,其中.
    (1)证明:;
    (2)证明:对任意的,存在,使得;
    (3)在(2)的条件下,证明:.
    例27.(2023·山东·高三专题练习)已知函数的图象在点处的切线方程为.
    (1)当时,证明:;
    (2)设函数,当时,证明:;
    (3)若数列满足:,,.证明:.
    命题方向十三:三角函数
    例28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)若,求的单调区间;
    (2)证明:;
    (3)若,证明:.
    例29.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:当时,.
    (2)证明:当时,.
    【过关测试】
    1.(2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)已知函数.
    (1)若函数,讨论的单调性;
    (2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明,若两个都证明,则按第一个证明计分.
    ①若函数,,且,证明:.②若函数,证明:.
    2.(2023·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知函数,,
    (1)若,证明:.
    (2)若,
    ①证明:函数存在唯一的极值点.
    ②若,且,证明:.
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.
    (Ⅰ)证明:;
    (Ⅱ)证明:;
    (Ⅲ)若,记数列的前项和为,证明:.
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)求曲线在处切线的斜率;
    (2)当时,证明:;
    (3)证明:.
    5.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知函数,其中.
    (1)若,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若,
    (i)证明:;
    (ii)判断函数在上的单调性,并证明.
    6.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数.
    (1)当时,证明:恒成立;
    (2)当时,证明:.
    7.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数,,为自然对数的底数.
    (1)证明:函数存在唯一的极值点;
    (2)在(1)的条件下,若,且,证明:.
    8.(2023·浙江绍兴·统考二模)设函数,其中.
    (1)当时,求函数的值域;
    (2)设,当时,
    ①证明:函数恰有两个零点;
    ②若为函数的极值点,为函数的零点,且,证明:.
    9.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模)已知函数,其中,为自然对数的底数.
    (1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
    (2)当,时,
    ①证明:方程恰有一个根;
    ②设为的极小值点,为的零点,证明:.
    参考数据:.
    10.(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知函数
    (1)判断函数的零点个数;
    (2)证明:当时,证明:
    11.(2023·全国·校联考模拟预测)在数学中常有“数形结合”的思想,即找到代数式的几何意义,比如:的几何意义便是抛物线上的点P到点和点的距离之和,进而可以简化计算.现在,已知函数的两个零点分别为.
    (1)当a=1时,证明:;
    (2)当a≥1时,证明:.
    12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)证明:,.
    13.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)证明:.
    14.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
    (1)求的单调区间;
    (2)证明:;
    (3)设,,证明:.
    15.(2023·全国·模拟预测)已知函数,.
    (1)若,求函数的单调区间.
    (2)若,
    ①证明:函数存在唯一的极值点.
    ②若,且,证明:.
    16.(2023·北京·高三校考强基计划)已知函数,其中.
    (1)证明:有唯一零点.
    (2)设为函数的零点,证明:
    ①;
    ②.
    参考数据:.
    17.(2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)已知.
    (1)若关于x的方程有解,求实数a的最小值;
    (2)证明不等式;
    (3)类比(2)中不等式的证明方法,尝试证明:(,e为自然对数的底数)
    18.(2023·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知函数,.
    (1)求在处的切线方程;
    (2)判断函数在区间上零点的个数,并证明;
    (3)函数在区间上的极值点从小到大分别为,证明:.
    19.(2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)求函数的极值;
    (2)当时,若函数有两个零点.
    ①证明:;
    ②证明:.
    20.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
    (1)若方程在区间内有且仅有两个不同的实数解.
    ①求实数a的取值范围;
    ②证明:.
    (2)设函数的零点按从小到大的顺序依次为,极值点按从小到大的顺序依次为,证明:.
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
    (1)证明:;
    (2)证明:.
    22.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的最小值和的最大值相等.
    (1)求;
    (2)证明:;
    (3)已知是正整数,证明:.
    23.(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,证明:对任意的,都有;
    (2)证明:.
    24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)若是函数的极值点,证明:;
    (2)证明:对于,存在的极值点,满足.
    能力拓展08 利用导数多维度证明不等式
    【命题方向目录】
    命题方向一:直接法
    命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
    命题方向三:分析法
    命题方向四:凹凸反转、拆分函数
    命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
    命题方向六:放缩法
    命题方向七:虚设零点
    命题方向八:同构法
    命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
    命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
    命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
    命题方向十二:函数与数列不等式问题
    命题方向十三:三角函数
    【方法技巧与总结】
    利用导数证明不等式问题,方法如下:
    (1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
    (2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
    (3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
    (4)对数单身狗,指数找基友
    (5)凹凸反转,转化为最值问题
    (6)同构变形
    【典例例题】
    命题方向一:直接法
    例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,
    (1)证明 :;
    (2)证明:.
    【解析】(1)证明:令,
    则,当时,即函数在递减,
    则,所以;
    (2)由(1)知用代换得,再以代换得,
    即,即,则
    令,因为,所以,即

