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新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题11函数的图象(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题11函数的图象(原卷版+解析)，共68页。
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
命题点2 函数图象在不等式中的应用
命题点3 求参数的取值范围
题型六：函数的图像的变换
【2024年高考预测】
2023年高考函数 图象部分仍以考查图像的变换和识别为重点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题．
【知识点总结】
1、利用描点法作函数图象的方法步骤
2、利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）伸缩变换
：，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．
：，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍．
（3）对称变换
：关于轴对称；：关于轴对称；：关于原点对称．
（4）翻折变换
：去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边；
：留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去．
【方法技巧与总结】
（1），则的图像关于对称．
（2）函数与的图象关于对称．
（3），则的图象关于对称．
（4）与的图象关于对称．
（5）与的图象关于对称．
（6）与的图象关于点中心对称．
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【通性通解总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例4．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·广东·高三专题练习）某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·天津和平·统考三模）函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
例7．（2023·广东广州·广州六中校考三模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．2D．
例9．（2023·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·浙江·高三浙江省江山中学校联考期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
变式9．（多选题）（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0A．B．
C．D．
【通性通解总结】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
例13．（2023·河南·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有5个不同实数解
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称
D．方程最少有两个解
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
变式11．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
命题点2 函数图象在不等式中的应用
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式13．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
变式16．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
命题点3 求参数的取值范围
变式17．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式20．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
题型六：函数的图像的变换
例16．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
变式21．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
变式25．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．
【通性通解总结】
1、平移变换注意“上加下减，左加右减”．
2、图像的平移即对称轴、对称中心、最值点的平移．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武汉·统考三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南郑州·模拟预测）如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
二、多选题
8．（2023·全国·模拟预测）已知，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
三、填空题
12．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
专题11 函数的图象
【命题方向目录】
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
命题点2 函数图象在不等式中的应用
命题点3 求参数的取值范围
题型六：函数的图像的变换
【2024年高考预测】
2023年高考函数 图象部分仍以考查图像的变换和识别为重点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题．
【知识点总结】
1、利用描点法作函数图象的方法步骤
2、利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）伸缩变换
：，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．
：，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍．
（3）对称变换
：关于轴对称；：关于轴对称；：关于原点对称．
（4）翻折变换
：去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边；
：留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去．
【方法技巧与总结】
（1），则的图像关于对称．
（2）函数与的图象关于对称．
（3），则的图象关于对称．
（4）与的图象关于对称．
（5）与的图象关于对称．
（6）与的图象关于点中心对称．
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，，定义域关于原点对称，
得，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除BD；
当时，，，，所以，
排除A.
故选：C.
例2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
例3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，，
是奇函数，故排除B；
，排除C；
，
，排除D，
故选：A
变式1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
变式3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，
因此排除C，
故选：B
【通性通解总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例4．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以定义域为，
且，
所以为偶函数，
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故A、B排除；
当时，则，故排除D.
故选：C
例5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可知函数的定义域为，
而选项B，的定义域为，由此即可排除选项；
函数图象关于原点对称，即为奇函数，
而选项A, ， ，
所以为偶函数，由此可排除选项A；
根据图象可知，而选项D, ，
, 由此可排除D，选项C满足图象特征.
故选：C.
例6．（2023·广东·高三专题练习）某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】4个选项函数定义域均为R，
对于A, ，故为奇函数，且
对于B, 故为奇函数，，
对于C, ,故为偶函数，
对于D，故为奇函数，，
由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,
故选：B．
变式4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据函数图象分析可知，图象过点，排除C、D，
因为函数值不可能等于4，排除A.
故选：B.
变式5．（2023·天津和平·统考三模）函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，为偶函数，则图象关于轴对称，与已知图象不符，A错误；
对于B，当时，，与已知图象不符，B错误；
对于D，，不是奇函数，则图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误；
对于C，，，
为奇函数，图象关于原点对称；
为上的减函数，为上的增函数；
又，图象与已知图象符合，C正确.
故选：C.
变式6．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，即，
化为指数式，得，
其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，
与已知图象不符，所以选项B错误；
由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：
与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
故选：A.
【通性通解总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
例7．（2023·广东广州·广州六中校考三模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.
故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】法一：当时，
设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，
故选：B.
法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.
故选：B.
