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能力拓展07 不等式恒成立问题（10种考向）-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类（新高考专用）
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能力拓展07 不等式恒成立问题
【命题方向目录】
命题方向一：直接法
命题方向二：端点恒成立
命题方向三：端点不成立
命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
命题方向五：洛必达法则
命题方向六：同构法
命题方向七：必要性探路
命题方向八：max，min函数问题
命题方向九：构造函数技巧
命题方向十：双变量最值问题
【方法技巧与总结】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，．
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．
4、法则1若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
法则2若函数和满足下列条件：（1）及；
（2），和在与上可导，且；
（3），
那么=．
法则3若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【典例例题】
命题方向一：直接法
例1．（2023·辽宁·高三本溪高中校联考阶段练习）设且，函数，．
(1)证明：恒成立；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）证明：的定义域为，且，
当时，，时，，
所以在区间（0，1）内单调递减，在区间内单调递增．
故的最小值为，因此恒成立．
（2）①当时，取，则，即不符合题意；
②当时，取，则，即不符合题意；
③当时，由，所以，即对恒成立．
令，，且，所以对恒成立．
设，，
则，
设，
则，
由（1）知，
所以，
同理，由可推出，
所以，即在上单调递增，
又，
所以在（0，1）内单调递减，在内单调递增，
故成立．
综上a的取值范围为．
例2．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不等式对一切恒成立，
即对一切恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，则需恒成立；
令，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，，
取，（），
取，
即在存在唯一的零点，且，
故时，，时，，
故正整数的最大值为7，
故选：C
命题方向二：端点恒成立
例3．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，；又，则，
切线方程为：，即
（2），
则，又令，
①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当即时，在区间上单调递减，
∴，∴，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由，
∴，使，且时，，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，的取值范围是；
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)证明：因为，
设，则，
令，则
所以在上单调递增，，即
所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以
(2)当时，，
设，即，
由（1）可得
所以，从而在上单调递增，，
于是当任意的实数，在上恒成立；
当时，在上恒成立，
因为，于是，故不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．
（1）试讨论的极值点；
（2）①若，证明：当时，恒成立；
②当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1），则，
当时，，单调递增，无极值点，
当时，令，则，
令，则，单调递增，
令，则，单调递减，
的极小值点为，无极大值点，
综上：当时，无极值点，
当时，的极小值点为，无极大值点．
（2）①证明：当时，设，
，
则，故在，上单调递增，
故当时，，故在，上单调递增，
故当时，，
故当时，恒成立．
②设，
则，且，
则，且，
，，
，则在，上单调递增，
当时，，由于在，上单调递增，
则当时，，则在，上单调递增，
故，则在，上单调递增，
故，符合题意，
当时，，
利用（1）中已证结论可得
由于在，上单调递增，，
故必然存在，使得时，，
则在上单调递减，
故当时，，
则在上单调递减，
则当时，，
综上，的取值范围为，．
命题方向三：端点不成立
例6．（2023·浙江舟山·舟山中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若恒成立，求的最小值；
(2)求证：；
(3)已知恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)等价于，令，当时，，当时，.则在上单调递增，在上单调递减，，则，的最小值为.
(2)证明：当时，由（1）得，即.令，则，即.
(3)恒成立，即恒成立, ，由（2）知恒成立， ，故的取值范围为.
例7．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，在上为增函数；
当时，由，得，由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.
（2）
，
设，则原不等式恒成立等价于在上恒成立，
，在上为增函数，
则在上恒成立，等价于在上恒成立，
等价于在上恒成立
令，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，故.
例8．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．
【解析】（1）由定义域为
又
令，显然在单调递减，且；
∴当时，；
当时，．
则在单调递增，在单调递减
（2）法一：∵任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立
令，则．
令，则在上单调递增，
∵，．
∴存在，使得
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，
∴，
又
∴，故的最小值是1．
法二：
∴恒成立，即恒成立
令
不妨令，显然在单调递增．
∴在恒成立．
令
∴当时，；
当时，即在单调递增
在单调递减
∴
∴，故的最小值是1．
变式1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，．
(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，令得，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，函数在处取得最小值，.
（2）因为函数对恒成立
所以对恒成立，
令，则，
①当时，，在上单调递增，
所以，由可得，即满足对恒成立；
②当时，则，，在上单调递增，
因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
③当时，令得
令，恒成立，故在上单调递增，
因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，
所以，使得，，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，只需即可；
所以，，，因为，所以，
所以，解得，所以，，
综上所解，实数a的取值范围为．
命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例9．（2023·河南郑州·统考模拟预测）函数，．
(1)讨论的极值的个数；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，令，
当a＝0时，，在上单调递增，在上单调递减，
所以有一个极大值；
当时，①，为图象开口朝下的二次函数，，
∴的两根为，显然，，
∴在上单调递增，在上单调递减，所以有一个极大值；
②，可知，
∴在，上单调递增，
在上单调递减．所以有2个极值，一个极大值，一个极小值；
③时，可得，∴在上单调递增，所以无极值．
综上所述，当时，有一个极大值；
当时，有一个极大值，一个极小值；当时，无极值．
（2）设，，，
∴，
∴，两边同时取倒数，
∴，∴，
又∵，∴即可，由，可得，
设，，
∴设，，
∴，∴，∴单调递减，
∴，∴，
∴a的取值范围为．
例10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，为的导函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，，求k的取值范围．
【解析】（1），记，则．
①当时，，在R上单调递减，故无极值．
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，且极大值为．
综上所述，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
（2）可化为，
当时，，此时可得；
当时，不等式可化为，
设，则，
设，则，
所以单调递增，所以当时，，，
当时，，，
所以函数在和上都为增函数，
取，则，
设，
则当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以当时，，
所以的最小值为，即，
所以当和时，没有最小值，
但当x趋近－1时，无限趋近，
且，又恒成立，所以，所以．
综上，k的取值范围为．
命题方向五：洛必达法则
例11．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
函数在处取得极值，；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令，则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
例12．设函数.当时，，求的取值范围.