    例2.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:;
    (2)证明:;
    (3)证明:.
    【解析】证明:(1)令,则有.
    令得,,令得,所以在单调递减,上单调递增.
    所以,即.
    所以.
    (2)令,则.
    令得,,令得,.所以在单调递增,上单调递减,
    所以,即,
    所以.
    (3)由(1)得,所以(当且仅当时取等号)①.
    由(2)得,所以(当且仅当时取等号)②
    因为①式与②式取等号的条件不同,所以.
    命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
    例3.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)讨论的单调性,并证明:当时,.
    【解析】(1)证明:令,则,
    所以在上单调递减,所以,即.
    令,则有,
    所以,所以,即.
    (2)由可得,
    令,则,
    令,则,
    所以在上单调递增,.
    令,则有,
    所以在上单调递增,所以在上单调递增,
    所以对于,有,
    所以,所以,
    即,
    整理得:.
    例4.已知曲线与曲线在公共点处的切线相同,
    (Ⅰ)求实数的值;
    (Ⅱ)求证:当时,.
    【解析】(Ⅰ)解:,,
    依题意(1)(1),;
    (Ⅱ)证明:由,得,
    令,则,
    时,,递减;
    时,,递增.
    时,(1),即,
    综上所述,时,.
    命题方向三:分析法
    例5.已知函数,已知是函数的极值点.
    (1)求;
    (2)设函数.证明:.
    【解析】(1)解:由题意,的定义域为,
    令,则,,
    则,
    因为是函数的极值点,则有,即,所以,
    当时,,且,
    因为,
    则在上单调递减,
    所以当时,,
    当时,,
    所以时,是函数的一个极大值点.
    综上所述,;
    (2)证明:由(1)可知,,
    要证,即需证明,
    因为当时,,
    当时,,
    所以需证明,即,
    令,
    则,
    所以,当时,,
    当时,,
    所以为的极小值点,
    所以,即,
    故,
    所以.
    例6.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数
    (1)求在处的切线;
    (2)若,证明当时,.
    【解析】(1)因为,所以,切线斜率为
    因为,所以切点为
    切线方程为即
    (2)法一:令,所以,
    所以在单调递增,,
    所以,所以,
    所以要证只需证明
    变形得
    因为
    所以只需证明,即
    两边同取对数得:
    令,

    显然在递增,
    所以存在当时递减,
    当时递增;
    因为
    所以在上恒成立,所以原命题成立
    法二:设则,
    要证:
    需证:
    即证:
    因为,需证,即证:
    ①时必然成立
    ②时,因为所以只需证明,
    令,,
    令,
    ∴在上为增函数
    因为
    ,所以
    所以存在,使得
    ∴在上为减函数,在上为增函数

    综上可知,不等式成立
    命题方向四:凹凸反转、拆分函数
    例7.(2023·北京·高三专题练习)已知函数,当,时,证明:任意的,都有恒成立.
    【解析】由题设有,设,,
    要证即证.
    下面证明:当时,.
    此时,,
    当时,,
    故在上为减函数,在上为增函数,
    当时,,
    故在上为增函数,在上为减函数,
    故在上,有,,
    故当时,.
    当,,,
    当时,要证即证即证,
    设,其中,故,
    当时,;当时,,
    故在上为增函数,在上为减函数,
    故在上,,
    故,所以当时,成立.
    综上,任意的,都有恒成立.
    例8.(2023·河南开封·校考模拟预测)设函数,.
    (1)若函数在上存在最大值,求实数的取值范围;
    (2)当时,求证:.
    【解析】(1)(1)由得:(),
    ①当时,,所以在上单调递增,在不存在最大值,
    ②当时,令,解得:,
    当时,,在上单调递增,
    当时,在上单调递减,
    所以在时,取得最大值,
    又由函数在上存在最大值,
    因此,解得:,
    所以的取值范围为.
    (2)证明:当时,,且函数的定义域为,
    要证明,即证明时,,
    只需要证明:时,,
    因为,所以不等式等价于
    设(),则,
    令得:,
    当时,,当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    故,且当时,等号成立;
    又设(),则,
    令得:,
    当时,,当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    故,且当时,等号成立;
    综上可得:时,,且等号不同时成立,
    所以时,,
    即当时,得证.
    命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
    例9.已知函数.
    (Ⅰ)当时,求在,上最大值及最小值;
    (Ⅱ)当时,求证.
    【解析】解:(Ⅰ),;
    时,;,时,;
    (1)是函数的极小值,即的最小值;又,(2);
    的最大值是;
    函数在上的最小值是0,最大值是;
    (Ⅱ),要证明原不等式成立,只要证明;
    设,则;
    函数在上是增函数,(1);