例9．（2023·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
故选：B.
变式7．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图知：，所以，
当时，函数无意义，由图知：，所以.
令，解得，由图知：，
又因为，所以.
综上：，，.
故选：A
变式8．（2023·浙江·高三浙江省江山中学校联考期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【解析】因为函数图象关于轴对称，所以为偶函数，
所以，解得，
由图象可得，得，
由图象可得分母有解，所以有解，
所以，解得.
故选：A.
变式9．（多选题）（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由可知函数定义域为，
由图象可知 ，C正确；
因为 ，B正确；
令，由图象知，A错误；
由，D正确，
故选：.
【通性通解总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.小明沿走时，与点的直线距离保持不变，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.
故选：D.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
故选：A
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当P点在AO之间时，f（x）x2（0＜x≤1），排除B,D
当P点在OB之间时，y随x的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A正确
故选A．
【通性通解总结】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
例13．（2023·河南·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有5个不同实数解
【答案】D
【解析】∵，∴，∴
当时，，∴函数在区间的图象如图：
∵是偶函数，∴，即
∴的图象关于直线对称，在区间的图象如图：
∵，
∴将中的替换为，得
，即
∴的图象关于点对称，在区间的图象如图：
由函数图象的对称轴直线和对称中心进行多次对称变换，可得函数图象如图：
由函数图象可知，是周期为的周期函数，
函数的对称轴为直线（Z），对称中心为点（Z），
另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：
将中的替换为，得，
即，
由已知有，
∴
将中分别替换为和，得
，即
和，即
∴
将中替换为，得，
即，∴是周期为的周期函数.
对于A，，故A正确；
对于B，当时，由图象可知其值域为，故B正确；
对于C，由图象知，其图象的对称中心为点（Z），
当时，点为图象的对称中心，因此将的图象向左平移个单位长度，所得函数为奇函数，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，再将轴下方的图象翻折至轴上方，得到函数的图象，易知的图象过点
如图，的图象与的图象有6个交点，所以方程有6个不同实数解，故D错误．
故选：D.
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称
D．方程最少有两个解
【答案】D
【解析】已知在R上为奇函数，，
由，令，则，所以有，函数的周期为2，所以，故选项A正确；
因为且，所以，所以函数的对称轴为，又因为函数的周期为2，
所以，故为数的对称轴；故选项C正确；
当时，，此时易知当取值越大，值越大，为增函数，，已知在R上为奇函数，，，则根据奇函数对称性可得，当时，，此时，所以当时，的值域为，而函数的对称轴为，所以当时，的值域也为，又因为函数的周期为2，所以函数在每个周期内的值域为，综上，的值域也为，故选项B正确；
方程有解等价于函数与函数有交点
已知在R上为奇函数，画出函数图像如图，
图像可根据向上或下平移个单位，根据函数与函数的图像以及性质可知，函数与函数至多有3个交点，最少为1个交点，故选项D错误.
故选：D.
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
【答案】C
【解析】由得：，则图象关于对称，
当时，，，
，作出图象如下图所示，
由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误；
在上单调递减，B错误；
，C正确；
在上单调递增，D错误.
故选：C.
变式11．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，
所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
命题点2 函数图象在不等式中的应用
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
变式13．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：
由图象知，只需，
解得，又，所以，
故选：A
变式14．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得函数的图像总是在的图像上方，可转化为，
即，在恒成立问题，则变形后，
求出最小值即可，令，
，则，，在单调递减，，，
在单调递增，所以，即，
故选：D
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】即为函数的图像在函数的图像的上方的部分对应自变量的范围，
由图可知，当时，或，
即不等式的解集是.
故选：A.
变式16．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图所示：且，
当时，当和时，不等式恒成立，所以不满足恒成立，
当时，不等式对于一定不成立；由排除法知选项A不正确；
当时，作出的图象，如图中虚线所示：
此时满足恒成立，所以实数的最小值为，
故选：B.
命题点3 求参数的取值范围
变式17．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
故选：C.
变式19．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
变式20．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：，
则对任意的恒成立，
又有两解，
则恒成立且有两解.
，
当时，如图所示：
只需，解得，
当时，如图所示：
只需且或者即可，解得，
综上所述：.