【解析】由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
命题方向六：同构法
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
例14．（2023·江西南昌·高三统考阶段练习）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，即对恒成立．
设，则问题转化为在上恒成立，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，；当时，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，则恒成立，即恒成立，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
例15．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，判断的零点个数；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，定义域为，
令，可得，设，则，
令，得在上单调递增；
令，得，
在上单调递减，
.当时，；
当时，，从而可画出的大致图象，
①当或时，没有零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有两个零点.
（2）当时，不等式恒成立，
可化为在上恒成立，
该问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
即，即
①当时，，不等式恒成立；
②当时，令，显然单调递增，
且，故存在，使得，
所以，
即，而，此时不满足，
所以实数不存在.
综上可知，使得恒成立的实数的取值范围为.
命题方向七：必要性探路
例16．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
【解析】（1）．
当时，，易知f(x)在R上单调递减．
当时，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
当时，令，可得且；令，可得，
∴在和上单调增，在上单调递减．
（2）当时，由，得
即，
令，则
∵，且，∴存在，使得当时，，
∴，即．
下面证明当时，对恒成立．
∵，且，
∴
设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴，∴，∴，
∴
综上，实数m的取值范围为．
例17．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数.
(1)求证：；
(2)若，试比较与的大小；
(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.
【解析】（1）即证，令，，
当所以此时单调递减；
当所以此时单调递增；
即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；
（2）设，则，
①当时，，所以，
而此时，故，在减函数，，
即；
②当时，由（1）知
，
令，即在单调递增，
所以，即，当且仅当时取得等号，
又恒成立，当且仅当时取得等号，
所以，即，即
综上，若，.
（3）恒成立，
设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，，在上恒成立，
因为，设，
则，
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立.
例18．（2023·福建福州·高三校考期中）已知函数．
(1)若恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；
(2)证明：当时，；
(3)当时，不等式恒成立，求a的取值集合．
【解析】（1）的值为，即不等式，证明如下：
构造函数，
，所以在区间递减；
在区间递增.
所以，故，即不等式恒成立.
（2），
构造函数，
，
当时，，，，
所以，
所以在区间上递减.
当时，，，，
所以，
所以在区间上递增.
当时，，，
所以，
所以在区间上递增.
所以，
即.
（3）当时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，即,
由于且，所以当时，取得最小值，
由于是可导函数，且，
则是函数的极小值点，
所以，解得.
下面证明当时，为的极小值点：
此时，
，
令，
，
由（2）可知，当时，，
所以在区间上递增，
，
所以在区间递减；在区间递增，
所以是的极小值点，符合题意.
所以的取值集合是.
命题方向八：max，min函数问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.
(1)证明：当时，；当时，；
(2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由.
【解析】（1），.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，
存在，使得，根据余弦函数的单调性可知，
在上递增，故当，，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
命题方向九：构造函数技巧
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【解析】（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
例22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
，
的图像在处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意得，因为函数，
故有，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故，
由，得
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为.
解法二：因为函数，
故有，等价转化为：，
构造，
，所以可知在上单调递减，在上单调递增，
，即成立，令，
令， 在单调递增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
当时，可知恒成立，即此时不等式成立；
当时，又因为，
所以，与不等式矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
命题方向十：双变量最值问题
例23．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】C
【解析】因为对于，恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
所以.
所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以的最小值为.
故选：C
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．
【解析】（1）当时，直线与函数的图象相切于，
因为，所以，
则且，即，解得：.
（2）若对任意，都有恒成立，得.
假设，则当时，，
而当时，.
取，则当时，，
而，矛盾；故.
当时，由，得，即.
下证：能取到.
当时，.
记，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以，即.
所以.
即对任意恒成立，
故的最小值为.
【过关测试】
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，给出以下三个结论：
①如果有两个不同的根，则；
②当时，恒成立；
③如果有两个根，，则.
其中正确的结论个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】①正确，如果有两个不同的根，即有两个根.
设，，
易知在上是减函数，且，
所以当时，，即，此时为增函数；
当时，，即，此时为减函数，
所以由图象可知，即；
②正确，设，则，所以当时，此时为增函数；
当时，，此时为减函数，所以时，取得最大值，最大值为0，即，所以，
当时，恒成立；
③正确，由于有两个根，，
令，即，即，要证明成立，
只需证明，即，
故只需证明，即证明，
设，则，则上式化为.
设，，
即在上为减函数，
当时，，由于，则，即成立，故命题成立.
故选：D.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由有意义可知，.由，得.
令，即有.因为，所以.
令，则问题转化为当，恒成立.
因为，令，即；
令，即，，
则在上单调递增，上单调递减.
