新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题05一元二次不等式与其他常见不等式解法(原卷版+解析)，共42页。

命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
命题方向四：其他不等式解法
命题方向五：二次函数根的分布问题
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1 在R上恒成立问题
命题点2 在给定区间上恒成立问题
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
【2024年高考预测】
2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法
【知识点总结】
1、一元二次不等式
例1．分式不等式与整式不等式
（1）；
（2）且．
（3）与或同解；与同解．
（4）．
例2．简单的绝对值不等式
的解集为的解集为．
例3．一元高次不等式的解法
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”．
【方法技巧与总结】
一元二次不等式与判别式
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足．
【典例例题】
命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
例4．（2023·上海长宁·统考一模）不等式的解集为___________
例5．（2023·上海·高三统考学业考试）一元二次不等式的解集为______________
例6．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
变式1．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
例7．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.
例8．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.
例9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
变式3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【通性通解总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为______．
例11．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝_________________.
例12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设关于的不等式的解集为，则__________.
变式4．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______________．
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．C．D．
【通性通解总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
命题方向四：其他不等式解法
例13．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_______．
例14．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.
例15．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集为_____．
变式6．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域是______.
变式7．（2023·上海徐汇·统考一模）不等式的解集为____________.
变式8．（2023·上海崇明·统考一模）不等式的解集为______.
【通性通解总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
命题方向五：二次函数根的分布问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
例17．（2023·全国·高三专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是_______
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
变式10．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1 在R上恒成立问题
变式12．（2023·上海松江·统考一模）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
变式13．（2023·全国·高三专题练习）对恒成立，则实数的范围为________________.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是______．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________．
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________．
变式17．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________.
变式18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
命题点2 在给定区间上恒成立问题
变式19．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
变式20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
变式22．（2023·全国·高三专题练习）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
变式24．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.
变式27．（2023·高一课时练习）已知不等式．
(1)若不等式在时有解，求实数的取值范围；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
变式28．（2023·辽宁本溪·高一校考期末）函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
变式29．（2023·浙江湖州·高一统考期中）已知不等式.
(1)若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要分件
2．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·天津·校联考模拟预测）设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东·统考模拟预测）若集合，，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
10．（2023·海南·统考模拟预测）已知实数x，y满足，则（ ）．
A．B．
C．D．
11．（2023·重庆·统考三模）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是D．的最小值是3
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，，且，则的最小值为1
B．若，，且，则的最小值为1
C．若关于的不等式的解集为，则
D．关于的不等式的解集为
三、填空题
13．（2023·河北·统考模拟预测）若，，则a的一个可取的正整数值为___________.
14．（2023·重庆·统考一模）已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.
15．（2023·广西玉林·统考模拟预测）函数，且，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为______.
16．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
19．（2023·全国·高三专题练习）不等式有解，求a.
20．（2023·高三课时练习）已知关于x的方程，
（1）若方程有两个正根，求：m的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为的一个动点.设函数.
(1)当，时，求的不动点；
(2)若有两个相异的不动点，.若且，求实数的取值范围.
22．（2023·全国·高三专题练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，集合且，．
(1)求全集和集合.
(2)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由．
(3)若，且，求出实数的取值范围.
判别式
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数根，
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【命题方向目录】
命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
命题方向四：其他不等式解法
命题方向五：二次函数根的分布问题
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1 在R上恒成立问题
命题点2 在给定区间上恒成立问题
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
【2024年高考预测】
2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法
【知识点总结】
1、一元二次不等式
例1．分式不等式与整式不等式
（1）；
（2）且．
（3）与或同解；与同解．
（4）．
例2．简单的绝对值不等式
的解集为的解集为．
例3．一元高次不等式的解法
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”．
【方法技巧与总结】
一元二次不等式与判别式
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足．
【典例例题】
命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
例4．（2023·上海长宁·统考一模）不等式的解集为___________
【答案】
【解析】因为，
所以不等式的解集为：，
故答案为：.
例5．（2023·上海·高三统考学业考试）一元二次不等式的解集为______________
【答案】或
【解析】由，得，解得或，
所以不等式的解集为或；
故答案为：或
例6．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由解得，或，
所以不等式的解集为或，
故选：D.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】定义域为，，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，又，在上均为增函数，
在上为增函数，则在上为减函数；
由可得：，即，
解得：，即不等式的解集为.
故选：D.
【通性通解总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
例7．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.
【解析】原不等式变为，
①当时，原不等式可化为，
所以当时，解得；
当时，解集为；
当时，解得
②当时，原不等式等价于，即.
③当时，，原不等式可化为，
解得或.
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
例8．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.
【解析】由题意知，
①当，即或时，
方程的两根为，
所以解集为；
②若，即时，
当时，原不等式可化为，
即，所以，
当时，原不等式可化为，
即，所以；
③当，
即时，原不等式的解集为；
综上，当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
例9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【解析】依题意，且，
所以，且，解得，
所以原不等式的解集为．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
【解析】由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
变式3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【解析】由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
【通性通解总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为,则，即，
解得或．
故答案为．
例11．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝_________________.
