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江西省上饶清源学校2024-2025学年高三上学期9月测试数学试卷
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这是一份江西省上饶清源学校2024-2025学年高三上学期9月测试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知fx=-2x2,x>0,ln1-x,x≤0,则不等式fx+3A．-3,1B．0,1
C．-∞,-3∪1,+∞D．1,+∞
2．若a>b>1,x=lna+b2,y=12lna+lnb,z=lna⋅lnb，则（ ）
A．x3．平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（ ）
A．a4．已知复数z=2+i，则zz-z=（ ）
A．-12-iB．12-iC．12+iD．-12+i
5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N为A1C1与B1D1的交点，M为DD1的中点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则MN=（ ）
A．12a+12b+12cB．12a-12b+12c
C．12a+12b-12cD．12a-12b-12c
6．安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ）
A．31B．53C．61D．65
7．已知Sn是等差数列an的前n项和，a3+a5+a7+a9=12，则S11=（ ）
A．22B．33C．40D．44
8．关于函数f(x)=13x3-12x2-2x+1，下列说法正确的是（ ）
①曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为8x-2y-25=0；
②f(x)的图象关于原点对称；
③若y=f(x)-m有三个不同零点，则实数m的范围是(-73,136)；
④f(x)在(-1,1)上单调递减.
A．①④B．②④C．①②③D．①③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数fx=13x3-12x2-2x+1，则函数fx（ ）
A．单调减区间为-2,1
B．在区间-3,3上的最小值为-132
C．图象关于点12,-112中心对称
D．极大值与极小值的和为-16
10．函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期T=π2
B．函数fx图象关于直线x=π3+kπ2k∈Z对称
C．把函数fx的图象向左平移π12个单位长度，得到gx=Asinωx的图象
D．fx在0,a上恰有3个零点，则实数a的取值范围是11π12,19π12
11．已知椭圆C：x24+y2b2=1b>0的左右焦点分别为F1、F2，点P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为(0,22)
B．当e=24时，QF1+QP的最大值为4+62
C．存在点Q，使得QF1⋅QF2=0
D．1QF1+1QF2的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)=ln(x+1)-mx+1,g(x)=x+lnxm(m>0)，且fx1=gx2=0，则x2x1+1em-1的最大值为 .
13．已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.若在△BCD中，CD=3,fB2=3，则△BCD面积的最大值为 .
14．已知函数f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a>0)，设曲线y=f(x)在点(xi，f(xi))处切线的斜率为ki(i=1，2，3)，若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集为R，集合A=x0<2x+a≤3，B=x-12（1）当a=1时，求A∪B；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
16．（15分）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
17．（17分）函数f(x)=3sinωx+π3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值；
（2）若f(x0)=335，且x0∈(0,1)，求f(x0-12)的值；
（3）求关于x的方程f(x)=32在0,2024上的最大根与最小根之和.
18．（15分）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，C1的长轴是圆C2：x2+y2=2的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值.
19．（17分）设数列an的前n项和为Sn，已知a2=2,Sn=n1+an2.令bn=an1an+1.
（1）求an的通项公式；
（2）当n∈N*时，bn≤bk，求正整数k；
（3）数列bn中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数x，使得bn中至少有两项等于x；若不存在，请说明理由.
高三数学参考答案
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】A
【解析】【解答】解：zz-z=2-i2+i-2-i=2-i2i=2i-i22i2=2i+1-2=-12-i，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】【解答】解：以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人.
当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，
所以此时不同的参加方法有C42C31+C43=18+4=22（种）；
当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，
所以此时不同的参加方法有C42C32+C43C31+C44=18+12+1=31（种）.
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是22+31=53.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：社团甲有3人和4人讨论即可.
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
【解析】【解答】由图可得A=2，T=2×π3--π6=π，则ω=2ππ=2，
有2×π3+φ=π2+2kπk∈Z，即φ=-π6+2kπk∈Z，
由-π<φ<0，故φ=-π6，即fx=2sin2x-π6，
对于选项A：由T=π，故选项A错误；
对于选项B：令2x-π6=π2+kπk∈Z，解得x=π3+kπ2k∈Z，故选项B正确；
对于选项C：把函数fx的图象向左平移π12个单位长度，
可得gx=2sin2x+2×π12-π6=2sin2x，故选项C正确；
对于选项D：当x∈0,a时，2x-π6∈-π6,2a-π6，
则有2π≤2a-π6<3π，即13π12≤a<19π12，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】由三角函数的图象和函数的周期性可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.