注意到，，所以当时，.
因为当，恒成立，所以只需且，解得.
故选：C.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为恒成立即，
可得，
令，则恒成立.
又，故当时，，
故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，为增函数；当时，为减函数.
故，故，即.
故选：B
4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式在上恒成立，
两边同除得在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
令，，
即在上恒成立，
所以只需即可，
令，则，
令，则在上恒成立，单调递增，
又因为，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
故，
故，
令，则，
令，故，
令，故，
故当时，，
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为，
故选：D
6．（2023·全国·模拟预测）若不等式对恒成立，那么的最大整数值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为对恒成立，
即在恒成立，
构建，，
则对恒成立，
则，即，解得.
下面证明当时，对恒成立，
①因为的定义域为，且，
构建，则有，且，
所以在上单调递减，且，可得：
当时，，即在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
所以.
②因为当时，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以；
又因为，所以，所以在恒成立，
整理得在恒成立，
且，则在上恒成立；
综上所述：当且仅当时，对恒成立，
即对恒成立，所以的最大整数值为2.
故选：C.
7．根据恒成立问题，先取特值得到参数的取值范围，再证明其充分性；
8．证明不等式时，可以利用中间值法说明，即证.
9．（2023·河南·校联考模拟预测）若，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，．
因为，
所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
∴在上单调递增，而，∴．
综上，在上恒成立，∴．
令，，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，即．所以a的最小值为.
故选：B．
10．（多选题）（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）若，若恒成立，则的值不可以是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，等价于，等
价于，
所以原题意即为恒成立，
令，则，
又易得在定义域内单调递增，
所以，即，故恒成立，
令，则，
所以当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，
所以若恒成立，则.
故A、B、D错误，C正确.
故选：ABD.
11．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】已知，
当时，成立；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
当时，成立或成立；
当时，成立或无解；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最小值.
设
单调递减；
无最小值.
当时， 恒成立或成立；
当时，成立；或无解；
所以.
故选：BD .
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，.
故选：ABD．
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知时，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】BCD
【解析】设，，，
由得，
所以时，或.
A和B选项：
当时，，
设，则，
当时，所以在上单调递增，
所以，
即当时，，
故.
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减.
故，即，
所以有，
即，.
设，由题意可知，，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，
得，
由得，
，
当时，由得，
则，故B正确，
取，，，则，故A错误；
C和D选项：
当时，
由题意，恰为，两交点，所在直线，
则
则
由对数平均不等式知，
.
故，
故CD正确
故选：BCD
14．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由已知可得，.
设，则恒成立，
所以，当时，单调递增.
又，，
根据零点存在定理可得，，使得，
所以，由可得，.
对于A项，因为，
当且仅当，即时等号成立.
因为，，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以.
令，，则.
因为，所以，，所以，
所以，当时，恒成立.
又，所以，
即，即，故B项错误；
对于C项，因为，
所以.
设，，
则.
因为，所以，所以，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，故C项正确；
对于D项，因为，
所以.
设，，
则
.
因为，，，所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，，.
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
因为，所以，
所以，，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，，故D项错误.
故选：AC.
15．（多选题）（2023·重庆·校联考模拟预测）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意可知，
不等式可化为，
设，则，
即，
设，，
所以在区间递增；在区间递减.
所以，
所以要使成立，则，
即，由于，故解得，
则，，，，
所以AC选项正确.
故选：AC
16．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为对任意的正实数x都有恒成立，
所以，即对任意的正实数x恒成立，
因为函数与函数互为反函数，且，
所以对任意的正实数x恒成立，即，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，解得.
故答案为：.
17．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，，且时，恒成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由于，
因为，
，
设，
则，
所以当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数；
所以，即，
故在上是减函数.
又由于时，恒成立，
所以，
设，易知该函数为单调增函数，
故时，，只需，即.
又由于化为，，
设，由，得，故等价变形为当时，，
令，则，
故当时，为增函数，
所以若使在上恒成立，
只需，即.综上，.
故答案为：
18．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意可得函数的定义域为，
不等式等价于恒成立，即恒成立，
令，则．
令，则在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以，
由于，可得，即，
所以，
又恒成立，即，所以，
所以实数m的取值范围为．
19．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
20．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
21．根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与有解问题的区别．
22．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】由于不等式恒成立，于是得到，
然后构建函数，，则，
再构建一个函数，，
则，函数单调递增，
于是当时，，
则，函数单调递增，而，
于是函数，
因此参数的取值范围为．
故答案为：．
23．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则参数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，则，
令，是增函数，即是增函数，
当时，，即是增函数，，符合题意；
当时，因为，
令，则，
所以，
因为，则，取，则，
所以当时，是减函数，即，不满足题意；
综上：.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，可得，
若时，，单调递减，
又由，所以当时，可得，不符合题意，舍去；
若时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又由，所以存在，使得，不符合题意，舍去；
若时，令，可得，
当时，，单调递增，且，
所以当时，恒成立，符合题意，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
25．（2023·全国·高三专题练习）设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________．
【答案】
【解析】由，
构造函数，
在为增函数，则
即对不等式恒成立，则，
构造函数
令，得；令，得；
在上单调递增，在上单调递减，
，即.
故答案为：.
