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新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展08利用导数多维度证明不等式(13种考向)(原卷版+解析)
展开命题方向一:直接法
命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
命题方向三:分析法
命题方向四:凹凸反转、拆分函数
命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
命题方向六:放缩法
命题方向七:虚设零点
命题方向八:同构法
命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
命题方向十二:函数与数列不等式问题
命题方向十三:三角函数
【方法技巧与总结】
利用导数证明不等式问题,方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
(4)对数单身狗,指数找基友
(5)凹凸反转,转化为最值问题
(6)同构变形
【典例例题】
命题方向一:直接法
例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,
(1)证明 :;
(2)证明:.
例2.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:;
(2)证明:;
(3)证明:.
命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
例3.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数.
(1)证明:;
(2)讨论的单调性,并证明:当时,.
例4.已知曲线与曲线在公共点处的切线相同,
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求证:当时,.
命题方向三:分析法
例5.已知函数,已知是函数的极值点.
(1)求;
(2)设函数.证明:.
例6.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若,证明当时,.
命题方向四:凹凸反转、拆分函数
例7.(2023·北京·高三专题练习)已知函数,当,时,证明:任意的,都有恒成立.
例8.(2023·河南开封·校考模拟预测)设函数,.
(1)若函数在上存在最大值,求实数的取值范围;
(2)当时,求证:.
命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
例9.已知函数.
(Ⅰ)当时,求在,上最大值及最小值;
(Ⅱ)当时,求证.
例10.已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为.
(1)求、的值;
(2)当且时.求证:.
命题方向六:放缩法
例11.(2023·全国·高三专题练习)已知,,.
(1)当时,求函数的极值;
(2)当时,求证:.
例12.(2023·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数 (,为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:.
命题方向七:虚设零点
例13.(2023·广东佛山·高三统考开学考试)已知函数,其中,.
(1)证明:函数有唯一零点;
(2)设为函数的零点.
①证明;
②写出一个代数式,使,并证明这一结论.
例14.(2023·全国·高三专题练习)设函数,,其中.
(1)若,证明:当时,;
(2)设,且,其中是自然对数的底数.
①证明恰有两个零点;
②设如为的极值点,为的零点,且,证明:.
命题方向八:同构法
例15.(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知过点可以作曲线的两条切线,切点分别为、,线段的中点坐标为,其中是自然对数的底数.
(1)若,证明:;
(2)若,证明:
例16.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:在上恒成立;
(3)求证:当时,.
命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
例17.(2023·全国·高三专题练习)证明不等式:.
例18.(2023·全国·高三专题练习)证明:
例19.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时.若正实数,满足,,,,证明:.
命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
例20.(2023·辽宁大连·统考三模)(1)非零实数,满足:.证明不等式:.
(2)证明不等式:.
例21.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的导函数的单调性;
(2)若,求证:对,恒成立.
例22.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)设为正实数且.
(i)若,证明:;
(ii)若,证明:.
命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
例23.(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论的极值点个数;
(2)若有两个极值点,直线过点.
(i)证明:;
(ii)证明:.
例24.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)证明:;
(3)若函数有两个零点,,证明.
命题方向十二:函数与数列不等式问题
例25.(2023·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习)已知函数f(x)=a(csx﹣1)﹣blnx+xsinx.
(1)若a=1,b=0,证明:f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
(2)若a=0,b=π,
①证明:时,f(x)>0;
②证明:>π[ln(n+1)﹣ln2](其中n≥2,且n∈N+).
例26.(2023·浙江绍兴·高三统考期末)已知函数,其中.
(1)证明:;
(2)证明:对任意的,存在,使得;
(3)在(2)的条件下,证明:.
例27.(2023·山东·高三专题练习)已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)当时,证明:;
(2)设函数,当时,证明:;
(3)若数列满足:,,.证明:.
命题方向十三:三角函数
例28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
例29.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:当时,.
(2)证明:当时,.
【过关测试】
1.(2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)已知函数.
(1)若函数,讨论的单调性;
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明,若两个都证明,则按第一个证明计分.
①若函数,,且,证明:.②若函数,证明:.
2.(2023·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知函数,,
(1)若,证明:.
(2)若,
①证明:函数存在唯一的极值点.
②若,且,证明:.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)若,记数列的前项和为,证明:.
4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求曲线在处切线的斜率;
(2)当时,证明:;
(3)证明:.
5.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知函数,其中.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,
(i)证明:;
(ii)判断函数在上的单调性,并证明.
6.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数.
(1)当时,证明:恒成立;
(2)当时,证明:.
7.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数,,为自然对数的底数.
(1)证明:函数存在唯一的极值点;
(2)在(1)的条件下,若,且,证明:.
8.(2023·浙江绍兴·统考二模)设函数,其中.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设,当时,
①证明:函数恰有两个零点;
②若为函数的极值点,为函数的零点,且,证明:.
9.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当,时,
①证明:方程恰有一个根;
②设为的极小值点,为的零点,证明:.
参考数据:.
