高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第09讲函数的单调性与最值(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第09讲函数的单调性与最值(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，复合函数的单调性等内容，欢迎下载使用。

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
3、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
1、下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．．
2、函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
3、已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数eq f(x)＝lg\s\d(a)|x－1|在(0，1)上是减函数，那么
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
考向一 函数单调性的证明与判断
例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝ eq \f(x,x2－1)在区间(－1，1)上的单调性．
变式1、判断函数f(x)＝eq \f(x,1＋x2)在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
eq \x(取值)
{eq \x(取值)→eq \x(作差)→eq \x(变形)→eq \x(确定符号)→eq \x(得出结论)
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．
考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
变式1、求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝lg2(x2－2x－3).
变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数eq y＝lg\s\d(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的单调递增区间是______．
变式3、.函数y＝lgeq \f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C.(－2，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；
(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解
考向三 函数的最值
例3、设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值．
变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、 设a＞0且a≠1，函数f(x)＝lga(ax－1)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
变式1、设a＞0且a≠1，函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
变式2、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
1、（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
4、（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
第09讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】
由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
3、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
1、下列函数中，定义域是且为增函数的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四个函数的图象如下
显然B成立．
2、函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意，令，由于，故，
故，由反比例函数的性质，在单调递增，
故当时，；当时，，
故函数在的值域为：.
故选：A.
3、已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，得为奇函数，
，所以在R上是增函数．选A．
4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数eq f(x)＝lg\s\d(a)|x－1|在(0，1)上是减函数，那么
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值
C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
【答案】AD
【解析】由|x－1|＞0得，函数eq y＝lg\s\d(a)|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝EQ \B\lc\{(\a\al(\l(x－1，x＞1，),\l(－x＋1，x＜1，)))则在(－，1)上为减函数，在(1，＋)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；因为f(x)＝lga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a＞1，所以eq f(x)＝lg\s\d(a)|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故选项A正确，选项B错误；又feq (－x)＝lg\s\d(a)|－x－1|＝lg\s\d(a)|x＋1|≠f(x)，所以选项C错误；综上，答案选AD．
考向一 函数单调性的证明与判断
例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝ eq \f(x,x2－1)在区间(－1，1)上的单调性．
【解析】 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1,x eq \\al(2,1)－1)－ eq \f(x2,x eq \\al(2,2)－1)＝ eq \f((x1x2＋1)(x2－x1),（x eq \\al(2,1)－1）（x eq \\al(2,2)－1）).
因为－10，x1x2＋1>0，x eq \\al(2,1)－1<0，x eq \\al(2,2)－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减．
变式1、判断函数f(x)＝eq \f(x,1＋x2)在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
【解析】 函数f（x）＝在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下：
设x1、x2∈[1，＋∞），且x1＝＝.
∵x1、x2∈[1，＋∞），且x1又（1＋xeq \\al(2,1)）（1＋xeq \\al(2,2)）>0，∴ f（x1）－f（x2）>0，
即f（x1）>f（x2）.∴ f（x）＝在[1，＋∞）上为减函数
方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.
2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：
eq \x(取值)
{eq \x(取值)→eq \x(作差)→eq \x(变形)→eq \x(确定符号)→eq \x(得出结论)
其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．
考向二 函数的单调区间
例1、求下列函数的单调区间
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.
【解析】（1）由即
画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，
[1，＋∞)．
（2）y＝|x|(1－x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（1－x），x≥0，,－x（1－x），x<0))
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x<0，))函数的大致图象如图所示.
由图易知函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
变式1、求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝|x2－2x＋2|；
(2) f(x)＝lg2(x2－2x－3).
【解析】 (1) 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
所以函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1).
(2) 由题意，得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
又g(t)＝lg2t为单调增函数，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4图象的对称轴为直线 x＝1，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(3，＋∞).
变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数eq y＝lg\s\d(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的单调递增区间是______．
【答案】(1，＋)
【解析】由题意，令x2＋2x－3＞0，解得x＜－3或x＞1，因为t＝x2＋2x－3在(1，＋)上单调递增，所以函数eq y＝lg\s\d(5)(x\s\up6(2)＋2x－3)的单调递增区间为(1，＋)．
变式3、.函数y＝lgeq \f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C.(－2，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【答案】 A
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)).
方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；
(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解
考向三 函数的最值
例3、设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值．
【解析】 令g(x)＝x3－3x，0≤x≤2，则g′(x)＝3x2－3.令g′(x)＝0，则x＝1.列表如下：
故g(x)min＝g(1)＝－2，g(x)max＝g(2)＝2，
所以x3－3x－2m∈[－2－2m，2－2m].
①当－1≤m≤1时，|－2－2m|＝4或|2－2m|＝4，解得m＝±1；
②当m<－1时，f(x)max＝f(2)＝|2－2m|>4；
③当m>1时，f(x)max＝f(1)＝|－2－2m|>4.
综上，实数m的值为－1或1.
变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】
当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解
考向四 函数单调性中的含参问题
例4、 设a＞0且a≠1，函数f(x)＝lga(ax－1)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得ax－1>0在区间[3，5]上恒成立，
即a> eq \f(1,x)在区间[3，5]上恒成立，所以a> eq \f(1,3).
①当a>1时，g(t)＝lgat单调递增，
且y＝ax－1单调递增，符合题意；
②当 eq \f(1,3)y＝ax－1单调递增，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).
变式1、设a＞0且a≠1，函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[3，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得ax2－x>0在区间[3，5]上恒成立，
即a> eq \f(1,x)在区间[3，5]上恒成立，所以a> eq \f(1,3).
t＝ax2－x图象的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2a).
①当a>1时，φ(t)＝lgat单调递增，
对称轴为直线x＝ eq \f(1,2a)< eq \f(1,2)<3，
所以t＝ax2－x在区间[3，5]上单调递增，符合题意；
②当0要使f(x)在区间[3，5]上单调递增，则 eq \f(1,2a)≥5，
解得a≤ eq \f(1,10).
又a> eq \f(1,3)，所以不符合题意．
综上，实数a的取值范围是(1，＋∞).
变式2、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,2x－1，x≥1))的值域为R，
∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2a＞0，,1－2a＋3a≥1，))解得0≤a＜eq \f(1,2).
1、（2022·湖南·雅礼中学二模）下列函数中，在R上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
对于A，，在R上是减函数；对于B，在上是减函数，在上是增函数；对于C，当时，是增函数，当时，是增函数；对于D，的定义域是.
【详解】
解：对于A，，在R上是减函数，故A不正确；
对于B，在上是减函数，在上是增函数，故B不正确；
对于C，当时，是增函数，当时，是增函数，所以函数在R上是增函数，故C正确；
对于D，的定义域是 ，故不满足在R上为增函数，故D不正确，
故选：C.
2、（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.
【答案】
【分析】
转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解
【详解】
函数，定义域为，
又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.
故答案为：
3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
【答案】y=sinx（答案不唯一）
【解析】
【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.
详解：令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
4、（2022·湖北·一模）已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.
【答案】1
【分析】
依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】
令，则，则
令
当时，在上单调递增，
则，即的最大值为
则，解之得.
当时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为
则，解之得（舍）
综上，所求正实数
故答案为：1增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
x
0
(0，1)
1
(1，2)
2
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
↘
－2
↗
2