26．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知实数，函数，．
(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由题设，()在上恒成立，
所以在上恒成立，令，只需即可，
由，故时，时，
所以在上递减，在上递增，则，
综上，.
（2）由题设，()在上恒成立，
所以在上恒成立，
（i）当时证恒成立即可，
令，则，若且，则，
在上，递减，在上，递增，
所以，即在上恒成立，故恒成立，满足；
（ii）当时，，又在上递增，
所以，由（i）知：，
所以恒成立，满足；
（iii）当时，由上知：成立，仅当时等号成立，
令，则，令，则，
所以使成立，即成立，
由，同（ii）分析可得：，
故使成立，不合题意；
综上，.
27．（2023·浙江宁波·高三期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对恒成立，求k的取值范围；
(3)求证：对，不等式恒成立.
【解析】（1）因，
所以，所以所求切线方程为，
即；
（2）因为在上恒成立，
而，令得
所以
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.
综上，k的取值范围为；
（3）由（2），当时，在恒成立，即，
令，
则，故在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对，不等式恒成立.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知，.
(1)若恒成立，求m的取值范围；
(2)若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1），即，，
设，，，
时，，递增，时，，递减，所以，
恒成立，则；
（2）不等式即为
设，显然此函数在定义域内是增函数，
所以在时恒成立，在时恒成立，
设（），则，
时，，递增，时，，递减，
所以，
所以．
29．（2023·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）已知函数，其中．
(1)若对一切，恒成立，求的值；
(2)在函数的图像上取定点，记直线的斜率为，证明：存在，使恒成立．
【解析】（1）因为，令．
所以，当时单调递减；
当时单调递增，
所以，当时，取最小值，
所以，对一切恒成立，当且仅当. ①
令，则
所以，当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以，当时，取最大值.
所以，当且仅当时，①式成立.
综上所述，
（2）由题意知
令，
则，
令，则.
所以，当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，当，，即.
所以，，
又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在使即成立.
30．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.
【解析】（1）由，得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
，此时恒成立，
当时，令则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最小值为
，不满题意，
综上所述，的取值范围为.
（2）由题意可知，，
所以，
设切线为的切点为，则
，解得，
所以，
所以，
要证，只需证即可，
所以表示点与点连线的斜率，
因为，所以当距的距离越远，斜率越小，当b趋近a时，，
所以成立，即证.
31．（2023·山西晋中·高三校考阶段练习）已知函数，．
(1)设函数，求的单调区间；
(2)若存在常数，，使得，对恒成立，且，对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则定义域为，，
令，解得，令，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为.
（2）假设与存在“分界线”，
整理得，则①，
整理得，
设，则，
当时，，单调递增且存在大于0的值，不符合要求；
当时，令解得，令解得，
所以在单调递增，单调递减，
在出取得最大值，，
所以②，
①+②得：，
设，由（1）得，
所以，，代入①②得，
所以与存在“分界线”，“分界线”的方程为：.
32．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的值；
(3)当，时，恒成立，直接写出的取值范围．
【解析】(1)当时，，则，
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
(2)当时，，
令，则
恒成立等价于，
因为，
所以为函数的最小值点，
因为，
当时，，所以在上单调递增，不合题意，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得
(3)恒成立，等价于，
即恒成立，
构造函数，
等价于，
因为，所以
令函数，则，
显然为增函数，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以，则，
因为，
所以在上单调递增，
所以当时，恒成立，
即，
所以的取值范围
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.
（2）对恒成立
令，，
，在上单调递减，
，
若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.
若，即时，
（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.
（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.
综上：实数的取值范围为.
34．（2023·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试）已知．
(1)求证：对于，恒成立；
(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由，得，
令，得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即恒成立；
（2），
则，即，
令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
所以即对恒成立，
令，则，，
若，，在上单调递增，
所以，故，符合题意；
若，令，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，不符合，
综上，.
即a的取值范围为.
35．（2023·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在恒成立，求正实数的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，
令可得，
当即时，对于恒成立，
所以在上单调递增，
当即时，由可得：，
由可得：或，
由可得：，
所以在和上单调递增，
在上单调递减，
综上所述：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和
单调递减区间为.
（2）若函数有两个极值点，
由（1）可知：，
由可得，
则，，，
由，可得，
所以不等式恒成立，等价于恒成立，
，
令，
则，
因为，所以，，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
即，
故实数的取值范围为；
（3）若在恒成立，
即对于恒成立；
令，，，
则，
则，
令，，
，
令，则，
所以在上单调递减，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
即在上单调递减，
当时，，对于恒成立，
所以在上单调递减，所以恒成立，符合题意；
当时，存在实数，使得函数在上单调递增，
此时，不符合题意，
综上所述：正实数的取值范围为.