故选：C
【通性通解总结】
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
题型六：函数的图像的变换
例16．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
例17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
例18．（2023·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故选:D.
变式21．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】关于直线对称的函数为，
将向下平移三个单位得到，
将向左平移一个单位得到，
即，
故.
故选：D
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将化为，
则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
得到曲线，即，
要使曲线上的点到直线的距离最短，
只需曲线上在该点处的切线和直线平行，
设曲线上该点为，
因为，且的斜率为，
所以，解得或（舍），
即该点坐标为.
故选：B.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．
故选：D．
变式25．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【解析】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2），其图象如图：
（3）设，其图象如图：
（4）设，其图象如图：
（5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图象如图示：
（6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．
【解析】 ．作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数的图象，如图所示．
【通性通解总结】
1、平移变换注意“上加下减，左加右减”．
2、图像的平移即对称轴、对称中心、最值点的平移．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
2．（2023·湖北武汉·统考三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；
当时，，则，故B不正确；
当时，，故，故C不正确.
故选：A
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，即函数为偶函数，排除C，D；
因为，所以排除B，
故选：A．
4．（2023·河南郑州·模拟预测）如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，
即为奇函数，可排除C项，
而当且仅当即时，取等号，
且时，，可排除B、D选项，
故选：A
5．（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
因为
，
若为定值，
则，解得，此时，
所以函数有且仅有一个对称中心.
对于选项A：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故A错误；
对于选项B：有且仅有一个对称中心为，符合题意，故B正确；
对于选项C：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故C错误；
对于选项D：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故D错误；
故选：B.
6．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，则定义域为，
则，
，
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
7．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【答案】B
【解析】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，
故这4048个交点的横坐标之和为，
而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，
故与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：B
二、多选题
8．（2023·全国·模拟预测）已知，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】令，函数定义域为R，由，故为偶函数．
当k＝0时，函数为偶函数，且其图像过点（0，2），显然四个选项都不满足．
当k为偶数且时，易知函数为偶函数，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，则选项C，D符合，
若k为正偶数，易知选项C符合；若k为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项C，D．
当k为奇数时，易知函数为奇函数，所以函数为奇函数，其图像关于坐标原点对称，则选项A，B符合，
若k为正奇数，易知选项B符合；若k为负奇数，易知函数的定义域为，易知选项A符合．综上，选ABC．
故选：ABC.
9．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
【答案】AD
【解析】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD.
10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，
A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；
B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；
C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；
D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.
故选：BC
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】，
画出的图象，如下：
A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误；
B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确；
C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点，
故，所以的取值范围为，C正确；
D选项，若函数有3个不同的零点，则，
令，解得：，
又，因为在上单调递增，
解得：，即，
，
故的取值范围为.
故选：BCD
三、填空题
12．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.
【答案】
【解析】
如图，显然.
当时，由单调性得，方程有且仅有一解.
因此当时，方程也恰有一解.
即为函数的切线，
，
令得，
故当时，，
得，即
从而.
故答案为：
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
【答案】
【解析】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，
则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，
则，即，，有，
因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，
所以.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【解析】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
【答案】
【解析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
由，可得，，则.
则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.
即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当时满足题意，则.
故答案为：.
