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山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
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这是一份山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共9页。试卷主要包含了若复数满足，则的虚部为，向量，则在上的投影向量为，下列结论正确的有，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分），.这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A.65 B.70 C.75 D.80
6.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲､乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲､乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲､乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列结论正确的有（ ）
A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
B.在标准大气压下，水在时结冰为随机事件
C.若一组数据的众数是2，则这组数据的平均数为
D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一､二､三､四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生
10.下列命题正确的是（ ）
A.若，则与共面
B.若，则共面
C.若，则共面
D.若，则共面
11.在中，角所对的边分别为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则为锐角三角形
B.若，则
C.若，三角形面积，则
D.若，则为等腰三角形
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量与的夹角为，且，则实数的值为__________.
13.已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则原的面积为__________.
14.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖､二等奖､三等奖､无奖四种奖项，其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球.若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则他不能中奖的概率是__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知复数（是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
16.（15分）已知.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求的面积.
17.（15分）如图，在三棱台中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.
18.（17分）在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若为边上的一点，，且__________.，求的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.
①是的平分线；②为线段的中点.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（17分）为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村旅游项目.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数.
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，请列出所有的样本点，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
聊城二中高二开学考试数学试题
一､单选题
1.B 【解析】因为，所以，所以的虚部为.
2.D 解析在上的投影向量为.
3.C 【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，因此球的半径，有，所以球的表面积
4.C 【解析】在A中，若，则可能相交或平行，故A错误：在B中，若，，则与相交､平行或异面，故B错误：在C中，若，则由线面垂直的性质定理得，故C正确；在D中，若，则由线面垂直的性质定理得，故D错误.
5.B 【详解】因为10人成绩的第百分位数是85，
而，即第7位与第8位的平均值，
所以85是这10人成绩的第70百分为数.故选：B.
6.D 记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，
甲､乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
7.B【解析】连接，如图，
因为是的中点，所以
故选：B
8.B 由题意或.
二､多选题
9.答案CD 解析对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是
“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误；
对于B，在标准大气压下，水在时结冰为不可能事件，故B错误；
对于C，众数是2，所以平均数为，故C正确；
对于D，由条件可知应从四年级中抽取（名）学生，故D正确.
10.ABD 【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知，与共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，所以共面；选项C，举反例说明，若是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由可得，则，即，则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
11.答案BC 解析A中，，只知为锐角，不一定为锐角三角形，A不正确；
在中，，B正确；对于C项，由，则C正确；由可能是直角三角形D不正确.
二､填空题
12.答案 解析由题意得.因为，所以，解得.
13.答案 解析水平放置的按斜二测画法得到，其中，可知原的底边长为4，高为，则原的面积为.
14.答案 解析从16个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，故可得代表二等奖和三等奖的小球共有7个，又代表一等奖的球有1个，所以代表无奖的球有8个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率为.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.解.
（1）因为是纯虚数，所以解得.
（2）因为是的共轭复数，
所以，
所以.因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以解得.所以实数的取值范围为.
16.解（1）因为，所以.
又，所以，所以，
所以.又，所以.
（2），所以.
（3）因为与的夹角，
所以.又，
所以.
17.证明（1）如图，
连接，设，连接.在三棱台中，为的中点，
可得，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）连接.因为分别为的中点，
所以.由，得.又为的中点，
所以，因此四边形是平行四边形，
所以.又，
所以.又平面，
，所以平面.又平面，
所以平面平面.
18.解（1）由，结合正弦定理知，
将代入上式得，
.
（2）若选①：平分，
，即.
在中，由余弦定理得，
又.
联立得，
解得或（舍去），.
若选②：由题可得，
即，得.
在中，由余弦定理得，又，即，
联立可得.
19.解（1）由题图可知，消费金额在[内的“水果达人”的人数为，消费金额在内的“水果达人”的人数为，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，则这5人中消费金额不低于100元的人数为.
（2）消费金额在内的3个“水果达人”记为，
消费金额在内的2个“水果达人”记为.
所有样本点有，共10种，
2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7种，
所以2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率为.
（3）由题可知该游客要购买110元的水果.