能力拓展07 不等式恒成立问题
【命题方向目录】
命题方向一：直接法
命题方向二：端点恒成立
命题方向三：端点不成立
命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
命题方向五：洛必达法则
命题方向六：同构法
命题方向七：必要性探路
命题方向八：max，min函数问题
命题方向九：构造函数技巧
命题方向十：双变量最值问题
【方法技巧与总结】
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，．
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．
4、法则1若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
法则2若函数和满足下列条件：（1）及；
（2），和在与上可导，且；
（3），
那么=．
法则3若函数和满足下列条件：
（1）及；
（2）在点的去心邻域内，与可导且；
（3），
那么=．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【典例例题】
命题方向一：直接法
例1．（2023·辽宁·高三本溪高中校联考阶段练习）设且，函数，．
(1)证明：恒成立；
(2)若对，恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）证明：的定义域为，且，
当时，，时，，
所以在区间（0，1）内单调递减，在区间内单调递增．
故的最小值为，因此恒成立．
（2）①当时，取，则，即不符合题意；
②当时，取，则，即不符合题意；
③当时，由，所以，即对恒成立．
令，，且，所以对恒成立．
设，，
则，
设，
则，
由（1）知，
所以，
同理，由可推出，
所以，即在上单调递增，
又，
所以在（0，1）内单调递减，在内单调递增，
故成立．
综上a的取值范围为．
例2．（2023·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不等式对一切恒成立，
即对一切恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，则需恒成立；
令，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，，
取，（），
取，
即在存在唯一的零点，且，
故时，，时，，
故正整数的最大值为7，
故选：C
命题方向二：端点恒成立
例3．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）时，；又，则，
切线方程为：，即
（2），
则，又令，
①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当即时，在区间上单调递减，
∴，∴，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由，
∴，使，且时，，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，的取值范围是；
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)求证：在上恒成立；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)证明：因为，
设，则，
令，则
所以在上单调递增，，即
所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以
(2)当时，，
设，即，
由（1）可得
所以，从而在上单调递增，，
于是当任意的实数，在上恒成立；
当时，在上恒成立，
因为，于是，故不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．
（1）试讨论的极值点；
（2）①若，证明：当时，恒成立；
②当时，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1），则，
当时，，单调递增，无极值点，
当时，令，则，
令，则，单调递增，
令，则，单调递减，
的极小值点为，无极大值点，
综上：当时，无极值点，
当时，的极小值点为，无极大值点．
（2）①证明：当时，设，
，
则，故在，上单调递增，
故当时，，故在，上单调递增，
故当时，，
故当时，恒成立．
②设，
则，且，
则，且，
，，
，则在，上单调递增，
当时，，由于在，上单调递增，
则当时，，则在，上单调递增，
故，则在，上单调递增，
故，符合题意，
当时，，
利用（1）中已证结论可得
由于在，上单调递增，，
故必然存在，使得时，，
则在上单调递减，
故当时，，
则在上单调递减，
则当时，，
综上，的取值范围为，．
命题方向三：端点不成立
例6．（2023·浙江舟山·舟山中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若恒成立，求的最小值；
(2)求证：；
(3)已知恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)等价于，令，当时，，当时，.则在上单调递增，在上单调递减，，则，的最小值为.
(2)证明：当时，由（1）得，即.令，则，即.
(3)恒成立，即恒成立, ，由（2）知恒成立， ，故的取值范围为.
例7．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，在上为增函数；
当时，由，得，由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.
（2）
，
设，则原不等式恒成立等价于在上恒成立，
，在上为增函数，
则在上恒成立，等价于在上恒成立，
等价于在上恒成立
令，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，故.
例8．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．
【解析】（1）由定义域为
又
令，显然在单调递减，且；
∴当时，；
当时，．
则在单调递增，在单调递减
（2）法一：∵任意的，恒成立，
∴恒成立，即恒成立
令，则．
令，则在上单调递增，
∵，．
∴存在，使得
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
由，可得，
∴，
又
∴，故的最小值是1．
法二：
∴恒成立，即恒成立
令
不妨令，显然在单调递增．
∴在恒成立．
令
∴当时，；
当时，即在单调递增
在单调递减
∴
∴，故的最小值是1．
变式1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数，．
(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
(2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
所以，令得，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，函数在处取得最小值，.
（2）因为函数对恒成立
所以对恒成立，
令，则，
①当时，，在上单调递增，
所以，由可得，即满足对恒成立；
②当时，则，，在上单调递增，
因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
③当时，令得
令，恒成立，故在上单调递增，
因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷，
所以，使得，，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，只需即可；
所以，，，因为，所以，
所以，解得，所以，，
综上所解，实数a的取值范围为．
命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
例9．（2023·河南郑州·统考模拟预测）函数，．
(1)讨论的极值的个数；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，令，
当a＝0时，，在上单调递增，在上单调递减，
所以有一个极大值；
当时，①，为图象开口朝下的二次函数，，
∴的两根为，显然，，
∴在上单调递增，在上单调递减，所以有一个极大值；
②，可知，
∴在，上单调递增，
在上单调递减．所以有2个极值，一个极大值，一个极小值；
③时，可得，∴在上单调递增，所以无极值．
综上所述，当时，有一个极大值；
当时，有一个极大值，一个极小值；当时，无极值．
（2）设，，，
∴，
∴，两边同时取倒数，
∴，∴，
又∵，∴即可，由，可得，
设，，
∴设，，
∴，∴，∴单调递减，
∴，∴，
∴a的取值范围为．
例10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，为的导函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，，求k的取值范围．
【解析】（1），记，则．
①当时，，在R上单调递减，故无极值．
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，且极大值为．
综上所述，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
（2）可化为，
当时，，此时可得；
当时，不等式可化为，
设，则，
设，则，
所以单调递增，所以当时，，，
当时，，，
所以函数在和上都为增函数，
取，则，
设，
则当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以当时，，
所以的最小值为，即，
所以当和时，没有最小值，
但当x趋近－1时，无限趋近，
且，又恒成立，所以，所以．
综上，k的取值范围为．
命题方向五：洛必达法则
例11．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
函数在处取得极值，；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令，则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
例12．设函数.当时，，求的取值范围.