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
命题点2 函数图象在不等式中的应用
命题点3 求参数的取值范围
题型六：函数的图像的变换
【2024年高考预测】
2023年高考函数 图象部分仍以考查图像的变换和识别为重点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题．
【知识点总结】
1、利用描点法作函数图象的方法步骤
2、利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）伸缩变换
：，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．
：，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍．
（3）对称变换
：关于轴对称；：关于轴对称；：关于原点对称．
（4）翻折变换
：去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边；
：留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去．
【方法技巧与总结】
（1），则的图像关于对称．
（2）函数与的图象关于对称．
（3），则的图象关于对称．
（4）与的图象关于对称．
（5）与的图象关于对称．
（6）与的图象关于点中心对称．
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【通性通解总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例4．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·广东·高三专题练习）某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·天津和平·统考三模）函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
变式6．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
例7．（2023·广东广州·广州六中校考三模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．2D．
例9．（2023·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
变式7．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8．（2023·浙江·高三浙江省江山中学校联考期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
变式9．（多选题）（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C．D．
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0
C．D．
【通性通解总结】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
例13．（2023·河南·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有5个不同实数解
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称
D．方程最少有两个解
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
变式11．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
命题点2 函数图象在不等式中的应用
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式13．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
变式16．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
命题点3 求参数的取值范围
变式17．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式20．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
题型六：函数的图像的变换
例16．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
例17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
变式21．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
变式25．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．
【通性通解总结】
1、平移变换注意“上加下减，左加右减”．
2、图像的平移即对称轴、对称中心、最值点的平移．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北武汉·统考三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南郑州·模拟预测）如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
二、多选题
8．（2023·全国·模拟预测）已知，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
三、填空题
12．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
专题11 函数的图象
【命题方向目录】
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
命题点2 函数图象在不等式中的应用
命题点3 求参数的取值范围
题型六：函数的图像的变换
【2024年高考预测】
2023年高考函数 图象部分仍以考查图像的变换和识别为重点，也可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题．
【知识点总结】
1、利用描点法作函数图象的方法步骤
2、利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）伸缩变换
：，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍．
：，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
，图像上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍．
（3）对称变换
：关于轴对称；：关于轴对称；：关于原点对称．
（4）翻折变换
：去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边；
：留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去．
【方法技巧与总结】
（1），则的图像关于对称．
（2）函数与的图象关于对称．
（3），则的图象关于对称．
（4）与的图象关于对称．
（5）与的图象关于对称．
（6）与的图象关于点中心对称．
【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，，定义域关于原点对称，
得，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除BD；
当时，，，，所以，
排除A.
故选：C.
例2．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
求导得
，
当时，由解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当和时，取极大值；当时，取极小值，
由于，
可得，当时，
结合图象，只有C选项满足．
故选：C．
例3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，，
是奇函数，故排除B；
，排除C；
，
，排除D，
故选：A
变式1．（2023·山东德州·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数，都可其定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；
当时，；当时，；当时，，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.
故选：D.
变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
变式3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，
因此排除C，
故选：B
【通性通解总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例4．（2023·山东·模拟预测）已知函数，，则如图所示图象对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为定义域为，且，
所以为奇函数，
又，所以定义域为，
且，
所以为偶函数，
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故A、B排除；
当时，则，故排除D.
故选：C
例5．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知的图象如图，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可知函数的定义域为，
而选项B，的定义域为，由此即可排除选项；
函数图象关于原点对称，即为奇函数，
而选项A, ， ，
所以为偶函数，由此可排除选项A；
根据图象可知，而选项D, ，
, 由此可排除D，选项C满足图象特征.
故选：C.
例6．（2023·广东·高三专题练习）某个函数的大致图像如图所示，则该函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】4个选项函数定义域均为R，
对于A, ，故为奇函数，且
对于B, 故为奇函数，，
对于C, ,故为偶函数，
对于D，故为奇函数，，
由图知为奇函数，故排除C；由，排除A,由，排除D,
故选：B．
变式4．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据函数图象分析可知，图象过点，排除C、D，
因为函数值不可能等于4，排除A.
故选：B.
变式5．（2023·天津和平·统考三模）函数图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，，为偶函数，则图象关于轴对称，与已知图象不符，A错误；
对于B，当时，，与已知图象不符，B错误；
对于D，，不是奇函数，则图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误；
对于C，，，
为奇函数，图象关于原点对称；
为上的减函数，为上的增函数；
又，图象与已知图象符合，C正确.
故选：C.
变式6．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，即，
化为指数式，得，
其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，
与已知图象不符，所以选项B错误；
由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：
与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
故选：A.
【通性通解总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
例7．（2023·广东广州·广州六中校考三模）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以得：，故C错误；
由图象可知，故D错误；
因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.
故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】法一：当时，
设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，
故选：B.
法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.
故选：B.
例9．（2023·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，设为的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由为偶函数得到为偶函数，从而得到，再由得到，从而得到解析式，通过求导找到极大值点，代入计算即可.因为为偶函数，为偶函数，所以为偶函数，
又，所以，由图象及，所以
解得，结合时，知
所以，因为和为偶函数，所以只需考虑
的情况，当时，，
当，即时，有极大值， 此时.
故选：B.
变式7．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图知：，所以，
当时，函数无意义，由图知：，所以.
令，解得，由图知：，
又因为，所以.
综上：，，.