10.(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知函数
(1)判断函数的零点个数;
(2)证明:当时,证明:
11.(2023·全国·校联考模拟预测)在数学中常有“数形结合”的思想,即找到代数式的几何意义,比如:的几何意义便是抛物线上的点P到点和点的距离之和,进而可以简化计算.现在,已知函数的两个零点分别为.
(1)当a=1时,证明:;
(2)当a≥1时,证明:.
12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
(1)证明:;
(2)证明:,.
13.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
(1)证明:;
(2)证明:.
14.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)设,,证明:.
15.(2023·全国·模拟预测)已知函数,.
(1)若,求函数的单调区间.
(2)若,
①证明:函数存在唯一的极值点.
②若,且,证明:.
16.(2023·北京·高三校考强基计划)已知函数,其中.
(1)证明:有唯一零点.
(2)设为函数的零点,证明:
①;
②.
参考数据:.
17.(2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)已知.
(1)若关于x的方程有解,求实数a的最小值;
(2)证明不等式;
(3)类比(2)中不等式的证明方法,尝试证明:(,e为自然对数的底数)
18.(2023·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知函数,.
(1)求在处的切线方程;
(2)判断函数在区间上零点的个数,并证明;
(3)函数在区间上的极值点从小到大分别为,证明:.
19.(2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测)已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,若函数有两个零点.
①证明:;
②证明:.
20.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)若方程在区间内有且仅有两个不同的实数解.
①求实数a的取值范围;
②证明:.
(2)设函数的零点按从小到大的顺序依次为,极值点按从小到大的顺序依次为,证明:.
21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
(1)证明:;
(2)证明:.
22.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的最小值和的最大值相等.
(1)求;
(2)证明:;
(3)已知是正整数,证明:.
23.(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知函数.
(1)当时,证明:对任意的,都有;
(2)证明:.
24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若是函数的极值点,证明:;
(2)证明:对于,存在的极值点,满足.
能力拓展08 利用导数多维度证明不等式
【命题方向目录】
命题方向一:直接法
命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
命题方向三:分析法
命题方向四:凹凸反转、拆分函数
命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
命题方向六:放缩法
命题方向七:虚设零点
命题方向八:同构法
命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
命题方向十二:函数与数列不等式问题
命题方向十三:三角函数
【方法技巧与总结】
利用导数证明不等式问题,方法如下:
(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;
(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
(4)对数单身狗,指数找基友
(5)凹凸反转,转化为最值问题
(6)同构变形
【典例例题】
命题方向一:直接法
例1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,
(1)证明 :;
(2)证明:.
【解析】(1)证明:令,
则,当时,即函数在递减,
则,所以;
(2)由(1)知用代换得,再以代换得,
即,即,则
令,因为,所以,即
则
例2.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:;
(2)证明:;
(3)证明:.
【解析】证明:(1)令,则有.
令得,,令得,所以在单调递减,上单调递增.
所以,即.
所以.
(2)令,则.
令得,,令得,.所以在单调递增,上单调递减,
所以,即,
所以.
(3)由(1)得,所以(当且仅当时取等号)①.
由(2)得,所以(当且仅当时取等号)②
因为①式与②式取等号的条件不同,所以.
命题方向二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)
例3.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数.
(1)证明:;
(2)讨论的单调性,并证明:当时,.
【解析】(1)证明:令,则,
所以在上单调递减,所以,即.
令,则有,
所以,所以,即.
(2)由可得,
令,则,
令,则,
所以在上单调递增,.
令,则有,
所以在上单调递增,所以在上单调递增,
所以对于,有,
所以,所以,
即,
整理得:.
例4.已知曲线与曲线在公共点处的切线相同,
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求证:当时,.
【解析】(Ⅰ)解:,,
依题意(1)(1),;
(Ⅱ)证明:由,得,
令,则,
时,,递减;
时,,递增.
时,(1),即,
综上所述,时,.
命题方向三:分析法
例5.已知函数,已知是函数的极值点.
(1)求;
(2)设函数.证明:.
【解析】(1)解:由题意,的定义域为,
令,则,,
则,
因为是函数的极值点,则有,即,所以,
当时,,且,
因为,
则在上单调递减,
所以当时,,
当时,,
所以时,是函数的一个极大值点.
综上所述,;
(2)证明:由(1)可知,,
要证,即需证明,
因为当时,,
当时,,
所以需证明,即,
令,
则,
所以,当时,,
当时,,
所以为的极小值点,
所以,即,
故,
所以.
例6.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若,证明当时,.
【解析】(1)因为,所以,切线斜率为
因为,所以切点为
切线方程为即
(2)法一:令,所以,
所以在单调递增,,
所以,所以,
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明,即
两边同取对数得:
令,
则
显然在递增,
所以存在当时递减,
当时递增;
因为
所以在上恒成立,所以原命题成立
法二:设则,
要证:
需证:
即证:
因为,需证,即证:
①时必然成立
②时,因为所以只需证明,
令,,
令,
∴在上为增函数
因为
,所以
所以存在,使得
∴在上为减函数,在上为增函数
∴
综上可知,不等式成立
命题方向四:凹凸反转、拆分函数
例7.(2023·北京·高三专题练习)已知函数,当,时,证明:任意的,都有恒成立.