    原不等式成立.
    例10.已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为.
    (1)求、的值;
    (2)当且时.求证:.
    【解析】解:(1)函数的导数为,
    曲线在点,(1)处的切线方程为,
    可得(1),(1),
    解得;
    (2)证明:当时,,
    即为,
    即,
    当时,,
    即为,
    设,,
    可得在递增,
    当时,(1),即有;
    当时,(1),即有.
    综上可得,当且时,都成立.
    命题方向六:放缩法
    例11.(2023·全国·高三专题练习)已知,,.
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)当时,求证:.
    【解析】(1),当时,,即在上单调递减,
    故函数不存在极值;
    当时,令,得,
    故,无极小值.
    综上,当时,函数不存在极值;
    当时,函数有极大值,,不存在极小值.
    (2)显然,要证:,
    即证:,即证:,
    即证:.
    令,故只须证:.
    设,则,
    当时,,当时,,
    故在上单调递增,在上单调递减,
    即,所以,从而有.
    故,即.
    例12.(2023·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数 (,为自然对数的底数).
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,求证:.
    【解析】(1),
    (ⅰ)当时,,所以,,
    则在上单调递增,在上单调递减;
    (ⅱ)当时,令,得,
    ①时,,
    所以或,,
    则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
    ②时,,则在上单调递增;
    ③时,,所以或,,
    则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
    综上,时,在上单调递增,在上单调递减;
    时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
    时,在上单调递增;
    时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
    (2)方法一:等价于,
    当时,,
    则当时,,则,
    令,
    令,
    因为函数在区间上都是增函数,
    所以函数在区间上单调递增 ,
    ∵,∴存在,使得,
    即,
    当时,,则在上单调递减,
    当时,,则在上单调递增,
    ∴,
    ∴,故.
    方法二:当时,,
    令,
    令,则,
    令,则,
    当时,,当时,,
    ∴在区间上单调递减,上单调递增,
    ∴,即,
    ∴.
    命题方向七:虚设零点
    例13.(2023·广东佛山·高三统考开学考试)已知函数,其中,.
    (1)证明:函数有唯一零点;
    (2)设为函数的零点.
    ①证明;
    ②写出一个代数式,使,并证明这一结论.
    【解析】证明:(1)由,则定义域为,
    ,因为,所以,
    所以函数在递增,
    又,,
    所以函数在上有唯一零点,
    又因函数在递增,
    所以函数有唯一零点;
    (2)①因为为函数的零点,则,
    因为,所以,

    令,
    则,
    因为,所以,则,
    所以函数在上递减,
    所以,
    所以
    又,函数在递增,
    所以;
    ②,因为,则,,

    令,
    则,
    因为,则,,
    所以,
    所以函数在上递增,
    所以,
    所以,
    又,函数在递增,
    所以,即.
    例14.(2023·全国·高三专题练习)设函数,,其中.
    (1)若,证明:当时,;
    (2)设,且,其中是自然对数的底数.
    ①证明恰有两个零点;
    ②设如为的极值点,为的零点,且,证明:.
    【解析】令
    当时,,所以在上递减,
    又在上连续,
    所以当时,,即当时,
    (2)证明:①,得
    令,由,
    可知在内单调递减,又,且
    .
    故在有唯一解,从而在内有唯一解,
    不妨设为,则
    当时,,所以在内单调递增;
    当时,,所以在内单调递减,
    因此是的唯一极值点.
    由(1)知.从而
    又因为,所以在内有唯一零点.
    又在内有唯一零点,从而在内恰有两个零点.
    ②由题意,,即,
    从而,即.
    因为当时,,又,故
    两边取对数,得,于是
    整理得.
    命题方向八:同构法
    例15.(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知过点可以作曲线的两条切线,切点分别为、,线段的中点坐标为,其中是自然对数的底数.
    (1)若,证明:;
    (2)若,证明:
    【解析】(1)证明:函数的导函数为.
    设、,
    则曲线在处的切线方程为.
    因为切线过点,所以,①
    同理可得,②
    所以、是方程的两个不等实根.
    当时,,
    设,则直线与函数的图象有两个交点,
    ,当时,,此时递增;当时,,此时递减.
    所以,函数的极大值为,
    当时,;当时,,如下图所示:

    由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,
    综上所述,.
    (2)证明:由①②可知,,
    于是,
    不妨设,则,
    则.
    又,所以.
    设,其中,则,
    所以在区间上是增函数,
    所以当时,,即当时,.(*)
    而,所以.
    又由和,
    得.
    而.
    所以

    一方面,由(*)可知,当时,,
    结合可知,.
    另一方面,设,,
    则,
    令,其中,则,
    所以,函数在上为增函数,
    故当时,,即,
    所以当时,,所以在区间上是增函数,
    所以当时,,即当时,,
    所以.
    故,即.
    综上所述,.
    例16.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)当时,求证:在上恒成立;
    (3)求证:当时,.
    【解析】(1)解:函数的定义域为,,
    令,即,△,解得或,
    若,此时△,在恒成立,
    所以在单调递增.
    若,此时△,方程的两根为:
    ,且,,
    所以在上单调递增,
    在上单调递减,
    在上单调递增.
    若,此时△,方程的两根为:
    ,且,,
    所以在上单调递增.
    综上所述:若,在单调递增;
    若,在,上单调递增,
    在上单调递减.
    (2)证明:由(1)可知当时,函数在上单调递增,
    所以(1),所以在上恒成立.
    (3)证明:由(2)可知在恒成立,
    所以在恒成立,
    下面证,即证2 ,
    设,,
    设,,
    易知在恒成立,
    所以在单调递增,
    所以,
    所以在单调递增,
    所以,
    所以,即当时,.
    法二:,即,
    令,则原不等式等价于,
    ,令,则,递减,
    故,,递减,
    又,故,原结论成立.
    命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
    例17.(2023·全国·高三专题练习)证明不等式:.
    【解析】设,则,