【答案】24
【解析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：，或为方程的两个根，即，∴.
故答案为：24
例12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设关于的不等式的解集为，则__________.
【答案】
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以一元二次方程的两个根为，
所以根据韦达定理可得，解得，
所以，
故答案为: .
变式4．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______________．
【答案】
【解析】因为关于x的不等式的解集为，
所以且方程的解为，
则，
所以，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】由关于x的不等式的解集是，
所以是一元二次方程的两根；
所以，选项A正确；
，选项B正确；
所以，选项D正确．
由，可得：是错误的，即选项C错误．
故选：ABD．
【通性通解总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
命题方向四：其他不等式解法
例13．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_______．
【答案】或
【解析】因为，所以或，
即或，
由解得或，
由可得，所以，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
例14．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.
【答案】
【解析】原不等式可化为，
即，
即，即，
解得，
∴原不等式的解集为，
故答案为：
例15．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
变式6．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域是______.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则应满足，即
该不等式等价于，解得.
所以，函数的定义域是.
故答案为：.
变式7．（2023·上海徐汇·统考一模）不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】恒成立，原不等式可化为，即，
解得，
故答案为：
变式8．（2023·上海崇明·统考一模）不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由，得，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：
【通性通解总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
命题方向五：二次函数根的分布问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【解析】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
例17．（2023·全国·高三专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是_______
【答案】
【解析】 有一正一负根
故答案为：
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，
可得，，
，
又 ，可得，
，
又
，
，
又，
，
故答案为：．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】B
【解析】因为函数（b，c为实数），，
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，
解得，
所以，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
变式10．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】方程有两个负实根，则两根之和小于0．两根之积大于0，故可建立不等式组，从而可求实数的取值范围．要原方程有两个负实根，必须：
.
或
∴实数的取值范围是.
故选：D.
【通性通解总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1 在R上恒成立问题
变式12．（2023·上海松江·统考一模）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】.
【解析】由题意知，，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： .
变式13．（2023·全国·高三专题练习）对恒成立，则实数的范围为________________.
【答案】
【解析】对恒成立．
① 当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得
综上，实数的范围为.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】由函数的定义域为，
得，恒成立．
当时，，成立；
当时，需满足于是．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：.
变式15．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【解析】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，
令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，当时，由，得到，
当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为对任意，恒成立，
则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵不等式的解集为，
∴恒成立.
①当，即时，不等式化为，
解得：，不是对任意恒成立，舍去；
②当，即时，对任意，
要使，
只需且，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：
变式18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【解析】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
命题点2 在给定区间上恒成立问题
变式19．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【答案】
【解析】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
变式20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
【答案】－4
【解析】∵当时，恒成立，
∴恒成立，
又当时，，当且仅当x＝2时取等号．
∴，
∴，故a的最小值为－4.
故答案为：.
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.
【答案】
【解析】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下两种解法：
解法1：令，．
当时，在上单调递增，所以，即，
所以，所以；当时，恒成立；当时，在上单调递减，所以，即，所以，所以.
综上所述，m的取值范围是.
解法2：因为，又因为在上恒成立，所以在上恒成立．令，因为函数在上的最小值为，所以只需即可．所以的取值范围是.
故答案为：
变式22．（2023·全国·高三专题练习）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.
【答案】5
【解析】由特称命题的否定可知： ，的否定为，且为真命题.
分离参数化简得：恒成立.
对，当且仅当时取得最小值4，
即，∴a的最大值为5
故答案为：5
变式23．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，
令，，
要使在上恒成立，
当时，不符合题意，
当时，若要在上恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，
当对称轴，即时，只需，解得；
当对称轴，即时，只需，解得；
综上所述，
故答案为：
变式24．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不等式可化为，
由已知可得
令，
可得
∴ 或，
故选D.
变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.
【答案】
【解析】依题意函数是奇函数，且在是单调增函数，又，
所以，所以的值域是.
所以对任意恒成立，
即任意恒成立，
所以，解得或或，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式27．（2023·高一课时练习）已知不等式．
(1)若不等式在时有解，求实数的取值范围；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）不等式可化为①，
设，
当不等式①在时有解时，
即存在，使得，
所以或成立，
即或，
解得或，
所以实数的取值范围是．
（2）不等式化为②，
设，
因为时不等式②恒成立，
即，
所以，
解得或或；
所以实数的取值范围是．
变式28．（2023·辽宁本溪·高一校考期末）函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】（1）当时，恒成立，即恒成立，
则，即，解得
所以实数a的取值范围是．
（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称轴为，分如下三种情况讨论：
①当，即时，函数在上单调递增，，解得，此时无解；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，此时；
③当，即时，函数在上单调递减，，解得，此时；
综上可知，实数a的取值范围是．
（3）令，当时，恒成立，即恒成立，
函数是关于a的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即，解得或
所以实数x的取值范围是
变式29．（2023·浙江湖州·高一统考期中）已知不等式.