【解析】由题设有,设,,
要证即证.
下面证明:当时,.
此时,,
当时,,
故在上为减函数,在上为增函数,
当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,
故在上,有,,
故当时,.
当,,,
当时,要证即证即证,
设,其中,故,
当时,;当时,,
故在上为增函数,在上为减函数,
故在上,,
故,所以当时,成立.
综上,任意的,都有恒成立.
例8.(2023·河南开封·校考模拟预测)设函数,.
(1)若函数在上存在最大值,求实数的取值范围;
(2)当时,求证:.
【解析】(1)(1)由得:(),
①当时,,所以在上单调递增,在不存在最大值,
②当时,令,解得:,
当时,,在上单调递增,
当时,在上单调递减,
所以在时,取得最大值,
又由函数在上存在最大值,
因此,解得:,
所以的取值范围为.
(2)证明:当时,,且函数的定义域为,
要证明,即证明时,,
只需要证明:时,,
因为,所以不等式等价于
设(),则,
令得:,
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故,且当时,等号成立;
又设(),则,
令得:,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故,且当时,等号成立;
综上可得:时,,且等号不同时成立,
所以时,,
即当时,得证.
命题方向五:对数单身狗,指数找朋友
例9.已知函数.
(Ⅰ)当时,求在,上最大值及最小值;
(Ⅱ)当时,求证.
【解析】解:(Ⅰ),;
时,;,时,;
(1)是函数的极小值,即的最小值;又,(2);
的最大值是;
函数在上的最小值是0,最大值是;
(Ⅱ),要证明原不等式成立,只要证明;
设,则;
函数在上是增函数,(1);
;
原不等式成立.
例10.已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为.
(1)求、的值;
(2)当且时.求证:.
【解析】解:(1)函数的导数为,
曲线在点,(1)处的切线方程为,
可得(1),(1),
解得;
(2)证明:当时,,
即为,
即,
当时,,
即为,
设,,
可得在递增,
当时,(1),即有;
当时,(1),即有.
综上可得,当且时,都成立.
命题方向六:放缩法
例11.(2023·全国·高三专题练习)已知,,.
(1)当时,求函数的极值;
(2)当时,求证:.
【解析】(1),当时,,即在上单调递减,
故函数不存在极值;
当时,令,得,
故,无极小值.
综上,当时,函数不存在极值;
当时,函数有极大值,,不存在极小值.
(2)显然,要证:,
即证:,即证:,
即证:.
令,故只须证:.
设,则,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
即,所以,从而有.
故,即.
例12.(2023·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数 (,为自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:.
【解析】(1),
(ⅰ)当时,,所以,,
则在上单调递增,在上单调递减;
(ⅱ)当时,令,得,
①时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
②时,,则在上单调递增;
③时,,所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,时,在上单调递增,在上单调递减;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
时,在上单调递增;
时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
(2)方法一:等价于,
当时,,
则当时,,则,
令,
令,
因为函数在区间上都是增函数,
所以函数在区间上单调递增 ,
∵,∴存在,使得,
即,
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
∴,
∴,故.
方法二:当时,,
令,
令,则,
令,则,
当时,,当时,,
∴在区间上单调递减,上单调递增,
∴,即,
∴.
命题方向七:虚设零点
例13.(2023·广东佛山·高三统考开学考试)已知函数,其中,.
(1)证明:函数有唯一零点;
(2)设为函数的零点.
①证明;
②写出一个代数式,使,并证明这一结论.
【解析】证明:(1)由,则定义域为,
,因为,所以,
所以函数在递增,
又,,
所以函数在上有唯一零点,
又因函数在递增,
所以函数有唯一零点;
(2)①因为为函数的零点,则,
因为,所以,
,
令,
则,
因为,所以,则,
所以函数在上递减,
所以,
所以
又,函数在递增,
所以;
②,因为,则,,
,
令,
则,
因为,则,,
所以,
所以函数在上递增,
所以,
所以,
又,函数在递增,
所以,即.
例14.(2023·全国·高三专题练习)设函数,,其中.
(1)若,证明:当时,;
(2)设,且,其中是自然对数的底数.
①证明恰有两个零点;
②设如为的极值点,为的零点,且,证明:.
【解析】令
当时,,所以在上递减,
又在上连续,
所以当时,,即当时,
(2)证明:①,得
令,由,
可知在内单调递减,又,且
.
故在有唯一解,从而在内有唯一解,
不妨设为,则
当时,,所以在内单调递增;
当时,,所以在内单调递减,
因此是的唯一极值点.
由(1)知.从而
又因为,所以在内有唯一零点.
又在内有唯一零点,从而在内恰有两个零点.
②由题意,,即,
从而,即.
因为当时,,又,故
两边取对数,得,于是
整理得.
命题方向八:同构法
例15.(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知过点可以作曲线的两条切线,切点分别为、,线段的中点坐标为,其中是自然对数的底数.
(1)若,证明:;
(2)若,证明:
【解析】(1)证明:函数的导函数为.
设、,
则曲线在处的切线方程为.
因为切线过点,所以,①
同理可得,②
所以、是方程的两个不等实根.
