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江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二下学期6月测试数学试卷
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这是一份江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二下学期6月测试数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n+1)SnA．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8
C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增.若a5=5，则d∈( )
A．[0,53)B．[0,107)C．(0,53)D．(0,107)
3． 在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2024项的积为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．32
4．用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯12n>2324(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（ ）
A．增加了一项12(k+1)
B．增加了一项12k+1+12(k+1)
C．增加了12(k+1)，又减少了1k+1
D．增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1
5．函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则（ ）
A．-1是函数f(x)的极小值点B．3是函数f(x)的一个极值点
C．f(x)在x=0处的切线的斜率大于0D．f(x)的单减区间为(-1,+∞)
6．已知 f(x)=ex-lnx ，则 f'(1)= （ ）
A．eB．e-1C．0D．1e-1
7．已知函数f(x)=xlnx-2x+a2-a，若f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1,2]B．[0,1]C．[0,2]D．[-1,1]
8．某质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y=18t3+ln(t+1)，则当t=2时，该质点的瞬时速度为( )
A．113m/sB．3m/sC．116m/sD．146m/s
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列{an}的通项公式为an=3n,n∈N*，在{an}中依次选取若干项（至少3项）ak1,ak2,ak3,⋯，akn,⋯，使{akn}成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取k1=1,k2=3，则k3=9
B．满足题意的{kn}也必是一个等比数列
C．在{an}的前100项中，{akn}的可能项数最多是6
D．如果把{an}中满足等比的项一直取下去，{akn}总是无穷数列
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c（单位：mg/mL）随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
11．下列说法中正确的有（ ）
A．(sinπ4)'=csπ4
B．函数y=lnx+1x的单调增区间为(-∞,1)
C．一质点的运动方程为S(t)=t2-1，则该质点在t=2时的瞬时速度是4ms
D．y=lg2(2x)，则y'=1xln2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 等差数列{an}中，a1=2，a5=14，则{an}的前n和Sn为 .
13． 已知函数f(x)=blnx+32x2+2ax+a2-3a在x=1处取得极小值272，则ba的值为 ．
14．已知函数f(x)=xex-x-lnx+a，若f(x)在(0,e)上存在零点，则实数a的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n(n+1).
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=1anan+2,n为奇数2an,n为偶数，求{bn}的前2n项和T2n.
16．（15分）已知等差数列{an}的前9项和S9=81，且a1+a3=6．若数列{bn}满足b1+b2+b3+⋯+bn=2n-1(n∈N*)
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
17．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．
（1）已知等比数列{an}满足：a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0．求证：数列{an}为“M-数列”；
（2）已知各项为正数的数列{bn}满足：b1=1,Sn=bnbn+12(bn+1-bn)，其中Sn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M-数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．
18．（15分）已知f(x)=2x+1-xlnx.
（1）求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若对任意的x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>m(x1+x2)，求实数m的取值范围.
19．（17分）已知f(x)=exx-1.
（1）求f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势，否则扣2分）
（3）若函数g(x)=f(x)-a-1(a∈R)至多有一个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和 ，满足(n+1)Sn所以(n+1)n(a1+an)2所以等差数列{an}为递增数列，又因为a8a7<-1，所以a8>0，a7<0，
所以当n≤7且n∈N*时，an<0；当n≥8且n∈N*时，an>0；
故Sn有最小值，最小值为S7.
故答案为：D.
【分析】将已知不等式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，再由a8+a7<0可得a7和a8的符号，即可判断Sn的最小值.
2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为anan+1=an-1，式子两边同时除以an得：
an+1=1-1an，又a1=-2，
所以a2=32，a3=13，a4=-2，
此时数列{an}的周期为3，且a1a2a3=-1，
设数列{an}的前n项的积为Tn，
T2024=a1a2a3⋯a2024=(-1)674a1a2=-3.
故答案为：C.
【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意，当n=k时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+⋯12k；
当n=k+1时，左边=1k+2+1k+3+1k+3+⋯+12k+12k+1+12k+2，
所以由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出n=k和n=k+1时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
5．【答案】D
6．【答案】B
【解析】【解答】 ∵f(x)=ex-lnx ，
∴f'(x)=ex-1x ，
∴f'(1)=e-1 .
故答案为：B
【分析】利用导数的基本运算法则即可求出.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为f'(x)=lnx-1，令f'(x)>0，解得e令f'(x)<0，解得1≤x又f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，所以f(1)=-2+a2-a≤0,f(e2)=2e2-2e2+a2-a≤0,解得0≤a≤1．
故答案为：B．
【分析】根据导数的正负判断原函数的单调性，得到关于a的不等式，即可求得范围.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由已知y'=38t2+1t+1，
则y'|t=2=38×22+12+1=116，
所以当t=2时，该质点的瞬时速度为116m/s．
故答案为：C.
【分析】根据导数的实际意义即可求解.