11．【答案】A,B,D
12．【答案】1
13．【答案】334
【解析】【解答】解：由图象可得T4=π3-π12=2π4ω，解得ω=2，
所以fx=Asin2x+φ，由A>0，
由图sin2×π12+φ=1,0<φ<π⇒φ=π3，
即fx=Asin2x+π3，
由f(0)=3，得Asinπ3=3⇒A=2.
故fx=2sin2x+π3，
在△BCD中，fB2=3⇒sinB+π3=32，
因为0设角B,C,D的对边为b,c,d，由CD=b=3，
则b2=c2+d2-2cdcsB=c2+d2-cd≥2cd-cd=cd，
所以cd≤3，当且仅当c=d=3时等号成立.
所以S△BCD=12cdsinB≤12×3×32=334，
所以△BCD面积最大值为334.
故填：334.
【分析】先由图象和三角函数的周期计算公式依次求解ω,φ,A的值，由fB2=3，代入f(x)解析式求B，在△BCD中，设三边b,c,d，由已知对边角b,B，利用余弦定理与重要不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求cd最大值，从而得面积的最大值.
14．【答案】18
【解析】【解答】解：因为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a>0)，
则f'(x)=a[(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3)(x-x1)]，
由题意可得k1=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=a(x2-x3)(x2-x1)，k3=a(x3-x1)(x3-x2)，
则1k1+1k2+1k3=1a(x1-x2)(x1-x3)+1a(x2-x3)(x2-x1)+1a(x3-x1)(x3-x2)
=(x3-x2)+(x1-x3)+(x2-x1)a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)=0，
由k2=-2，得1k1+1k3=12，k2=a(x2-x3)(x2-x1)<0，
可知x2位于x1，x3之间，
不妨设x10，k3>0，
可得k1+4k3=2(k1+4k3)(1k1+1k3)=2(5+k1k3+4k3k1)≥2(5+2k1k3⋅4k3k1)=18，
当且仅当k1k3=4k3k11k1+1k3=12，即k1=6，k3=3时等号成立，
所以k1+4k3的最小值为18，
故答案为：18
【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得1k1+1k3=12，k1>0，k3>0，结合基本不等式分析求解.
15．【答案】（1）解：当a=1时，A=-12,1，B=-∞,-12∪2,+∞，
所以A∪B=-∞,1∪2,+∞.
（2）解：因为A=-a2,3-a2，A∩B=A⇔A⊆B，
又因为A≠∅，所以-a2≥-12且3-a2<2，
解得a∈-1,1．
【解析】【分析】（1）由a=1结合一元一次不等式求解方法和交集的运算法则得出集合A，再结合并集的运算法则得出A∪B.
（2）由已知条件A∩B=A可得A⊆B，再结合A≠∅和集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当a=1时，A=-12,1，B=-∞,-12∪2,+∞，
所以A∪B=-∞,1∪2,+∞；
（2）A=-a2,3-a2，因为A∩B=A⇔A⊆B，
又因为A≠∅，所以-a2≥-12且3-a2<2，解得，a∈-1,1．
16．【答案】（1）解：由题意可知，10a+10b=0.3,10×0.045+0.020+a=0.7,
解得a=0.005,b=0.025,
可知每组的频率依次为0.05,0.25，0.45,0.2,0.05，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
（2）解：设第二组、第四组的平均数分别为x1,x2，方差分别为s12,s22，
且各组频率之为：
0.005×10:0.025×10:0.045×10:0.02×10:0.005×10=1:5:9:4:1，
所以，用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，
第四组面试者41+5+9+4+1×20=4人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数x=5×62+4×809=70，
则第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为
s2=59s12+x1-x2+49s22+x2-x2=59×40+(62-70)2+49×[70+(80-70)2]=4003,故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是4003．
【解析】【分析】（1）根据频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积以及各小矩形的面积之和为1，从而得出a，b的值，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）根据已知条件和分层抽样的方法、频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频率分布直方图求平均数的方法得出第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，再由方差公式估计出这次第二组和第四组所有面试者的方差．
（1）由题意可知，10a+10b=0.3,10×0.045+0.020+a=0.7,
解得a=0.005,b=0.025,
可知每组的频率依次为0.05,0.25，0.45,0.2,0.05，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为x1,x2，方差分别为s12,s22，
且各组频率之为：
0.005×10:0.025×10:0.045×10:0.02×10:0.005×10=1:5:9:4:1，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，
第四组面试者41+5+9+4+1×20=4人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数x=5×62+4×809=70，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
s2=59s12+x1-x2+49s22+x2-x2=59×40+(62-70)2+49×[70+(80-70)2]=4003,故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是4003．
17．【答案】（1）π2
（2）7610
（3）202423
18．【答案】（1）x22+y2=1；（2）2.