当时,,
设,则直线与函数的图象有两个交点,
,当时,,此时递增;当时,,此时递减.
所以,函数的极大值为,
当时,;当时,,如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,
综上所述,.
(2)证明:由①②可知,,
于是,
不妨设,则,
则.
又,所以.
设,其中,则,
所以在区间上是增函数,
所以当时,,即当时,.(*)
而,所以.
又由和,
得.
而.
所以
,
一方面,由(*)可知,当时,,
结合可知,.
另一方面,设,,
则,
令,其中,则,
所以,函数在上为增函数,
故当时,,即,
所以当时,,所以在区间上是增函数,
所以当时,,即当时,,
所以.
故,即.
综上所述,.
例16.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:在上恒成立;
(3)求证:当时,.
【解析】(1)解:函数的定义域为,,
令,即,△,解得或,
若,此时△,在恒成立,
所以在单调递增.
若,此时△,方程的两根为:
,且,,
所以在上单调递增,
在上单调递减,
在上单调递增.
若,此时△,方程的两根为:
,且,,
所以在上单调递增.
综上所述:若,在单调递增;
若,在,上单调递增,
在上单调递减.
(2)证明:由(1)可知当时,函数在上单调递增,
所以(1),所以在上恒成立.
(3)证明:由(2)可知在恒成立,
所以在恒成立,
下面证,即证2 ,
设,,
设,,
易知在恒成立,
所以在单调递增,
所以,
所以在单调递增,
所以,
所以,即当时,.
法二:,即,
令,则原不等式等价于,
,令,则,递减,
故,,递减,
又,故,原结论成立.
命题方向九:泰勒展式和拉格朗日中值定理
例17.(2023·全国·高三专题练习)证明不等式:.
【解析】设,则,
,
代入的二阶泰勒公式,有,
.
所以原题得证.
例18.(2023·全国·高三专题练习)证明:
【解析】证明:设,则在处带有拉格朗日余项.
三阶泰勒公式
例19.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时.若正实数,满足,,,,证明:.
【解析】解:(1),,△,
①时,恒成立,
故函数在递增,无递减区间,
②时,或,
故函数在,,递增,在,递减,
综上,时,函数在递增,无递减区间,
时,函数在,,递增,在,递减,
(2),对,恒成立,
即,时,恒成立,
令,,则,
令,
则,在递减且(1),
时,,,递增,
当,,,递减,
(1),
综上,的范围是,.
(3)证明:当时,,
,不妨设,
下先证:存在,,使得,
构造函数,
显然,且,
则由导数的几何意义可知,存在,,使得,
即存在,,使得,
又为增函数,
,即,
设,则,,
①,
②,
由①②得,,
即.
命题方向十:分段分析法、主元法、估算法
例20.(2023·辽宁大连·统考三模)(1)非零实数,满足:.证明不等式:.
(2)证明不等式:.
【解析】证明:(1)显然:且且,
原不等式,
.
令且,
则,令,
则,
当时,在递增,,
时,在递减,,
在上递减,在上递减,
在时,,在时,.
∴.
(2)∵,
,
原不等式等价为,
即证,
在(1)中,令,则,
在(1)中,令,则,
.
例21.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的导函数的单调性;
(2)若,求证:对,恒成立.
【解析】(1)由已知可得,,设,
则.
当时,有恒成立,所以,即在R上单调递增;
当时,由可得,.
由可得,,所以,即在上单调递减;
由可得,,所以,即在上单调递增.
综上所述,当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)因为,所以对,有.
设,则.
解可得,或或.
由可得,,所以,函数在上单调递增;
由可得,或,所以,函数在上单调递减,在上单调递减.
所以,在处取得极大值,在处取得极小值.
又,所以,即.
所以,有,
整理可得,,
所以,有,恒成立.
例22.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)设为正实数且.
(i)若,证明:;
(ii)若,证明:.
【解析】(1)令且,则,
所以在上递减,故,即,
所以时.
(2)(i)设,证明:,
不妨设,且,则,
.
设,则,.
设,则.
于是,在内单调递增,当趋向于时,趋向于,故.
由得:,则在内单调递减,当趋向于时,趋向于e,故.
因此,.
(ii)证明:,其中,
由对称性知:不妨设,令,此时,
令且,则,即递减,
所以,即,故,则单调递增,
则,于是,
令,此时,单调递增,
则
令,此时,
令,则,
所以递增,即递增,则,
于是,单调递增,则.
命题方向十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值
例23.(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论的极值点个数;
(2)若有两个极值点,直线过点.
(i)证明:;
(ii)证明:.
【解析】(1)因为定义域为,且,
当时,恒成立,
在上单调递增,极值点个数为;
当时,对于函数,,
所以恒成立,
所以在上单调递增,极值点个数为;
当时,由得,或,
由得,或;由得,.
所以单调递减区间为,单调递增区间为.
所以为极大值点,为极小值点,极值点个数为.
综上,当时,极值点个数为;当时,极值点个数为2.
(2)(i)由(1)知,,不妨设,
则,,
所以,
要证成立,
只需证明,
只需证明,
令,则,
所以在上单调递减,
所以,
所以成立.