【解析】由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
命题方向六：同构法
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
例14．（2023·江西南昌·高三统考阶段练习）若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，即对恒成立．
设，则问题转化为在上恒成立，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，；当时，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，则恒成立，即恒成立，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
例15．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，判断的零点个数；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
，定义域为，
令，可得，设，则，
令，得在上单调递增；
令，得，
在上单调递减，
.当时，；
当时，，从而可画出的大致图象，
①当或时，没有零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有两个零点.
（2）当时，不等式恒成立，
可化为在上恒成立，
该问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，
即，即
①当时，，不等式恒成立；
②当时，令，显然单调递增，
且，故存在，使得，
所以，
即，而，此时不满足，
所以实数不存在.
综上可知，使得恒成立的实数的取值范围为.
命题方向七：必要性探路
例16．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
【解析】（1）．
当时，，易知f(x)在R上单调递减．
当时，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
当时，令，可得且；令，可得，
∴在和上单调增，在上单调递减．
（2）当时，由，得
即，
令，则
∵，且，∴存在，使得当时，，
∴，即．
下面证明当时，对恒成立．
∵，且，
∴
设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴，∴，∴，
∴
综上，实数m的取值范围为．
例17．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知函数.
(1)求证：；
(2)若，试比较与的大小；
(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.
【解析】（1）即证，令，，
当所以此时单调递减；
当所以此时单调递增；
即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；
（2）设，则，
①当时，，所以，
而此时，故，在减函数，，
即；
②当时，由（1）知
，
令，即在单调递增，
所以，即，当且仅当时取得等号，
又恒成立，当且仅当时取得等号，
所以，即，即
综上，若，.
（3）恒成立，
设，
即证在上恒成立，
易得，
当时，若，
下面证明：当时，，在上恒成立，
因为，设，
则，
所以在上是单调递增函数，
所以，所以在上是严格增函数，
若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，
故当时，不等式恒成立.
例18．（2023·福建福州·高三校考期中）已知函数．
(1)若恒成立，直接写出a的值，并证明该不等式；
(2)证明：当时，；
(3)当时，不等式恒成立，求a的取值集合．
【解析】（1）的值为，即不等式，证明如下：
构造函数，
，所以在区间递减；
在区间递增.
所以，故，即不等式恒成立.
（2），
构造函数，
，
当时，，，，
所以，
所以在区间上递减.
当时，，，，
所以，
所以在区间上递增.
当时，，，
所以，
所以在区间上递增.
所以，
即.
（3）当时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，即,
由于且，所以当时，取得最小值，
由于是可导函数，且，
则是函数的极小值点，
所以，解得.
下面证明当时，为的极小值点：
此时，
，
令，
，
由（2）可知，当时，，
所以在区间上递增，
，
所以在区间递减；在区间递增，
所以是的极小值点，符合题意.
所以的取值集合是.
命题方向八：max，min函数问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.
(1)证明：当时，；当时，；
(2)用表示中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，请说明理由.
【解析】（1），.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，
存在，使得，根据余弦函数的单调性可知，
在上递增，故当，，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：，.
当时，，则；当时，，则，
当时，，
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，.
（2）函数的定义域为，
由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
由于当时，恒成立，
所以等价于：当时，.
.
①若，当时，，
故，递增，此时，不合题意；
②若，当时，由知，存在，当，
，递增，此时，不合题意；
③若，当时，由知，对任意，，递减，
此时，符合题意.
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.
命题方向九：构造函数技巧
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
【解析】（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．
例22．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
，
的图像在处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意得，因为函数，
故有，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故，
由，得
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为.
解法二：因为函数，
故有，等价转化为：，
构造，
，所以可知在上单调递减，在上单调递增，
，即成立，令，
令， 在单调递增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
当时，可知恒成立，即此时不等式成立；
当时，又因为，
所以，与不等式矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
命题方向十：双变量最值问题
例23．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
【答案】C
【解析】因为对于，恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
所以.
所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以的最小值为.
故选：C
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值．
【解析】（1）当时，直线与函数的图象相切于，
因为，所以，
则且，即，解得：.
（2）若对任意，都有恒成立，得.
假设，则当时，，
而当时，.
取，则当时，，
而，矛盾；故.
当时，由，得，即.
下证：能取到.
当时，.
记，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递增，
所以，即.
所以.
即对任意恒成立，
故的最小值为.
【过关测试】
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，给出以下三个结论：
①如果有两个不同的根，则；
②当时，恒成立；
③如果有两个根，，则.
其中正确的结论个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】①正确，如果有两个不同的根，即有两个根.
设，，
易知在上是减函数，且，
所以当时，，即，此时为增函数；
当时，，即，此时为减函数，
所以由图象可知，即；
②正确，设，则，所以当时，此时为增函数；
当时，，此时为减函数，所以时，取得最大值，最大值为0，即，所以，
当时，恒成立；
③正确，由于有两个根，，
令，即，即，要证明成立，
只需证明，即，
故只需证明，即证明，
设，则，则上式化为.
设，，
即在上为减函数，
当时，，由于，则，即成立，故命题成立.