    代入的二阶泰勒公式,有,

    所以原题得证.
    例18.(2023·全国·高三专题练习)证明:
    【解析】证明:设,则在处带有拉格朗日余项.
    三阶泰勒公式
    例19.已知函数.
    (1)求函数的单调区间;
    (2)若,对,恒成立,求实数的取值范围;
    (3)当时.若正实数,满足,,,,证明:.
    【解析】解:(1),,△,
    ①时,恒成立,
    故函数在递增,无递减区间,
    ②时,或,
    故函数在,,递增,在,递减,
    综上,时,函数在递增,无递减区间,
    时,函数在,,递增,在,递减,
    (2),对,恒成立,
    即,时,恒成立,
    令,,则,
    令,
    则,在递减且(1),
    时,,,递增,
    当,,,递减,
    (1),
    综上,的范围是,.
    (3)证明:当时,,
    ,不妨设,
    下先证:存在,,使得,
    构造函数,
    显然,且,
    则由导数的几何意义可知,存在,,使得,
    即存在,,使得,
    又为增函数,
    ,即,
    设,则,,
    ①,
    ②,
    由①②得,,
    即.
    命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
    例20.(2023·辽宁大连·统考三模)(1)非零实数,满足:.证明不等式:.
    (2)证明不等式:.
    【解析】证明:(1)显然:且且,
    原不等式,
    .
    令且,
    则,令,
    则,
    当时,在递增,,
    时,在递减,,
    在上递减,在上递减,
    在时,,在时,.
    ∴.
    (2)∵,

    原不等式等价为,
    即证,
    在(1)中,令,则,
    在(1)中,令,则,
    .
    例21.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数.
    (1)讨论函数的导函数的单调性;
    (2)若,求证:对,恒成立.
    【解析】(1)由已知可得,,设,
    则.
    当时,有恒成立,所以,即在R上单调递增;
    当时,由可得,.
    由可得,,所以,即在上单调递减;
    由可得,,所以,即在上单调递增.
    综上所述,当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
    (2)因为,所以对,有.
    设,则.
    解可得,或或.
    由可得,,所以,函数在上单调递增;
    由可得,或,所以,函数在上单调递减,在上单调递减.
    所以,在处取得极大值,在处取得极小值.
    又,所以,即.
    所以,有,
    整理可得,,
    所以,有,恒成立.
    例22.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)证明:当时,;
    (2)设为正实数且.
    (i)若,证明:;
    (ii)若,证明:.
    【解析】(1)令且,则,
    所以在上递减,故,即,
    所以时.
    (2)(i)设,证明:,
    不妨设,且,则,
    .
    设,则,.
    设,则.
    于是,在内单调递增,当趋向于时,趋向于,故.
    由得:,则在内单调递减,当趋向于时,趋向于e,故.
    因此,.
    (ii)证明:,其中,
    由对称性知:不妨设,令,此时,
    令且,则,即递减,
    所以,即,故,则单调递增,
    则,于是,
    令,此时,单调递增,

    令,此时,
    令,则,
    所以递增,即递增,则,
    于是,单调递增,则.
    命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
    例23.(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数.
    (1)讨论的极值点个数;
    (2)若有两个极值点,直线过点.
    (i)证明:;
    (ii)证明:.
    【解析】(1)因为定义域为,且,
    当时,恒成立,
    在上单调递增,极值点个数为;
    当时,对于函数,,
    所以恒成立,
    所以在上单调递增,极值点个数为;
    当时,由得,或,
    由得,或;由得,.
    所以单调递减区间为,单调递增区间为.
    所以为极大值点,为极小值点,极值点个数为.
    综上,当时,极值点个数为;当时,极值点个数为2.
    (2)(i)由(1)知,,不妨设,
    则,,
    所以,
    要证成立,
    只需证明,
    只需证明,
    令,则,
    所以在上单调递减,
    所以,
    所以成立.
    所以.
    (ii)由得,
    要证成立,
    只需证明,
    因为,
    所以只需证明,
    只需证明,
    只需证明,即,
    因为成立,所以成立.
    例24.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求,的值;
    (2)证明:;
    (3)若函数有两个零点,,证明.
    【解答】(1)解:函数的定义域为,

    (1),
    曲线在点处的切线方程为即,
    ,;
    (2)证明:令,
    则,
    令,则,
    单调递增,又(1),
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    (1),


    (3)证明:的两个零点,,即为的两根,不妨设,
    由题知,曲线在处的切线方程为,
    令,即即的根为,则,
    由(2)知,

    单调递增,

    设曲线在处的切线方程为,


    设方程即的根为,则,
    令,
    由(2)同理可得,即,

    又单调递减,


    命题方向十二:函数与数列不等式问题
    例25.(2023·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习)已知函数f(x)=a(csx﹣1)﹣blnx+xsinx.
    (1)若a=1,b=0,证明:f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
    (2)若a=0,b=π,
    ①证明:时,f(x)>0;
    ②证明:>π[ln(n+1)﹣ln2](其中n≥2,且n∈N+).
    【解析】(1)若a=1,b=0,则f(x)=csx﹣1+xsinx,f′(x)=xcsx,
    当时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,
    ∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,
    又,
    ∴f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
    (2)若a=0,b=π,则,
    ①,
    令,易知g(x)在上单调递增,
    ∴,即f′(x)<0,
    ∴f(x)在上单调递减,
    ∴,即得证;
    ②当n≥2,n∈时,,
    又,故,
    则,
    由①知,时,xsinx>πlnx,
    令,,
    ∴,
    以上各式相加得,