所以.
(ii)由得,
要证成立,
只需证明,
因为,
所以只需证明,
只需证明,
只需证明,即,
因为成立,所以成立.
例24.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求,的值;
(2)证明:;
(3)若函数有两个零点,,证明.
【解答】(1)解:函数的定义域为,
,
(1),
曲线在点处的切线方程为即,
,;
(2)证明:令,
则,
令,则,
单调递增,又(1),
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
(1),
,
,
(3)证明:的两个零点,,即为的两根,不妨设,
由题知,曲线在处的切线方程为,
令,即即的根为,则,
由(2)知,
,
单调递增,
,
设曲线在处的切线方程为,
,
,
设方程即的根为,则,
令,
由(2)同理可得,即,
,
又单调递减,
,
.
命题方向十二:函数与数列不等式问题
例25.(2023·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习)已知函数f(x)=a(csx﹣1)﹣blnx+xsinx.
(1)若a=1,b=0,证明:f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
(2)若a=0,b=π,
①证明:时,f(x)>0;
②证明:>π[ln(n+1)﹣ln2](其中n≥2,且n∈N+).
【解析】(1)若a=1,b=0,则f(x)=csx﹣1+xsinx,f′(x)=xcsx,
当时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又,
∴f(x)在区间(0,π)内存在唯一零点;
(2)若a=0,b=π,则,
①,
令,易知g(x)在上单调递增,
∴,即f′(x)<0,
∴f(x)在上单调递减,
∴,即得证;
②当n≥2,n∈时,,
又,故,
则,
由①知,时,xsinx>πlnx,
令,,
∴,
以上各式相加得,
,
即,
即,即得证.
例26.(2023·浙江绍兴·高三统考期末)已知函数,其中.
(1)证明:;
(2)证明:对任意的,存在,使得;
(3)在(2)的条件下,证明:.
【解析】(1)定义域是,
设,则,
时,,时,,
所以在单调递减,在单调递增,
所以,即.
(2)证明:,
所以在上单调递增,在单调递减,
且,由(1)可知,
取,
,
由以上知在存在唯一的非零实数根.
(3)当时,,即,设,
设,,
∵,所以函数单调递减,
所以等价于证明,
等价于,即,
设,
,由(1)可知,
所以,,
所以当时,,故在单调递减,
所以,故.
例27.(2023·山东·高三专题练习)已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)当时,证明:;
(2)设函数,当时,证明:;
(3)若数列满足:,,.证明:.
【解析】(1)由题知:,
所以,
所以,令,则,
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减;
所以,即
所以在区间上单调递减,
所以
又因为,所以,
所以
综上知:当时,
(2)由题意,因为
所以
由(1)知:在区间上单调递减,所以,
又因为当时,
所以,在区间上单调递增,所以
由(1)可知:,又,∴
综上可知:
(3)由(1)(2)知:
若,,若,
因为,∴,,
所以,,
当时,
当时,
所以,从而
命题方向十三:三角函数
例28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
【解析】(1)当时,,其中,
所以,且,
因为函数和都是减函数,故也是减函数.
所以当时,单调递增,当时,,
单调递减,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)根据题意可知,,
设,则单调递减,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以.
(3)法一:若,则,
由(2)可知,,
所以,故,
此时,故,
所以,其中.
当时,,故当时,,
当时,若,则,
若,则,故,
所以当时,成立,故在单调递增,
所以.
设,则,
因为函数和都是减函数,故也是减函数,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以.
综上,当时,.
法二:
若,则,
由(2)可知,,
所以,故,
此时,故,
所以,其中,
.
成立,故在单调递增,
所以.
设,则,
因为函数和都是减函数,故也是减函数,
所以当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以.
综上,当时,.
例29.(2023·全国·高三专题练习)(1)证明:当时,.
(2)证明:当时,.
【解析】(1)设,则.
令,则.
令,则,
所以在上单调递增,所以,即,
所以,即在上单调递增,因此,
所以在上单调递增,即,故.
(2)当时,等价于.
设.
∵当时,,
则
.
因此在上单调递增,
∴,
即当时,.
【过关测试】
1.(2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)已知函数.
(1)若函数,讨论的单调性;
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明,若两个都证明,则按第一个证明计分.
①若函数,,且,证明:.②若函数,证明:.
【解析】(1)因为,所以,
的定义域为,.
当时,,在上单调递增.
当时,若,,单调递减;
若,,单调递增.
综上所述:当时, 在上单调递增.
当时, 在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:选①
因为,所以,
的定义域为,且.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
不妨设,则,由,
可知.当时,显然成立.
当时,,由,且,
可知,则,.
设,,,在上单调递增,
所以,所以成立.
综上所述,.
选②
.
设,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以,,
因此,
当且仅当时,等号成立.
设,,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
因此,
从而,则,
因为,所以中的等号不成立,故.
2.(2023·海南·高三海南中学校考阶段练习)已知函数,,
(1)若,证明:.
(2)若,
①证明:函数存在唯一的极值点.
②若,且,证明:.
【解析】(1)证明:令,则
所以当时,单调递增;当时,单调递减,
所以
所以,当且仅当等号成立.
