2024年高考数学第一轮复习专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（原卷版）

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法

【考点预测】

1、一元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上.

（2）①若，解集为.

②若，解集为.

③若，解集为.

(2) 当时，二次函数图象开口向下.

①若，解集为

②若，解集为

2、分式不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

3、绝对值不等式

（1）

（2）；

；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【方法技巧与总结】

1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．

已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．

3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．

由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．

4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

【题型归纳目录】

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

题型二：含参数一元二次不等式的解法

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

题型四：其他不等式解法

题型五：二次函数根的分布问题

题型六：一元二次不等式恒成立问题

【典例例题】

题型一：不含参数一元二次不等式的解法

例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（m是常数）的图象过点．

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集．

例2．（2023·全国·高三专题练习）不等式组的解集为_________.

例3．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则___________．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．（用区间表示）

【方法技巧与总结】

解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集

题型二：含参数一元二次不等式的解法

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则关于x的不等式的解集是（　　）

A．或 B．或

C． D．

例5．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

例6．（2023·全国·高三专题练习）若，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C．或 D．或

变式2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（    ）

A．或 B．{x|x>a}

C．或 D．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.

【方法技巧与总结】

1、数形结合处理．

2、含参时注意分类讨论．

题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式

例7．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则b的值为___．

例8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是，求不等式的解集．

例9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则__________．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.

变式6．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.

变式7．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

1、一定要牢记二次函数的基本性质．

2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．

题型四：其他不等式解法

例18．（2023·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是的解集为______．

例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

例11．（2023·全国·高三专题练习）写出一个解集为的分式不等式___________.

【方法技巧与总结】

1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．

2、根式不等式绝对值不等式平方处理．

题型五：二次函数根的分布问题

例12．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．

例13．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．

例14．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______

变式8．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程 的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.

【方法技巧与总结】

解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.

题型六：一元二次不等式恒成立问题

例15．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

例16．（2023·全国·高三专题练习）关于实数x的不等式．

(1)若，求该不等式解集；

(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

例17．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是．

(1)解不等式；

(2)b为何值时，的解集为R．

变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知.

（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.

【方法技巧与总结】

分离参数或数形结合

【过关测试】

一、单选题

1．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·高三专题练习），，，则（    ）

A． B． C．或 D．或

4．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

5．（2023·上海·高三专题练习）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ）

A．4 B．7 C．8 D．16

6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． 或 D．或

7．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知的解集为，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

10．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11．（2023·全国·高三专题练习）如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

12．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

13．（2023·全国·高三专题练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

14．（2023·全国·高三专题练习）恒成立，a的值可以为（    ）

A． B． C． D．4

15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

16．（2023·全国·高三专题练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

17．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集是____．

18．（2023·全国·高三专题练习）若对恒成立，则实数a的取值范围为___.

19．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是_____．

20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

21．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．

22．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．

四、解答题

23．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若，求实数的取值范围.

24．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为．求

(1)常数的值

(2)不等式的解

25．（2023·全国·高三专题练习）请回答下列问题：若关于的不等式的解集为或，求，的值.

26．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知，求的最小值．

（2）求关于x的不等式的解集：．

27．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数．

(1)当时，求不等式的解集.

(2)当时，求不等式的解集.

28．（2023·全国·高三专题练习）设，：实数满足.

(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

29．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.