    即,
    即,即得证.
    例26.(2023·浙江绍兴·高三统考期末)已知函数,其中.
    (1)证明:;
    (2)证明:对任意的,存在,使得;
    (3)在(2)的条件下,证明:.
    【解析】(1)定义域是,
    设,则,
    时,,时,,
    所以在单调递减,在单调递增,
    所以,即.
    (2)证明:,
    所以在上单调递增,在单调递减,
    且,由(1)可知,
    取,

    由以上知在存在唯一的非零实数根.
    (3)当时,,即,设,
    设,,
    ∵,所以函数单调递减,
    所以等价于证明,
    等价于,即,
    设,
    ,由(1)可知,
    所以,,
    所以当时,,故在单调递减,
    所以,故.
    例27.(2023·山东·高三专题练习)已知函数的图象在点处的切线方程为.
    (1)当时,证明:;
    (2)设函数,当时,证明:;
    (3)若数列满足:,,.证明:.
    【解析】(1)由题知:,
    所以,
    所以,令,则,
    当时,,在区间上单调递增;
    当时,,在区间上单调递减;
    所以,即
    所以在区间上单调递减,
    所以
    又因为,所以,
    所以
    综上知:当时,
    (2)由题意,因为
    所以
    由(1)知:在区间上单调递减,所以,
    又因为当时,
    所以,在区间上单调递增,所以
    由(1)可知:,又,∴
    综上可知:
    (3)由(1)(2)知:
    若,,若,
    因为,∴,,
    所以,,
    当时,
    当时,
    所以,从而
    命题方向十三:三角函数
    例28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)若,求的单调区间;
    (2)证明:;
    (3)若,证明:.
    【解析】(1)当时,,其中,
    所以,且,
    因为函数和都是减函数,故也是减函数.
    所以当时,单调递增,当时,,
    单调递减,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
    (2)根据题意可知,,
    设,则单调递减,
    所以当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    所以.
    (3)法一:若,则,
    由(2)可知,,
    所以,故,
    此时,故,
    所以,其中.
    当时,,故当时,,
    当时,若,则,
    若,则,故,
    所以当时,成立,故在单调递增,
    所以.
    设,则,
    因为函数和都是减函数,故也是减函数,
    所以当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    所以.
    综上,当时,.
    法二:
    若,则,
    由(2)可知,,
    所以,故,
    此时,故,
    所以,其中,
    .
    成立,故在单调递增,
    所以.
    设,则,
    因为函数和都是减函数,故也是减函数,
    所以当时,单调递增,
    当时,单调递减,
    所以.
    综上,当时,.
    例29.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:当时,.
    (2)证明:当时,.
    【解析】(1)设,则.
    令,则.
    令,则,
    所以在上单调递增,所以,即,
    所以,即在上单调递增,因此,
    所以在上单调递增,即,故.
    (2)当时,等价于.
    设.
    ∵当时,,


    因此在上单调递增,
    ∴,
    即当时,.
    【过关测试】
    1.(2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)已知函数.
    (1)若函数,讨论的单调性;
    (2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明,若两个都证明,则按第一个证明计分.
    ①若函数,,且,证明:.②若函数,证明:.
    【解析】(1)因为,所以,
    的定义域为,.
    当时,,在上单调递增.
    当时,若,,单调递减;
    若,,单调递增.
    综上所述:当时, 在上单调递增.
    当时, 在上单调递减,在上单调递增.
    (2)证明:选①
    因为,所以,
    的定义域为,且.
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增.
    不妨设,则,由,
    可知.当时,显然成立.
    当时,,由,且,
    可知,则,.
    设,,,在上单调递增,
    所以,所以成立.
    综上所述,.
    选②
    .
    设,则.
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增.
    所以,,
    因此,
    当且仅当时,等号成立.
    设,,则.
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增.
    因此,
    从而,则,
    因为,所以中的等号不成立,故.
    2.(2023·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知函数,,
    (1)若,证明:.
    (2)若,
    ①证明:函数存在唯一的极值点.
    ②若,且,证明:.
    【解析】(1)证明:令,则
    所以当时,单调递增;当时,单调递减,
    所以
    所以,当且仅当等号成立.
    即:.
    (2)①证明:函数的定义域为,
    则,,
    令,,
    则在上恒成立,
    所以函数在上单调递减.
    因为,
    所以,
    又因为,
    所以,
    所以,
    由零点存在性定理可知,在上存在唯一零点.
    又当时,,即,函数单调递增,
    当时,,即,函数单调递减,
    所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
    ②证明:由①知,,则,
    即,
    则(*),
    由,,知,
    又因为,即,
    所以(**),
    所以由(*)(**)可得,
    由(1)知时,,
    所以,
    所以,
    所以,即,
    所以,即.
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.
    (Ⅰ)证明:;
    (Ⅱ)证明:;
    (Ⅲ)若,记数列的前项和为,证明:.
    【解析】(Ⅰ)设,其中,,
    所以,函数在区间上单调递增,则,则.
    再用数学归纳法证明.
    ①因为,所以,由知;
    ②假设当时,,
    则当时,因为,所以,
    由得,
    综上由①②知对一切恒成立;
    (Ⅱ)要证,即证,其中,
    令,则,
    所以,函数在区间上单调递增,从而,
    即,得证;
    (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,.
    因为当时,,
    又,所以,所以,
    构造数列,则,即,
    所以,数列从第项开始单调递减,此时,,则,
    则,可得,
    从而,
    又时,,所以得证.
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)求曲线在处切线的斜率;
    (2)当时,证明:;
    (3)证明:.
    【解析】(1),则,
    所以,故处的切线斜率为;
    (2)要证时,即证,
    令且,则,
    所以在上递增,则,即.
    所以时.
    (3)设,,
    则,
    由(2)知:,则,
    所以,故在上递减,故;
    下证,
    令且,则,
    当时,递增,当时,递减,
    所以,故在上恒成立,
    则,
    所以,,…,,
    累加得:,而,
    因为,所以,
    则,
    所以,故;
    综上,,即.
    5.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知函数,其中.
    (1)若,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若,
    (i)证明:;
    (ii)判断函数在上的单调性,并证明.
    【解析】(1)由题意,,则切线的斜率是,
    而,于是切线方程为:,
    即,当时,
    (2)(i)令,则,
    再令,则,
    故时,,递减,则,
    即时,,于是.
    ,故,
    又,则,即,得证.
    (ii),设,则,
    由可知,,根据指数函数的值域可知,,
    即在上单调递增,结合,注意到