即:.
(2)①证明:函数的定义域为,
则,,
令,,
则在上恒成立,
所以函数在上单调递减.
因为,
所以,
又因为,
所以,
所以,
由零点存在性定理可知,在上存在唯一零点.
又当时,,即,函数单调递增,
当时,,即,函数单调递减,
所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
②证明:由①知,,则,
即,
则(*),
由,,知,
又因为,即,
所以(**),
所以由(*)(**)可得,
由(1)知时,,
所以,
所以,
所以,即,
所以,即.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)若,记数列的前项和为,证明:.
【解析】(Ⅰ)设,其中,,
所以,函数在区间上单调递增,则,则.
再用数学归纳法证明.
①因为,所以,由知;
②假设当时,,
则当时,因为,所以,
由得,
综上由①②知对一切恒成立;
(Ⅱ)要证,即证,其中,
令,则,
所以,函数在区间上单调递增,从而,
即,得证;
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,.
因为当时,,
又,所以,所以,
构造数列,则,即,
所以,数列从第项开始单调递减,此时,,则,
则,可得,
从而,
又时,,所以得证.
4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求曲线在处切线的斜率;
(2)当时,证明:;
(3)证明:.
【解析】(1),则,
所以,故处的切线斜率为;
(2)要证时,即证,
令且,则,
所以在上递增,则,即.
所以时.
(3)设,,
则,
由(2)知:,则,
所以,故在上递减,故;
下证,
令且,则,
当时,递增,当时,递减,
所以,故在上恒成立,
则,
所以,,…,,
累加得:,而,
因为,所以,
则,
所以,故;
综上,,即.
5.(2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测)已知函数,其中.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,
(i)证明:;
(ii)判断函数在上的单调性,并证明.
【解析】(1)由题意,,则切线的斜率是,
而,于是切线方程为:,
即,当时,
(2)(i)令,则,
再令,则,
故时,,递减,则,
即时,,于是.
,故,
又,则,即,得证.
(ii),设,则,
由可知,,根据指数函数的值域可知,,
即在上单调递增,结合,注意到
,
由于,则,于是,类似可得,于是.
令,,于是时,,递增,于是.
故,于是在上递减.
由和可得,.
根据在上递减可得,,即,
结合可知得证.
6.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数.
(1)当时,证明:恒成立;
(2)当时,证明:.
【解析】(1)函数时,,单调递减,
当,单调递减,
,
令,,单调递增,
,恒成立,
当,
所以时, 恒成立;
(2),,单调递减,
,恒成立
,令,,
令,可得
令,可得
令,可得
两边相加可得
7.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数,,为自然对数的底数.
(1)证明:函数存在唯一的极值点;
(2)在(1)的条件下,若,且,证明:.
【解析】(1)证明:函数的定义域为,
则,
令,因为,
则在恒成立,
所以函数在上单调递增,
因为,所以,所以,,
所以函数在上存在唯一零点.
又当时,,即,函数单调递增,
当时,,即,函数单调递减,
所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
(2)证明:由(1)知,,,则,即,
则.①
又,即,则有.②
联立①②可得,
令,则,
当时,,即,,
所以单调递减,则,
即在恒成立,所以,
所以,则,即,
即,即.
8.(2023·浙江绍兴·统考二模)设函数,其中.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设,当时,
①证明:函数恰有两个零点;
②若为函数的极值点,为函数的零点,且,证明:.
【解析】(1)当时,,显然函数的定义域为.
令得,
令,解得:;令,解得:,
在上单调递增,在上单调递减.
.
且当趋近于,趋近于负无穷,当趋近于正无穷,趋近于负无穷,
故函数的值域是.
(2)①显然,定义域为.
,
令,则由可知,
在单调递减,且当趋近于,趋近于.
而
存在唯一的使得,
所以当时,,当,,
于是在上单调递增,在上单调递减,
从而.,
令,
若,可得:;若,可得:,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,当时取等,
由知:
,
,,
(注意:且,则,即递增,故;
且且,则,即递减,故;
所以、在上恒成立.)
在都各有一个唯一零点,故恰有两个零点.
②由题意得,由于,要证,即证.
,由(1)知,
从而,
令,则,且,
令,
令,则;令,则;
则在上单调递减,在上单调递增,
,所以,
故.
于是在上单调递减,故,即,即.
9.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)当,时,
①证明:方程恰有一个根;
②设为的极小值点,为的零点,证明:.
参考数据:.
【解析】(1)在上恒成立,即在上恒成立,
即在上恒成立,
令,则,
由,得,
当,即时,,函数为增函数,
当,即时,,函数为减函数,
所以
所以;
(2)当时,,,
①(i)当时,,即在上没有零点,
(ii)当时,令,则,
所以在上单调递增,,,
所以在上存在唯一实根,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
又因为,,,
所以在上没有零点,在上有且只有一个零点,
综上,函数在上恰有一个零点;
②由①得,
因为为的极值点,所以,即,
因为的导函数为在上恒成立,
所以在上单调递减,因此恒成立,
即对任意成立,所以,,
所以有,即,即有成立,
令,,,
所以在上单调递增,
又,,
所以在上有且仅有一个零点,设为,
而,所以,故,
由①,所以,
故.