故选：D.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由有意义可知，.由，得.
令，即有.因为，所以.
令，则问题转化为当，恒成立.
因为，令，即；
令，即，，
则在上单调递增，上单调递减.
注意到，，所以当时，.
因为当，恒成立，所以只需且，解得.
故选：C.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为恒成立即，
可得，
令，则恒成立.
又，故当时，，
故在区间上为增函数.
又恒成立，则在区间上恒成立，即，.
构造，则，令有，
故当时，为增函数；当时，为减函数.
故，故，即.
故选：B
4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式在上恒成立，
两边同除得在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
令，，
即在上恒成立，
所以只需即可，
令，则，
令，则在上恒成立，单调递增，
又因为，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
故选：B
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
故，
故，
令，则，
令，故，
令，故，
故当时，，
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为，
故选：D
6．（2023·全国·模拟预测）若不等式对恒成立，那么的最大整数值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为对恒成立，
即在恒成立，
构建，，
则对恒成立，
则，即，解得.
下面证明当时，对恒成立，
①因为的定义域为，且，
构建，则有，且，
所以在上单调递减，且，可得：
当时，，即在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
所以.
②因为当时，则，当且仅当，即时，等号成立，
所以；
又因为，所以，所以在恒成立，
整理得在恒成立，
且，则在上恒成立；
综上所述：当且仅当时，对恒成立，
即对恒成立，所以的最大整数值为2.
故选：C.
7．根据恒成立问题，先取特值得到参数的取值范围，再证明其充分性；
8．证明不等式时，可以利用中间值法说明，即证.
9．（2023·河南·校联考模拟预测）若，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，．
因为，
所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
∴在上单调递增，而，∴．
综上，在上恒成立，∴．
令，，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，即．所以a的最小值为.
故选：B．
10．（多选题）（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）若，若恒成立，则的值不可以是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，等价于，等
价于，
所以原题意即为恒成立，
令，则，
又易得在定义域内单调递增，
所以，即，故恒成立，
令，则，
所以当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，
所以若恒成立，则.
故A、B、D错误，C正确.
故选：ABD.
11．（多选题）（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】已知，
当时，成立；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
当时，成立或成立；
当时，成立或无解；
当时，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最小值.
设
单调递减；
无最小值.
当时， 恒成立或成立；
当时，成立；或无解；
所以.
故选：BD .
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，则．
令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，
从而，当且仅当时，等号成立．
又，所以，则，所以．
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．故，
且当时，.
故选：ABD．
13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知时，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】BCD
【解析】设，，，
由得，
所以时，或.
A和B选项：
当时，，
设，则，
当时，所以在上单调递增，
所以，
即当时，，
故.
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减.
故，即，
所以有，
即，.
设，由题意可知，，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，
得，
由得，
，
当时，由得，
则，故B正确，
取，，，则，故A错误；
C和D选项：
当时，
由题意，恰为，两交点，所在直线，
则
则
由对数平均不等式知，
.
故，
故CD正确
故选：BCD
14．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由已知可得，.
设，则恒成立，
所以，当时，单调递增.
又，，
根据零点存在定理可得，，使得，
所以，由可得，.
对于A项，因为，
当且仅当，即时等号成立.
因为，，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以.
令，，则.
因为，所以，，所以，
所以，当时，恒成立.
又，所以，
即，即，故B项错误；
对于C项，因为，
所以.
设，，
则.
因为，所以，所以，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，故C项正确；
对于D项，因为，
所以.
设，，
则
.
因为，，，所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，，.
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
因为，所以，
所以，，
所以在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，所以，
所以，，故D项错误.
故选：AC.
15．（多选题）（2023·重庆·校联考模拟预测）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意可知，
不等式可化为，
设，则，
即，
设，，
所以在区间递增；在区间递减.
所以，
所以要使成立，则，
即，由于，故解得，
则，，，，
所以AC选项正确.
故选：AC
16．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为对任意的正实数x都有恒成立，
所以，即对任意的正实数x恒成立，
因为函数与函数互为反函数，且，
所以对任意的正实数x恒成立，即，
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，解得.
故答案为：.
17．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，，且时，恒成立，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由于，
因为，
，
设，
则，
所以当时，，此时为增函数；
当时，，此时为减函数；
所以，即，
故在上是减函数.
又由于时，恒成立，
所以，
设，易知该函数为单调增函数，
故时，，只需，即.
又由于化为，，
设，由，得，故等价变形为当时，，
令，则，
故当时，为增函数，
所以若使在上恒成立，
只需，即.综上，.
故答案为：
18．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意可得函数的定义域为，
不等式等价于恒成立，即恒成立，
令，则．
令，则在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以，
由于，可得，即，
所以，
又恒成立，即，所以，
所以实数m的取值范围为．
19．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
20．利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
21．根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与有解问题的区别．
22．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】由于不等式恒成立，于是得到，
然后构建函数，，则，
再构建一个函数，，
则，函数单调递增，
于是当时，，
则，函数单调递增，而，
于是函数，
因此参数的取值范围为．
故答案为：．
23．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则参数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，则，
令，是增函数，即是增函数，
当时，，即是增函数，，符合题意；
当时，因为，
令，则，
所以，
因为，则，取，则，
所以当时，是减函数，即，不满足题意；
综上：.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）若对于，不等式恒成立，则参数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，可得，
若时，，单调递减，
又由，所以当时，可得，不符合题意，舍去；
若时，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又由，所以存在，使得，不符合题意，舍去；
若时，令，可得，
当时，，单调递增，且，
所以当时，恒成立，符合题意，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
25．（2023·全国·高三专题练习）设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________．
【答案】
【解析】由，
构造函数，
在为增函数，则
即对不等式恒成立，则，
构造函数
令，得；令，得；
在上单调递增，在上单调递减，
，即.