    由于,则,于是,类似可得,于是.
    令,,于是时,,递增,于是.
    故,于是在上递减.
    由和可得,.
    根据在上递减可得,,即,
    结合可知得证.
    6.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数.
    (1)当时,证明:恒成立;
    (2)当时,证明:.
    【解析】(1)函数时,,单调递减,
    当,单调递减,
    ,
    令,,单调递增,
    ,恒成立,
    当,
    所以时, 恒成立;
    (2),,单调递减,
    ,恒成立
    ,令,,
    令,可得
    令,可得
    令,可得
    两边相加可得
    7.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数,,为自然对数的底数.
    (1)证明:函数存在唯一的极值点;
    (2)在(1)的条件下,若,且,证明:.
    【解析】(1)证明:函数的定义域为,
    则,
    令,因为,
    则在恒成立,
    所以函数在上单调递增,
    因为,所以,所以,,
    所以函数在上存在唯一零点.
    又当时,,即,函数单调递增,
    当时,,即,函数单调递减,
    所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
    (2)证明:由(1)知,,,则,即,
    则.①
    又,即,则有.②
    联立①②可得,
    令,则,
    当时,,即,,
    所以单调递减,则,
    即在恒成立,所以,
    所以,则,即,
    即,即.
    8.(2023·浙江绍兴·统考二模)设函数,其中.
    (1)当时,求函数的值域;
    (2)设,当时,
    ①证明:函数恰有两个零点;
    ②若为函数的极值点,为函数的零点,且,证明:.
    【解析】(1)当时,,显然函数的定义域为.
    令得,
    令,解得:;令,解得:,
    在上单调递增,在上单调递减.
    .
    且当趋近于,趋近于负无穷,当趋近于正无穷,趋近于负无穷,
    故函数的值域是.
    (2)①显然,定义域为.

    令,则由可知,
    在单调递减,且当趋近于,趋近于.

    存在唯一的使得,
    所以当时,,当,,
    于是在上单调递增,在上单调递减,
    从而.,
    令,
    若,可得:;若,可得:,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所以,所以,当时取等,
    由知:

    ,,
    (注意:且,则,即递增,故;
    且且,则,即递减,故;
    所以、在上恒成立.)
    在都各有一个唯一零点,故恰有两个零点.
    ②由题意得,由于,要证,即证.
    ,由(1)知,
    从而,
    令,则,且,
    令,
    令,则;令,则;
    则在上单调递减,在上单调递增,
    ,所以,
    故.
    于是在上单调递减,故,即,即.
    9.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模)已知函数,其中,为自然对数的底数.
    (1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
    (2)当,时,
    ①证明:方程恰有一个根;
    ②设为的极小值点,为的零点,证明:.
    参考数据:.
    【解析】(1)在上恒成立,即在上恒成立,
    即在上恒成立,
    令,则,
    由,得,
    当,即时,,函数为增函数,
    当,即时,,函数为减函数,
    所以
    所以;
    (2)当时,,,
    ①(i)当时,,即在上没有零点,
    (ii)当时,令,则,
    所以在上单调递增,,,
    所以在上存在唯一实根,
    当时,,当时,,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    又因为,,,
    所以在上没有零点,在上有且只有一个零点,
    综上,函数在上恰有一个零点;
    ②由①得,
    因为为的极值点,所以,即,
    因为的导函数为在上恒成立,
    所以在上单调递减,因此恒成立,
    即对任意成立,所以,,
    所以有,即,即有成立,
    令,,,
    所以在上单调递增,
    又,,
    所以在上有且仅有一个零点,设为,
    而,所以,故,
    由①,所以,
    故.
    10.(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知函数
    (1)判断函数的零点个数;
    (2)证明:当时,证明:
    【解析】(1)函数,定义域为,,,设,
    则,则在上单调递减,
    即在上单调递减,
    当时,,
    此时单调递增,,故函数无零点.
    下证:当时,,
    令,则,
    当时,;当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    故,也即,故,
    当时,单调递减,,