若选择方案一，则需支付（元），
若选择方案二，则需支付（元），所以应该选择方案二更优惠.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分），.这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A.65 B.70 C.75 D.80
6.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲､乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲､乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲､乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，则用基底表示向量为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列结论正确的有（ ）
A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件
B.在标准大气压下，水在时结冰为随机事件
C.若一组数据的众数是2，则这组数据的平均数为
D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查.若该校一､二､三､四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取80名学生
10.下列命题正确的是（ ）
A.若，则与共面
B.若，则共面
C.若，则共面
D.若，则共面
11.在中，角所对的边分别为，下列结论正确的是（ ）
A.若，则为锐角三角形
B.若，则
C.若，三角形面积，则
D.若，则为等腰三角形
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量与的夹角为，且，则实数的值为__________.
13.已知水平放置的按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则原的面积为__________.
14.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖､二等奖､三等奖､无奖四种奖项，其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球.若中二等奖或三等奖的概率为，小华同学获得一次摸奖机会，则他不能中奖的概率是__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知复数（是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
16.（15分）已知.
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）若，求的面积.
17.（15分）如图，在三棱台中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面.
18.（17分）在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若为边上的一点，，且__________.，求的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.
①是的平分线；②为线段的中点.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（17分）为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村旅游项目.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数.
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，请列出所有的样本点，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
聊城二中高二开学考试数学试题
一､单选题
1.B 【解析】因为，所以，所以的虚部为.
2.D 解析在上的投影向量为.
3.C 【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，因此球的半径，有，所以球的表面积
4.C 【解析】在A中，若，则可能相交或平行，故A错误：在B中，若，，则与相交､平行或异面，故B错误：在C中，若，则由线面垂直的性质定理得，故C正确；在D中，若，则由线面垂直的性质定理得，故D错误.
5.B 【详解】因为10人成绩的第百分位数是85，
而，即第7位与第8位的平均值，
所以85是这10人成绩的第70百分为数.故选：B.
6.D 记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，
甲､乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
7.B【解析】连接，如图，
因为是的中点，所以
故选：B
8.B 由题意或.
二､多选题
9.答案CD 解析对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是
“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误；
对于B，在标准大气压下，水在时结冰为不可能事件，故B错误；
对于C，众数是2，所以平均数为，故C正确；
对于D，由条件可知应从四年级中抽取（名）学生，故D正确.
10.ABD 【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知，与共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，所以共面；选项C，举反例说明，若是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由可得，则，即，则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
11.答案BC 解析A中，，只知为锐角，不一定为锐角三角形，A不正确；
在中，，B正确；对于C项，由，则C正确；由可能是直角三角形D不正确.
二､填空题
12.答案 解析由题意得.因为，所以，解得.
13.答案 解析水平放置的按斜二测画法得到，其中，可知原的底边长为4，高为，则原的面积为.
14.答案 解析从16个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为，故可得代表二等奖和三等奖的小球共有7个，又代表一等奖的球有1个，所以代表无奖的球有8个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率为.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.解.
（1）因为是纯虚数，所以解得.
（2）因为是的共轭复数，
所以，
所以.因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，
所以解得.所以实数的取值范围为.
16.解（1）因为，所以.
又，所以，所以，
所以.又，所以.
（2），所以.
（3）因为与的夹角，
所以.又，
所以.
17.证明（1）如图，
连接，设，连接.在三棱台中，为的中点，
可得，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）连接.因为分别为的中点，
所以.由，得.又为的中点，
所以，因此四边形是平行四边形，
所以.又，
所以.又平面，
，所以平面.又平面，
所以平面平面.
18.解（1）由，结合正弦定理知，
将代入上式得，
.
（2）若选①：平分，
，即.
在中，由余弦定理得，
又.
联立得，
解得或（舍去），.
若选②：由题可得，
即，得.
在中，由余弦定理得，又，即，
联立可得.
19.解（1）由题图可知，消费金额在[内的“水果达人”的人数为，消费金额在内的“水果达人”的人数为，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，则这5人中消费金额不低于100元的人数为.
（2）消费金额在内的3个“水果达人”记为，
消费金额在内的2个“水果达人”记为.
所有样本点有，共10种，
2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7种，
所以2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率为.
（3）由题可知该游客要购买110元的水果.
若选择方案一，则需支付（元），
若选择方案二，则需支付（元），所以应该选择方案二更优惠.
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