19．【答案】（1）解：S1=1+a12=a1，即a1=1.当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n1+an2-n-11+an-12，
即n-2an-n-1an-1+1=0.
将n换成n+1，有n-1an+1-nan+1=0.
上述两式相减得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，即an+1+an-1=2an,n≥2，
故an为等差数列.由a1=1,a2=2，
所以an=n.
（2）解：由bn=n1n+1，易得b1由1+1nn=1+k=1nCnk⋅1nk=1+k=1n1k!nn-1⋯n-k+1nk≤1+k=1n1k!<1+k=1n12k-1=1+1×1-12n1-12=1+21-12n<3.
得n+1nn+1=1+1nn1+1n<31+1n=3+3n即(n+1)n+1(n+1)1n+2.从而可得bn>bn+1(n≥4），
故bn的最大项是第4项b4.
所以k=4.
（3）解：存在，由（2）知，1=b1b5>b6>⋯.又对n≥2,bn=n3n+1>b1，
故若bn中有两项相等，只可能是b2=bk或b3=bm,k,m≥5，
且这样的k,m若存在，则必唯一.易得b2=213=819=b8,b3=314>b5=516，
又b3【解析】【分析】（1）应用an=Sn-Sn-1结合等差数列计算求解；
（2）根据求解数列的最大值即可解题；
（3）根据已知分析取等即可计算求解.
（1）S1=1+a12=a1，即a1=1.当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n1+an2-n-11+an-12，
即n-2an-n-1an-1+1=0.
将n换成n+1，有n-1an+1-nan+1=0.
上述两式相减得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，即an+1+an-1=2an,n≥2，
故an为等差数列.由a1=1,a2=2，
所以an=n.
（2）由bn=n1n+1，易得b1由1+1nn=1+k=1nCnk⋅1nk=1+k=1n1k!nn-1⋯n-k+1nk≤1+k=1n1k!<1+k=1n12k-1=1+1×1-12n1-12=1+21-12n<3.
得n+1nn+1=1+1nn1+1n<31+1n=3+3n即(n+1)n+1(n+1)1n+2.从而可得bn>bn+1(n≥4），
故bn的最大项是第4项b4.
所以k=4.
（3）由（2）知，1=b1b5>b6>⋯.又对n≥2,bn=n3n+1>b1，
故若bn中有两项相等，只可能是b2=bk或b3=bm,k,m≥5，
且这样的k,m若存在，则必唯一.易得b2=213=819=b8,b3=314>b5=516，
又b3
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知fx=-2x2,x>0,ln1-x,x≤0,则不等式fx+3
C．-∞,-3∪1,+∞D．1,+∞
2．若a>b>1,x=lna+b2,y=12lna+lnb,z=lna⋅lnb，则（ ）
A．x
A．a
A．-12-iB．12-iC．12+iD．-12+i
5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N为A1C1与B1D1的交点，M为DD1的中点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则MN=（ ）
A．12a+12b+12cB．12a-12b+12c
C．12a+12b-12cD．12a-12b-12c
6．安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ）
A．31B．53C．61D．65
7．已知Sn是等差数列an的前n项和，a3+a5+a7+a9=12，则S11=（ ）
A．22B．33C．40D．44
8．关于函数f(x)=13x3-12x2-2x+1，下列说法正确的是（ ）
①曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为8x-2y-25=0；
②f(x)的图象关于原点对称；
③若y=f(x)-m有三个不同零点，则实数m的范围是(-73,136)；
④f(x)在(-1,1)上单调递减.
A．①④B．②④C．①②③D．①③④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数fx=13x3-12x2-2x+1，则函数fx（ ）
A．单调减区间为-2,1
B．在区间-3,3上的最小值为-132
C．图象关于点12,-112中心对称
D．极大值与极小值的和为-16
10．函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期T=π2
B．函数fx图象关于直线x=π3+kπ2k∈Z对称
C．把函数fx的图象向左平移π12个单位长度，得到gx=Asinωx的图象
D．fx在0,a上恰有3个零点，则实数a的取值范围是11π12,19π12
11．已知椭圆C：x24+y2b2=1b>0的左右焦点分别为F1、F2，点P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为(0,22)
B．当e=24时，QF1+QP的最大值为4+62
C．存在点Q，使得QF1⋅QF2=0
D．1QF1+1QF2的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)=ln(x+1)-mx+1,g(x)=x+lnxm(m>0)，且fx1=gx2=0，则x2x1+1em-1的最大值为 .