    所以存在唯一的,使得
    函数在上单调递增,在上单调递减,,
    所以在上存在一个零点.
    综上:函数恰有两个零点.
    (2)由(1)可知,在上恒成立,
    于是可得,其中,
    以上各式左右相加得,,
    所以.
    11.(2023·全国·校联考模拟预测)在数学中常有“数形结合”的思想,即找到代数式的几何意义,比如:的几何意义便是抛物线上的点P到点和点的距离之和,进而可以简化计算.现在,已知函数的两个零点分别为.
    (1)当a=1时,证明:;
    (2)当a≥1时,证明:.
    【解析】(1)当时,,,令,,
    令,求导得,
    显然在上单调递增,,
    ,于是存在,使得单调递减,
    单调递增,于是
    ,,
    因此存在,使得,又,因此存在,使得,
    从而有,而,所以.
    (2)当时,,,令,,
    令,求导得,
    显然在上单调递增,,
    ,于是存在,使得单调递减,
    单调递增,而,则,使得,即,
    令,,
    令,,函数在上递增,
    ,即有,函数在上递减,,
    即当时,,因此,
    ,则,使得,令,
    ,函数在上递减,则,即,
    于是,解得,
    令,则,,其中,
    令,,
    即函数在上单调递减,,
    由知,,因此椭圆与曲线有两个交点,其横坐标分别为,
    椭圆的焦点,在上任取点,则,
    从而,而
    所以
    .
    12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)证明:,.
    【解析】(1)证明:,
    令恒成立,解得,
    当时,解得,当,解得,
    此时在上单调递减,在上单调递增;
    所以在取得最小值,,恒成立,
    即成立.
    (2)证明:由(1)可知,在上单调递增,且,
    所以在恒成立,即,,
    当时,令,则,,
    所以,
    所以,,……,,
    所以,
    即,.得证.
    13.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
    (1)证明:;
    (2)证明:.
    【解析】(1),令,解得,
    当时,解得;当,解得,
    则在上单调递减,在上单调递增;
    所以在取得最小值,,
    恒成立,即恒成立.
    (2)由(1)知,在上单调递增,且
    所以在恒成立,即在恒成立.
    所以在恒成立.
    则当时,恒成立,
    令,则,所以.
    所以,
    即.
    所以,故得证.
    14.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
    (1)求的单调区间;
    (2)证明:;
    (3)设,,证明:.
    【解析】(1)由得:,解得:或,
    的定义域为;
    方法一:当时,,
    的单调递增区间为和,无单调递减区间;
    方法二:由题意得:,
    在,单调递增,为增函数,
    的单调递增区间为和,无单调递减区间.
    (2)定义域为,,
    是偶函数,等价于当时,;
    设,则,单调递减,
    当时,;即当时,;
    设,则当时,,
    当时,为增函数,
    且,,
    存在唯一,使得,即,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增,

    当时,;
    在上恒成立,即;
    综上所述:当时,,.
    (3)由,,可知,
    ,即,其中,
    又,且由(1)可知在单调递增,
    当且仅当时,即时,成立,
    .
    由(2)可知:当时,,,

    15.(2023·全国·模拟预测)已知函数,.
    (1)若,求函数的单调区间.
    (2)若,
    ①证明:函数存在唯一的极值点.
    ②若,且,证明:.
    【解析】(1)当时,函数,定义域为,
    在上恒成立,
    则函数在上单调递增,
    所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间.
    (2)①函数的定义域为,
    则,.
    令,,
    则在上恒成立,
    所以函数在上单调递减.
    因为,所以,,,,
    所以函数在上存在唯一零点.
    又当时,,即,函数单调递增,
    当时,,即,函数单调递减,
    所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
    ②由①知,,则,即,则(*),
    由,,知,
    又,即,则(**),
    (**)÷(*)得,
    令,则
    所以当时,单调递减,
    所以当时,,即在上恒成立,
    所以,
    所以,则,即,
    即,即.
    16.(2023·北京·高三校考强基计划)已知函数,其中.
    (1)证明:有唯一零点.
    (2)设为函数的零点,证明:
    ①;
    ②.
    参考数据:.
    【解析】(1)函数的导函数,
    于是函数在定义域上单调递增,又,
    且,
    因此函数有唯一零点.
    (2)①只需要证明
    第一个不等式可以由(且)中令得到.
    第二个不等式可以令,则,且不等式左边为,
    记为,则其导函数,
    因此在时单调递增,因此,
    命题得证.
    ②根据题意,有,
    因此

    因此所证明命题即:

    整理得到:

    而根据①的结论,有.
    根据不等式(且),右边不等式得证.
    接下来证明在上,有,
    设,则其导函数,
    于是在定义域上是单调递增函数,
    因此当时,有,因此左边不等式得证.
    综上所述,题中不等式得证.
    17.(2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)已知.
    (1)若关于x的方程有解,求实数a的最小值;
    (2)证明不等式;
    (3)类比(2)中不等式的证明方法,尝试证明:(,e为自然对数的底数)
    【解析】(1)定义域是,
    由已知,
    时,,时,,
    ∴在上单调递减,在上单调递增,,时,,
    ∴的值域是,即的范围是,
    ∴的最小值是0;
    (2)由(1)知时,,即,
    分别取得:
    ,,…,,
    这个不等式相加得;
    (3)同样在不等式中,分别令,得
    ,,…,,
    相加得,
    所以,
    设,则,
    时,,单调递增,所以,即时,,
    分别令,得
    ,,…,,
    相加得,
    ∴,
    综上,.
    18.(2023·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知函数,.
    (1)求在处的切线方程;
    (2)判断函数在区间上零点的个数,并证明;
    (3)函数在区间上的极值点从小到大分别为,证明:.
    【解析】(1),在处的切线方程为即.
    (2)函数在区间上有两个零点,
    证明如下:
    当时,,
    在区间上单调递减,在区间上无零点;
    当时,,
    在区间上单调递增,,
    在区间上唯一零点;
    当时,,
    在区间上单调递减,,
    在区间上唯一零点;
    综上可知,函数在区间上有两个零点.
    (3)证明:因为,由(2)知在无极值点;
    设在内的零点为,则时,,
    则时,,
    故在有极小值点,即为;
    设在内的零点为,则时,,
    则时,,
    故在有极大值点,即为,