故选：A
变式8．（2023·浙江·高三浙江省江山中学校联考期中）函数的图象如图所示，则（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【解析】因为函数图象关于轴对称，所以为偶函数，
所以，解得，
由图象可得，得，
由图象可得分母有解，所以有解，
所以，解得.
故选：A.
变式9．（多选题）（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由可知函数定义域为，
由图象可知 ，C正确；
因为 ，B正确；
令，由图象知，A错误；
由，D正确，
故选：.
【通性通解总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用．
题型四：函数图象应用题
例10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.小明沿走时，与点的直线距离保持不变，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.
故选：D.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象大致是下图中的
A． B．
C．D．
【答案】A
【解析】当点在上时：
当点在上时：
当点在上时：
由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数
故选：A
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0
C．D．
【答案】A
【解析】当P点在AO之间时，f（x）x2（0＜x≤1），排除B,D
当P点在OB之间时，y随x的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A正确
故选A．
【通性通解总结】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
题型五：函数图像的综合应用
命题点1 研究函数的性质
例13．（2023·河南·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，的取值范围为
C．为奇函数
D．方程仅有5个不同实数解
【答案】D
【解析】∵，∴，∴
当时，，∴函数在区间的图象如图：
∵是偶函数，∴，即
∴的图象关于直线对称，在区间的图象如图：
∵，
∴将中的替换为，得
，即
∴的图象关于点对称，在区间的图象如图：
由函数图象的对称轴直线和对称中心进行多次对称变换，可得函数图象如图：
由函数图象可知，是周期为的周期函数，
函数的对称轴为直线（Z），对称中心为点（Z），
另外，函数的周期性还可以通过以下方法进行证明：
将中的替换为，得，
即，
由已知有，
∴
将中分别替换为和，得
，即
和，即
∴
将中替换为，得，
即，∴是周期为的周期函数.
对于A，，故A正确；
对于B，当时，由图象可知其值域为，故B正确；
对于C，由图象知，其图象的对称中心为点（Z），
当时，点为图象的对称中心，因此将的图象向左平移个单位长度，所得函数为奇函数，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，再将轴下方的图象翻折至轴上方，得到函数的图象，易知的图象过点
如图，的图象与的图象有6个交点，所以方程有6个不同实数解，故D错误．
故选：D.
例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数满足．当时，．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．函数的图像关于直线对称
D．方程最少有两个解
【答案】D
【解析】已知在R上为奇函数，，
由，令，则，所以有，函数的周期为2，所以，故选项A正确；
因为且，所以，所以函数的对称轴为，又因为函数的周期为2，
所以，故为数的对称轴；故选项C正确；
当时，，此时易知当取值越大，值越大，为增函数，，已知在R上为奇函数，，，则根据奇函数对称性可得，当时，，此时，所以当时，的值域为，而函数的对称轴为，所以当时，的值域也为，又因为函数的周期为2，所以函数在每个周期内的值域为，综上，的值域也为，故选项B正确；
方程有解等价于函数与函数有交点
已知在R上为奇函数，画出函数图像如图，
图像可根据向上或下平移个单位，根据函数与函数的图像以及性质可知，函数与函数至多有3个交点，最少为1个交点，故选项D错误.
故选：D.
例15．（2023·全国·高三专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．函数在上单调递增
C．D．函数在上单调递减
【答案】C
【解析】由得：，则图象关于对称，
当时，，，
，作出图象如下图所示，
由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误；
在上单调递减，B错误；
，C正确；
在上单调递增，D错误.
故选：C.
变式11．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象关于点对称
C．为奇函数D．的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，
所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
命题点2 函数图象在不等式中的应用
变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
变式13．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：
由图象知，只需，
解得，又，所以，
故选：A
变式14．（2023·贵州贵阳·高三统考阶段练习）已知两函数，，若当时，函数的图像总是在的图像上方，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得函数的图像总是在的图像上方，可转化为，
即，在恒成立问题，则变形后，
求出最小值即可，令，
，则，，在单调递减，，，
在单调递增，所以，即，
故选：D
变式15．（2023·全国·高三专题练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】即为函数的图像在函数的图像的上方的部分对应自变量的范围，
由图可知，当时，或，
即不等式的解集是.
故选：A.