故答案为：.
26．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知实数，函数，．
(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）由题设，()在上恒成立，
所以在上恒成立，令，只需即可，
由，故时，时，
所以在上递减，在上递增，则，
综上，.
（2）由题设，()在上恒成立，
所以在上恒成立，
（i）当时证恒成立即可，
令，则，若且，则，
在上，递减，在上，递增，
所以，即在上恒成立，故恒成立，满足；
（ii）当时，，又在上递增，
所以，由（i）知：，
所以恒成立，满足；
（iii）当时，由上知：成立，仅当时等号成立，
令，则，令，则，
所以使成立，即成立，
由，同（ii）分析可得：，
故使成立，不合题意；
综上，.
27．（2023·浙江宁波·高三期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对恒成立，求k的取值范围；
(3)求证：对，不等式恒成立.
【解析】（1）因，
所以，所以所求切线方程为，
即；
（2）因为在上恒成立，
而，令得
所以
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.
综上，k的取值范围为；
（3）由（2），当时，在恒成立，即，
令，
则，故在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对，不等式恒成立.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知，.
(1)若恒成立，求m的取值范围；
(2)若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1），即，，
设，，，
时，，递增，时，，递减，所以，
恒成立，则；
（2）不等式即为
设，显然此函数在定义域内是增函数，
所以在时恒成立，在时恒成立，
设（），则，
时，，递增，时，，递减，
所以，
所以．
29．（2023·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习）已知函数，其中．
(1)若对一切，恒成立，求的值；
(2)在函数的图像上取定点，记直线的斜率为，证明：存在，使恒成立．
【解析】（1）因为，令．
所以，当时单调递减；
当时单调递增，
所以，当时，取最小值，
所以，对一切恒成立，当且仅当. ①
令，则
所以，当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以，当时，取最大值.
所以，当且仅当时，①式成立.
综上所述，
（2）由题意知
令，
则，
令，则.
所以，当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，当，，即.
所以，，
又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，
所以存在使即成立.
30．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.
【解析】（1）由，得，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
，此时恒成立，
当时，令则，解得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最小值为
，不满题意，
综上所述，的取值范围为.
（2）由题意可知，，
所以，
设切线为的切点为，则
，解得，
所以，
所以，
要证，只需证即可，
所以表示点与点连线的斜率，
因为，所以当距的距离越远，斜率越小，当b趋近a时，，
所以成立，即证.
31．（2023·山西晋中·高三校考阶段练习）已知函数，．
(1)设函数，求的单调区间；
(2)若存在常数，，使得，对恒成立，且，对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），则定义域为，，
令，解得，令，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为.
（2）假设与存在“分界线”，
整理得，则①，
整理得，
设，则，
当时，，单调递增且存在大于0的值，不符合要求；
当时，令解得，令解得，
所以在单调递增，单调递减，
在出取得最大值，，
所以②，
①+②得：，
设，由（1）得，
所以，，代入①②得，
所以与存在“分界线”，“分界线”的方程为：.
32．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的值；
(3)当，时，恒成立，直接写出的取值范围．
【解析】(1)当时，，则，
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
(2)当时，，
令，则
恒成立等价于，
因为，
所以为函数的最小值点，
因为，
当时，，所以在上单调递增，不合题意，
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，解得
(3)恒成立，等价于，
即恒成立，
构造函数，
等价于，
因为，所以
令函数，则，
显然为增函数，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以，则，
因为，
所以在上单调递增，
所以当时，恒成立，
即，
所以的取值范围
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.
（2）对恒成立
令，，
，在上单调递减，
，
若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.
若，即时，
（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.
（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.
综上：实数的取值范围为.
34．（2023·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试）已知．
(1)求证：对于，恒成立；
(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由，得，
令，得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即恒成立；
（2），
则，即，
令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
所以即对恒成立，
令，则，，
若，，在上单调递增，
所以，故，符合题意；
若，令，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，不符合，
综上，.
即a的取值范围为.
35．（2023·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在恒成立，求正实数的取值范围．
【解析】（1）定义域为，
，
令可得，
当即时，对于恒成立，
所以在上单调递增，
当即时，由可得：，
由可得：或，
由可得：，
所以在和上单调递增，
在上单调递减，
综上所述：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和
单调递减区间为.
（2）若函数有两个极值点，
由（1）可知：，
由可得，
则，，，
由，可得，
所以不等式恒成立，等价于恒成立，
，
令，
则，
因为，所以，，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
即，
故实数的取值范围为；
（3）若在恒成立，
即对于恒成立；
令，，，
则，
则，
令，，
，
令，则，
所以在上单调递减，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
即在上单调递减，
当时，，对于恒成立，
所以在上单调递减，所以恒成立，符合题意；
当时，存在实数，使得函数在上单调递增，
此时，不符合题意，
综上所述：正实数的取值范围为.
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