13．已知函数fx=Asinωx+φ(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.若在△BCD中，CD=3,fB2=3，则△BCD面积的最大值为 .
14．已知函数f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a>0)，设曲线y=f(x)在点(xi，f(xi))处切线的斜率为ki(i=1，2，3)，若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集为R，集合A=x0<2x+a≤3，B=x-12
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
16．（15分）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
17．（17分）函数f(x)=3sinωx+π3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值；
（2）若f(x0)=335，且x0∈(0,1)，求f(x0-12)的值；
（3）求关于x的方程f(x)=32在0,2024上的最大根与最小根之和.
18．（15分）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，C1的长轴是圆C2：x2+y2=2的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值.
19．（17分）设数列an的前n项和为Sn，已知a2=2,Sn=n1+an2.令bn=an1an+1.
（1）求an的通项公式；
（2）当n∈N*时，bn≤bk，求正整数k；
（3）数列bn中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数x，使得bn中至少有两项等于x；若不存在，请说明理由.
高三数学参考答案
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】A
【解析】【解答】解：zz-z=2-i2+i-2-i=2-i2i=2i-i22i2=2i+1-2=-12-i，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】【解答】解：以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人.
当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，
所以此时不同的参加方法有C42C31+C43=18+4=22（种）；
当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，
所以此时不同的参加方法有C42C32+C43C31+C44=18+12+1=31（种）.
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是22+31=53.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：社团甲有3人和4人讨论即可.
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
【解析】【解答】由图可得A=2，T=2×π3--π6=π，则ω=2ππ=2，
有2×π3+φ=π2+2kπk∈Z，即φ=-π6+2kπk∈Z，
由-π<φ<0，故φ=-π6，即fx=2sin2x-π6，
对于选项A：由T=π，故选项A错误；
对于选项B：令2x-π6=π2+kπk∈Z，解得x=π3+kπ2k∈Z，故选项B正确；
对于选项C：把函数fx的图象向左平移π12个单位长度，
可得gx=2sin2x+2×π12-π6=2sin2x，故选项C正确；
对于选项D：当x∈0,a时，2x-π6∈-π6,2a-π6，
则有2π≤2a-π6<3π，即13π12≤a<19π12，故选项D错误.
故选：BC.
【分析】由三角函数的图象和函数的周期性可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.
11．【答案】A,B,D
12．【答案】1
13．【答案】334
【解析】【解答】解：由图象可得T4=π3-π12=2π4ω，解得ω=2，
所以fx=Asin2x+φ，由A>0，
由图sin2×π12+φ=1,0<φ<π⇒φ=π3，
即fx=Asin2x+π3，
由f(0)=3，得Asinπ3=3⇒A=2.
故fx=2sin2x+π3，
在△BCD中，fB2=3⇒sinB+π3=32，
因为0
则b2=c2+d2-2cdcsB=c2+d2-cd≥2cd-cd=cd，
所以cd≤3，当且仅当c=d=3时等号成立.
所以S△BCD=12cdsinB≤12×3×32=334，
所以△BCD面积最大值为334.
故填：334.
【分析】先由图象和三角函数的周期计算公式依次求解ω,φ,A的值，由fB2=3，代入f(x)解析式求B，在△BCD中，设三边b,c,d，由已知对边角b,B，利用余弦定理与重要不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求cd最大值，从而得面积的最大值.
14．【答案】18
【解析】【解答】解：因为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a>0)，
则f'(x)=a[(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3)(x-x1)]，
由题意可得k1=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=a(x2-x3)(x2-x1)，k3=a(x3-x1)(x3-x2)，
则1k1+1k2+1k3=1a(x1-x2)(x1-x3)+1a(x2-x3)(x2-x1)+1a(x3-x1)(x3-x2)
=(x3-x2)+(x1-x3)+(x2-x1)a(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)=0，
由k2=-2，得1k1+1k3=12，k2=a(x2-x3)(x2-x1)<0，
可知x2位于x1，x3之间，
不妨设x1
可得k1+4k3=2(k1+4k3)(1k1+1k3)=2(5+k1k3+4k3k1)≥2(5+2k1k3⋅4k3k1)=18，
当且仅当k1k3=4k3k11k1+1k3=12，即k1=6，k3=3时等号成立，
所以k1+4k3的最小值为18，
故答案为：18
【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得1k1+1k3=12，k1>0，k3>0，结合基本不等式分析求解.