10.(2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知函数
(1)判断函数的零点个数;
(2)证明:当时,证明:
【解析】(1)函数,定义域为,,,设,
则,则在上单调递减,
即在上单调递减,
当时,,
此时单调递增,,故函数无零点.
下证:当时,,
令,则,
当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故,也即,故,
当时,单调递减,,
,
所以存在唯一的,使得
函数在上单调递增,在上单调递减,,
所以在上存在一个零点.
综上:函数恰有两个零点.
(2)由(1)可知,在上恒成立,
于是可得,其中,
以上各式左右相加得,,
所以.
11.(2023·全国·校联考模拟预测)在数学中常有“数形结合”的思想,即找到代数式的几何意义,比如:的几何意义便是抛物线上的点P到点和点的距离之和,进而可以简化计算.现在,已知函数的两个零点分别为.
(1)当a=1时,证明:;
(2)当a≥1时,证明:.
【解析】(1)当时,,,令,,
令,求导得,
显然在上单调递增,,
,于是存在,使得单调递减,
单调递增,于是
,,
因此存在,使得,又,因此存在,使得,
从而有,而,所以.
(2)当时,,,令,,
令,求导得,
显然在上单调递增,,
,于是存在,使得单调递减,
单调递增,而,则,使得,即,
令,,
令,,函数在上递增,
,即有,函数在上递减,,
即当时,,因此,
,则,使得,令,
,函数在上递减,则,即,
于是,解得,
令,则,,其中,
令,,
即函数在上单调递减,,
由知,,因此椭圆与曲线有两个交点,其横坐标分别为,
椭圆的焦点,在上任取点,则,
从而,而
所以
.
12.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
(1)证明:;
(2)证明:,.
【解析】(1)证明:,
令恒成立,解得,
当时,解得,当,解得,
此时在上单调递减,在上单调递增;
所以在取得最小值,,恒成立,
即成立.
(2)证明:由(1)可知,在上单调递增,且,
所以在恒成立,即,,
当时,令,则,,
所以,
所以,,……,,
所以,
即,.得证.
13.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知函数.
(1)证明:;
(2)证明:.
【解析】(1),令,解得,
当时,解得;当,解得,
则在上单调递减,在上单调递增;
所以在取得最小值,,
恒成立,即恒成立.
(2)由(1)知,在上单调递增,且
所以在恒成立,即在恒成立.
所以在恒成立.
则当时,恒成立,
令,则,所以.
所以,
即.
所以,故得证.
14.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)设,,证明:.
【解析】(1)由得:,解得:或,
的定义域为;
方法一:当时,,
的单调递增区间为和,无单调递减区间;
方法二:由题意得:,
在,单调递增,为增函数,
的单调递增区间为和,无单调递减区间.
(2)定义域为,,
是偶函数,等价于当时,;
设,则,单调递减,
当时,;即当时,;
设,则当时,,
当时,为增函数,
且,,
存在唯一,使得,即,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
;
当时,;
在上恒成立,即;
综上所述:当时,,.
(3)由,,可知,
,即,其中,
又,且由(1)可知在单调递增,
当且仅当时,即时,成立,
.
由(2)可知:当时,,,
.
15.(2023·全国·模拟预测)已知函数,.
(1)若,求函数的单调区间.
(2)若,
①证明:函数存在唯一的极值点.
②若,且,证明:.
【解析】(1)当时,函数,定义域为,
在上恒成立,
则函数在上单调递增,
所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间.
(2)①函数的定义域为,
则,.
令,,
则在上恒成立,
所以函数在上单调递减.
因为,所以,,,,
所以函数在上存在唯一零点.
又当时,,即,函数单调递增,
当时,,即,函数单调递减,
所以函数在处取得极大值,即函数存在唯一的极值点.
②由①知,,则,即,则(*),
由,,知,
又,即,则(**),
(**)÷(*)得,
令,则
所以当时,单调递减,
所以当时,,即在上恒成立,
所以,
所以,则,即,
即,即.
16.(2023·北京·高三校考强基计划)已知函数,其中.
(1)证明:有唯一零点.
(2)设为函数的零点,证明:
①;
②.
参考数据:.
【解析】(1)函数的导函数,
于是函数在定义域上单调递增,又,
且,
因此函数有唯一零点.
(2)①只需要证明
第一个不等式可以由(且)中令得到.
第二个不等式可以令,则,且不等式左边为,
记为,则其导函数,
因此在时单调递增,因此,
命题得证.
②根据题意,有,
因此
,
因此所证明命题即:
,
整理得到:
,
而根据①的结论,有.
根据不等式(且),右边不等式得证.
接下来证明在上,有,
设,则其导函数,
于是在定义域上是单调递增函数,
因此当时,有,因此左边不等式得证.
综上所述,题中不等式得证.
17.(2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)已知.