变式16．（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则非零实数的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】作出函数的图象如图所示：且，
当时，当和时，不等式恒成立，所以不满足恒成立，
当时，不等式对于一定不成立；由排除法知选项A不正确；
当时，作出的图象，如图中虚线所示：
此时满足恒成立，所以实数的最小值为，
故选：B.
命题点3 求参数的取值范围
变式17．（2023·山东济南·统考三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
故选：C.
变式19．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
变式20．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数，的定义域为，，若，且，则关于x的方程有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：，
则对任意的恒成立，
又有两解，
则恒成立且有两解.
，
当时，如图所示：
只需，解得，
当时，如图所示：
只需且或者即可，解得，
综上所述：.
故选：C
【通性通解总结】
1、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想．
题型六：函数的图像的变换
例16．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
例17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，
当时，所求函数图象与时图象关于轴对称，
即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，
当时，，，故A正确，C错误.
故选：A.
例18．（2023·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故选:D.
变式21．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】关于直线对称的函数为，
将向下平移三个单位得到，
将向左平移一个单位得到，
即，
故.
故选：D
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将化为，
则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，
得到曲线，即，
要使曲线上的点到直线的距离最短，
只需曲线上在该点处的切线和直线平行，
设曲线上该点为，
因为，且的斜率为，
所以，解得或（舍），
即该点坐标为.
故选：B.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．
故选：D．
变式25．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1)
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【解析】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2），其图象如图：
（3）设，其图象如图：
（4）设，其图象如图：
（5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图象如图示：
（6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到的图象？并画出相应图象．
【解析】 ．作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数的图象，如图所示．
【通性通解总结】
1、平移变换注意“上加下减，左加右减”．
2、图像的平移即对称轴、对称中心、最值点的平移．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
2．（2023·湖北武汉·统考三模）函数的部分图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为，关于原点对称，
又因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；
当时，，则，故B不正确；
当时，，故，故C不正确.
故选：A
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）函数在区间的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，即函数为偶函数，排除C，D；
因为，所以排除B，
故选：A．
4．（2023·河南郑州·模拟预测）如图，函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，
即为奇函数，可排除C项，
而当且仅当即时，取等号，
且时，，可排除B、D选项，
故选：A
5．（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
因为
，
若为定值，
则，解得，此时，
所以函数有且仅有一个对称中心.
对于选项A：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故A错误；
对于选项B：有且仅有一个对称中心为，符合题意，故B正确；
对于选项C：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故C错误；
对于选项D：有且仅有一个对称中心为，不合题意，故D错误；
故选：B.
6．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，则定义域为，
则，
，
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
7．（2023·天津·统考二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
【答案】B
【解析】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，
故这4048个交点的横坐标之和为，
而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，
故与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：B
二、多选题
8．（2023·全国·模拟预测）已知，则函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】令，函数定义域为R，由，故为偶函数．
当k＝0时，函数为偶函数，且其图像过点（0，2），显然四个选项都不满足．
当k为偶数且时，易知函数为偶函数，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，则选项C，D符合，
若k为正偶数，易知选项C符合；若k为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项C，D．
当k为奇数时，易知函数为奇函数，所以函数为奇函数，其图像关于坐标原点对称，则选项A，B符合，
若k为正奇数，易知选项B符合；若k为负奇数，易知函数的定义域为，易知选项A符合．综上，选ABC．
故选：ABC.
9．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
【答案】AD
【解析】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD.
10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，
A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；
B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；
C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；
D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.
故选：BC
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的值域是
C．若方程有5个解，则的取值范围为
D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】，
画出的图象，如下：
A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误；
B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确；
C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点，
故，所以的取值范围为，C正确；
D选项，若函数有3个不同的零点，则，
令，解得：，
又，因为在上单调递增，
解得：，即，
，
故的取值范围为.
故选：BCD
三、填空题
12．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数__________.
【答案】
【解析】
如图，显然.
当时，由单调性得，方程有且仅有一解.
因此当时，方程也恰有一解.
即为函数的切线，
，
令得，
故当时，，
得，即
从而.
故答案为：
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
【答案】
【解析】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，
则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，
则，即，，有，
因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，
所以.
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【解析】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．
【答案】
【解析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
由，可得，，则.
则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.
即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当时满足题意，则.
故答案为：.
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