15．【答案】（1）解：当a=1时，A=-12,1，B=-∞,-12∪2,+∞，
所以A∪B=-∞,1∪2,+∞.
（2）解：因为A=-a2,3-a2，A∩B=A⇔A⊆B，
又因为A≠∅，所以-a2≥-12且3-a2<2，
解得a∈-1,1．
【解析】【分析】（1）由a=1结合一元一次不等式求解方法和交集的运算法则得出集合A，再结合并集的运算法则得出A∪B.
（2）由已知条件A∩B=A可得A⊆B，再结合A≠∅和集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当a=1时，A=-12,1，B=-∞,-12∪2,+∞，
所以A∪B=-∞,1∪2,+∞；
（2）A=-a2,3-a2，因为A∩B=A⇔A⊆B，
又因为A≠∅，所以-a2≥-12且3-a2<2，解得，a∈-1,1．
16．【答案】（1）解：由题意可知，10a+10b=0.3,10×0.045+0.020+a=0.7,
解得a=0.005,b=0.025,
可知每组的频率依次为0.05,0.25，0.45,0.2,0.05，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
（2）解：设第二组、第四组的平均数分别为x1,x2，方差分别为s12,s22，
且各组频率之为：
0.005×10:0.025×10:0.045×10:0.02×10:0.005×10=1:5:9:4:1，
所以，用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，
第四组面试者41+5+9+4+1×20=4人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数x=5×62+4×809=70，
则第二组、第四组面试者的面试成绩的方差为
s2=59s12+x1-x2+49s22+x2-x2=59×40+(62-70)2+49×[70+(80-70)2]=4003,故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是4003．
【解析】【分析】（1）根据频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积以及各小矩形的面积之和为1，从而得出a，b的值，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出这100名候选者面试成绩的平均数．
（2）根据已知条件和分层抽样的方法、频率直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频率分布直方图求平均数的方法得出第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，再由方差公式估计出这次第二组和第四组所有面试者的方差．
（1）由题意可知，10a+10b=0.3,10×0.045+0.020+a=0.7,
解得a=0.005,b=0.025,
可知每组的频率依次为0.05,0.25，0.45,0.2,0.05，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为x1,x2，方差分别为s12,s22，
且各组频率之为：
0.005×10:0.025×10:0.045×10:0.02×10:0.005×10=1:5:9:4:1，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者51+5+9+4+1×20=5人，
第四组面试者41+5+9+4+1×20=4人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数x=5×62+4×809=70，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
s2=59s12+x1-x2+49s22+x2-x2=59×40+(62-70)2+49×[70+(80-70)2]=4003,故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是4003．
17．【答案】（1）π2
（2）7610
（3）202423
18．【答案】（1）x22+y2=1；（2）2.
19．【答案】（1）解：S1=1+a12=a1，即a1=1.当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n1+an2-n-11+an-12，
即n-2an-n-1an-1+1=0.
将n换成n+1，有n-1an+1-nan+1=0.
上述两式相减得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，即an+1+an-1=2an,n≥2，
故an为等差数列.由a1=1,a2=2，
所以an=n.
（2）解：由bn=n1n+1，易得b1
得n+1nn+1=1+1nn1+1n<31+1n=3+3n
故bn的最大项是第4项b4.
所以k=4.
（3）解：存在，由（2）知，1=b1
故若bn中有两项相等，只可能是b2=bk或b3=bm,k,m≥5，
且这样的k,m若存在，则必唯一.易得b2=213=819=b8,b3=314>b5=516，
又b3
（2）根据求解数列的最大值即可解题；
（3）根据已知分析取等即可计算求解.
（1）S1=1+a12=a1，即a1=1.当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n1+an2-n-11+an-12，
即n-2an-n-1an-1+1=0.
将n换成n+1，有n-1an+1-nan+1=0.
上述两式相减得n-1an+1-2n-1an+n-1an-1=0，即an+1+an-1=2an,n≥2，
故an为等差数列.由a1=1,a2=2，
所以an=n.
（2）由bn=n1n+1，易得b1
得n+1nn+1=1+1nn1+1n<31+1n=3+3n
故bn的最大项是第4项b4.
所以k=4.
（3）由（2）知，1=b1
故若bn中有两项相等，只可能是b2=bk或b3=bm,k,m≥5，
且这样的k,m若存在，则必唯一.易得b2=213=819=b8,b3=314>b5=516，
又b3
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