(1)若关于x的方程有解,求实数a的最小值;
(2)证明不等式;
(3)类比(2)中不等式的证明方法,尝试证明:(,e为自然对数的底数)
【解析】(1)定义域是,
由已知,
时,,时,,
∴在上单调递减,在上单调递增,,时,,
∴的值域是,即的范围是,
∴的最小值是0;
(2)由(1)知时,,即,
分别取得:
,,…,,
这个不等式相加得;
(3)同样在不等式中,分别令,得
,,…,,
相加得,
所以,
设,则,
时,,单调递增,所以,即时,,
分别令,得
,,…,,
相加得,
∴,
综上,.
18.(2023·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试)已知函数,.
(1)求在处的切线方程;
(2)判断函数在区间上零点的个数,并证明;
(3)函数在区间上的极值点从小到大分别为,证明:.
【解析】(1),在处的切线方程为即.
(2)函数在区间上有两个零点,
证明如下:
当时,,
在区间上单调递减,在区间上无零点;
当时,,
在区间上单调递增,,
在区间上唯一零点;
当时,,
在区间上单调递减,,
在区间上唯一零点;
综上可知,函数在区间上有两个零点.
(3)证明:因为,由(2)知在无极值点;
设在内的零点为,则时,,
则时,,
故在有极小值点,即为;
设在内的零点为,则时,,
则时,,
故在有极大值点,即为,
,
,
由,得,
即,结合,故,
,函数在单调递增,
故由,得,
,
由在单调递减,
得,即,故.
19.(2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测)已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)当时,若函数有两个零点.
①证明:;
②证明:.
【解析】(1)由题意可得:,
∵在上单调递增,且,
∴当时,,当时,,
即当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
可得有极小值,无极大值.
(2)若函数有两个零点,则,解得,
当时,则,
结合的单调性可知:在,内均只有一个零点,则,
构建,则当时恒成立,
故在上单调递增,
①令,则等价于,等价于,等价于,
∵在上单调递增,则,
即,故.
②若函数有两个零点,令,即,
则,可得,
故,
由,则,
∵在上单调递增,则,即,
∴当时恒成立,
又∵在上单调递减,且,
∴,即,
故.
20.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)若方程在区间内有且仅有两个不同的实数解.
①求实数a的取值范围;
②证明:.
(2)设函数的零点按从小到大的顺序依次为,极值点按从小到大的顺序依次为,证明:.
【解析】(1)①时,,
当时,单调递增,当时,单调递减,
且,,,
要想有且仅有两个不同的实数解,需要,
即实数a的取值范围为.
②要证,即证,
不妨设,由①知,可得,
由题意得:,因为,所以,
即,由基本不等式得:,
当且仅当,即时等号成立,
因为,所以,故等号取不到,
故,平方得到,证毕;
(2)证明:因为恒成立,
令,则,即,
故,
,令,
则,即,
由余弦函数性质可知为的变号零点,
故为函数的极值点,
故,
故,
所以,
故只需证明,
即;
设函数,则,
当时,;当时,,
故在递增,在递减,则,
故,当且仅当时取等号,
故
,
故只需再证明,
当时,,即该式成立;
假设时,,
则时,,
而
,
即,
故时,,
综合知,
故.
21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
(1)证明:;
(2)证明:.
【解析】(1),
令,得;令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所的最小值为,所以.
(2)由(1)知,当时,,即, 即,即,
令,得,
所以
,
故.
22.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的最小值和的最大值相等.
(1)求;
(2)证明:;
(3)已知是正整数,证明:.
【解析】(1)由题意得:的定义域为,的定义域为,
因为,
所以当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
所以,
又因为,
若,则,在上单调递增,无最大值;
若,;令,解得:,
所以当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
故,
令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
所以,
综上:;
(2)要证明,只需证,
由(1)知:,当且仅当时,等号成立,
故只需证,且等号成立的条件与不同,
设,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以在处取得极大值,也是最大值,
故,当且仅当时等号成立,
故;
(3)要证明,
只需证,
即证,
设,,
所以,
所以在上单调递增,,
所以,
综上:成立.
23.(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知函数.
(1)当时,证明:对任意的,都有;
(2)证明:.
【解析】(1)设函数,
在上单调递增,,即
又因为,因为,
所以,即在恒成立,所以,得证.
(2)
,而,欲证
即证,也就是证对即可.
即证,即证,观察可知与有关系,
由(1)知时对恒成立
即,故得证毕.
24.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若是函数的极值点,证明:;
(2)证明:对于,存在的极值点,满足.
【解析】(1)函数在定义域上可导,①
令,得.
显然,对于满足上述方程的有,
上述方程化简为.此方程一定有解.的极值点一定满足.
由,得.
因此,.
(2)设,,,则 ,
所以在,,上单调递增,
由于为奇函数,所以不妨设,其中,且为相邻的两个零点,
即,,,
,
由于在,,上单调递增,
所以,
因此,
.
所以,因此,故,
由于当时,令 ,所以 在单调递增,所以当时, ,
由于
,
则,
所以 ,
记在单调递增,
由于,,,所以 ,
所以
综上,.
x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展04活用三次函数的图象和性质(7种考向)(原卷版+解析): 这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)能力拓展04活用三次函数的图象和性质(7种考向)(原卷版+解析),共60页。
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