(1)若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由已知可得，解得.
（2）由已知，存在实数，使得，则，即，解得或.因此，实数的取值范围为或.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要分件
【答案】C
【解析】令，则由得，
解得或，又因为，
所以，即：，解得，
又因为“”是“” 的充要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
3．（2023·天津·校联考模拟预测）设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】或，由得,所以，
故选：D
4．（2023·广东·统考模拟预测）若集合，，且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，
方程或.
当时，，此时，不合题意；
当时，，此时，不合题意；
当时，，此时，不合题意；
当时，，此时，适合题意；
综上，.
故选：C.
5．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，当时，；当时，；当时，．
当时， ，即 ，构造函数 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当时，，当时，由，解得，不合题意；
当时，由，得，不合题意；
当时，由，得，，所以，此时，不合题意；
当时，，由，解得，
此时当时恒成立，所以的解集为，符合题意；
当时，由，得，又，所以，此时适合题意；
综上，关于的不等式的解集为，则 .
故选：C.
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】关于的不等式的解集为R，
则，解之得，
则“关于的不等式的解集为R”的一个
必要不充分条件对应的a的范围应包含，则仅选项C符合题意.
故选：C
7．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
8．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，解得，
于是，而，
当且仅当，即时等号，因此，
所以当时，取得最大值.
故选：C
二、多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
【答案】AD
【解析】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若为假命题，则的否定“”是真命题，即方程在实数范围内无解，，得，C不正确；
D选项，，等价于，解得，D正确；
故选：AD.
10．（2023·海南·统考模拟预测）已知实数x，y满足，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，得，
对于A，，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，，得，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，，得，
所以，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：ACD.
11．（2023·重庆·统考三模）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是D．的最小值是3
【答案】BC
【解析】对于A，因为，，
所以，当且仅当时取等号，
由，
即，解得，
即，A错误；
对于B， 由，,，
当且仅当时取等号，
得，
所以,
又，
所以，即，
故B正确；
对C选项，因为，,，
得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，C正确，
对于D, C选项知：，
则 ，
当且仅当，即时等号成立,但，
所以．（等号取不到）,故D错误；
故选：BC.
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，，且，则的最小值为1
B．若，，且，则的最小值为1
C．若关于的不等式的解集为，则
D．关于的不等式的解集为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1，故B错误；
对于C，因为的解集为，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．（2023·河北·统考模拟预测）若，，则a的一个可取的正整数值为___________.
【答案】1（或2，3）
【解析】由题意，解得，
的正整数值为1或2或3，
故答案为：1（也可取2，3）．
14．（2023·重庆·统考一模）已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由题意知，
，，
故答案为：.
15．（2023·广西玉林·统考模拟预测）函数，且，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知，当时，；当时，；当时，．
当时， ，即 ，构造函数 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
， ；
当时，，当时，由，得，不合题意；
当时，由，得，不合题意；
当时，由，得，，所以，此时，不合题意；
当时，由，得，又，所以，此时适合题意；
综上，关于x的不等式的解集为，则 .
故答案为：.
16．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】由得，，令，，则原式变形为，.
当，即时，符合题意.
当，或
当时，此时在上单调递减，则恒成立，有，即，解得；所以
当时，此时在上单调递增，则，有，即，解得，所以
综上所述，的范围为.
故答案为：
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m．
【解析】关于一元二次不等式的解集为R，
，即，解得
故.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
【解析】由题知，
设，
当时，恒成立.
当且仅当，即，
解得且，
或且，
则.
所以的取值范围是.
19．（2023·全国·高三专题练习）不等式有解，求a.
【解析】关于的不等式有解，
，解得.
20．（2023·高三课时练习）已知关于x的方程，
（1）若方程有两个正根，求：m的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围.
【解析】方法一，因为方程有两个正根，所以 ，解得或。所以，m的取值范围为。
方法二，令 ，因为 ，方程有两个正根，所以函数的图象一定开口向下，所以
，解得或。所以，m的取值范围为。
（2）令 ，因为 ，方程有两个正根，所以函数的图象一定开口向下，所以
，解得 ，所以，m的取值范围为。
21．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为的一个动点.设函数.
(1)当，时，求的不动点；
(2)若有两个相异的不动点，.若且，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，即，解得或，即的不动点为3或；
（2）由题设，且，，
，则，
又，要使有一根属于，则对称轴，
，由得：，
的取值范围是：.
22．（2023·全国·高三专题练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，集合且，．
(1)求全集和集合.
(2)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由．
(3)若，且，求出实数的取值范围.
【解析】（1）当，，时，或或，
，
或或，即；
当，，时，，，
，即.
（2）由（1）得：，若，则或；
当时，，解得：；
当时，，方程组无解；
综上所述：当时，集合能满足.
（3）由知：方程在上有解，
的对称轴为，只需，即即可；
实数的取值范围为.
判别式
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数根，
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集