    由,得,
    即,结合,故,
    ,函数在单调递增,
    故由,得,

    由在单调递减,
    得,即,故.
    19.(2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测)已知函数.
    (1)求函数的极值;
    (2)当时,若函数有两个零点.
    ①证明:;
    ②证明:.
    【解析】(1)由题意可得:,
    ∵在上单调递增,且,
    ∴当时,,当时,,
    即当时,,当时,,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    可得有极小值,无极大值.
    (2)若函数有两个零点,则,解得,
    当时,则,
    结合的单调性可知:在,内均只有一个零点,则,
    构建,则当时恒成立,
    故在上单调递增,
    ①令,则等价于,等价于,等价于,
    ∵在上单调递增,则,
    即,故.
    ②若函数有两个零点,令,即,
    则,可得,
    故,
    由,则,
    ∵在上单调递增,则,即,
    ∴当时恒成立,
    又∵在上单调递减,且,
    ∴,即,
    故.
    20.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
    (1)若方程在区间内有且仅有两个不同的实数解.
    ①求实数a的取值范围;
    ②证明:.
    (2)设函数的零点按从小到大的顺序依次为,极值点按从小到大的顺序依次为,证明:.
    【解析】(1)①时,,
    当时,单调递增,当时,单调递减,
    且,,,
    要想有且仅有两个不同的实数解,需要,
    即实数a的取值范围为.
    ②要证,即证,
    不妨设,由①知,可得,
    由题意得:,因为,所以,
    即,由基本不等式得:,
    当且仅当,即时等号成立,
    因为,所以,故等号取不到,
    故,平方得到,证毕;
    (2)证明:因为恒成立,
    令,则,即,
    故,
    ,令,
    则,即,
    由余弦函数性质可知为的变号零点,
    故为函数的极值点,
    故,
    故,
    所以,
    故只需证明,
    即;
    设函数,则,
    当时,;当时,,
    故在递增,在递减,则,
    故,当且仅当时取等号,


    故只需再证明,
    当时,,即该式成立;
    假设时,,
    则时,,


    即,
    故时,,
    综合知,
    故.
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
    (1)证明:;
    (2)证明:.
    【解析】(1),
    令,得;令,得,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所的最小值为,所以.
    (2)由(1)知,当时,,即, 即,即,
    令,得,
    所以

    故.
    22.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的最小值和的最大值相等.
    (1)求;
    (2)证明:;
    (3)已知是正整数,证明:.
    【解析】(1)由题意得:的定义域为,的定义域为,
    因为,
    所以当时,,在上单调递减,
    当时,,在上单调递增,
    所以,
    又因为,
    若,则,在上单调递增,无最大值;
    若,;令,解得:,
    所以当时,,在上单调递增,
    当时,,在上单调递减,
    故,
    令,则,
    当时,,当时,,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    所以,
    综上:;
    (2)要证明,只需证,
    由(1)知:,当且仅当时,等号成立,
    故只需证,且等号成立的条件与不同,
    设,,
    当时,,单调递增,
    当时,,单调递减,
    所以在处取得极大值,也是最大值,
    故,当且仅当时等号成立,
    故;
    (3)要证明,
    只需证,
    即证,
    设,,
    所以,
    所以在上单调递增,,
    所以,
    综上:成立.
    23.(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,证明:对任意的,都有;
    (2)证明:.
    【解析】(1)设函数,
    在上单调递增,,即
    又因为,因为,
    所以,即在恒成立,所以,得证.
    (2)
    ,而,欲证
    即证,也就是证对即可.
    即证,即证,观察可知与有关系,
    由(1)知时对恒成立
    即,故得证毕.
    24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)若是函数的极值点,证明:;
    (2)证明:对于,存在的极值点,满足.
    【解析】(1)函数在定义域上可导,①
    令,得.
    显然,对于满足上述方程的有,
    上述方程化简为.此方程一定有解.的极值点一定满足.
    由,得.
    因此,.
    (2)设,,,则 ,
    所以在,,上单调递增,
    由于为奇函数,所以不妨设,其中,且为相邻的两个零点,
    即,,,

    由于在,,上单调递增,
    所以,
    因此,

    所以,因此,故,
    由于当时,令 ,所以 在单调递增,所以当时, ,
    由于

    则,
    所以 ,
    记在单调递增,
    由于,,,所以 ,
    所以
    综上,.
    x
    +
    0
    -
    增函数
    极大值
    减函数
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