9．【答案】A,B
【解析】【解答】解：因为数列{an}的通项公式为an=3n，
A，取k1=1，k2=3，则ak1=a1=3，ak2=a3=9，
由于{akn}为等比数列，则ak3=27，则有3k3=27，即k3=9，A正确；
B，数列{an}的通项公式为an=3n，则akn=3kn，
若{akn}为等比数列，即3k1，3k2，3k3，…，3kn，…是等比数列，
则k1，k2，k3，…，kn，…，是等比数列，
故满足题意的{kn}也必是一个等比数列，B正确；
C，在{an}的前100项中，可以取k1=1，k2=2，k3=4，k4=8，k5=16，k6=32，k7=64，
可以使{akn}成为一个等比数列，此时{akn}为7项，C错误；
D，取k1=4，k2=6，则ak1=12,ak2=18，则ak3=27,ak4=812，
ak4=812不是数列{an}的项，
所以把{an}中满足等比的项一直取下去，{akn}不总是无穷数列，D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用等比数列的概念可得ak3=27，利用等比数列的通项公式可求出k3=9，据此可判断A选项；利用等比数列的概念可推出
若{akn}为等比数列，则k1，k2，k3，…，kn，…，是等比数列，据此可判断B选项；通过举出反例：取k1=1，k2=2，k3=4，k4=8，k5=16，k6=32，k7=64，可以使{akn}成为一个等比数列，据此可判断C选项；举出反例取k1=4，k2=6，求出ak3,ak4，进而推出ak4=812不是数列{an}的项，判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A：在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；
C：根据平均变化率公式，可知在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是c3-c2t3-t2，正确；
D：在[t1，t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c2-c1t2-t1，在[t2，t3]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c3-c2t3-t2，显然不相等，正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知血管中的药物浓度c随时间t变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】解：对于A：(sinπ4)'=(22)'=0，故A错误；
对于B：因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，故B错误；
对于C：因为S'(t)=2t，则S'(2)=4，
可知该质点在t=2的瞬时速度为4ms ，故C正确；
对于D：若y=lg2(2x)，则y'=22xln2=1xln2，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于AD：根据导数的运算分析判断；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据导数值分析判断.
12．【答案】3n2+n2
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，因为等差数列{an}中，a1=2，a5=14，
所以a5=a1+4d=14，解得d=3，
则数列{an}的前n和Sn=na1+nn-12d=2n+nn-12×3=3n2+n2.
故答案为：3n2+n2.
【分析】设等差数列的公差为d，由题意求得公差d，再根据等差数列的求和公式求解即可.
13．【答案】-114
【解析】【解答】解：f'(x)=bx+3x+2a，
由题意得f(1)=272f'(1)=0，即a2-a+32=272b+2a+3=0，解得a=4b=-11或a=-3b=3.
a=4，b=-11时，f(x)=-11lnx+32x2+8x+4，x>0，
f'(x)=-11x+3x+8=3x2+8x-11x=(x-1)(3x+11)x，
01时，f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，
即x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=272，符合题意，此时ba=-114；
当a=-3，b=3时，f(x)=3lnx+32x2-6x+18，x>0，
因为f'(x)=3x+3x-6=3x2-6x+3x=3(x-1)2x≥0 ，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为：-114.
【分析】求导，由题意可得f(1)=272f'(1)=0，求得a=4b=-11或a=-3b=3，代入函数式，进行检验，舍去a=-3b=3，即可得解.
14．【答案】-1
【解析】【解答】解：由f(x)=xex-x-lnx+a，f(x)在(0,e)存在零点，
令f(x)=0，则xex-x-lnx+a=0，
即-a=xex-x-lnx，
又因为xex-x-lnx=xex-lnex-lnx=xex-ln(xex)，
所以-a=xex-ln(xex)在(0,e)上有解，
构造函数g(x)=xex，x∈(0,e)，则g'(x)=(x+1)ex>0恒成立，
故g(x)在(0,e)上单调递增，故g(0)即xex∈(0,ee+1)，
令h(x)=x-lnx，x∈(0,ee+1)，则h'(x)=1-1x=x-1x，
则当x∈(0,1)时，h'(x)<0，当x∈(1,ee+1)时，h'(x)>0，
故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,ee+1)上单调递增，
故h(x)≥h(1)=1-ln1=1，当x→0时，h(x)→+∞，
即有-a≥1，故a≤-1，即实数a的最大值是-1.
故答案为：-1.
【分析】根据函数零点与方程的关系，可转化为方程-a=xex-ln(xex)在(0,e)上有解，根据对勾函数可构造g(x)=xex，利用导数研究函数的最值即可求解.
15．【答案】（1）当n=1时，a1=S1=1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12n(n+1)-12n(n-1)=n，
经检验，当n=1时，也符合an=n.
综上，an=n.
（2）由bn=1anan+2,n为奇数2n,n为偶数⇒bn=12(1n-1n+2),n为奇数2n,n为偶数
则T2n=(b1+b3+⋅⋅⋅+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)+⋅⋅⋅+(12n-1-12n+1)]+22+24+⋅⋅⋅+22n
=12(1-12n+1)+4(1-4n)1-4
=n2n+1+4n+1-43，
故{bn}的前2n项和T2n=n2n+1+4n+1-43.
16．【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．
由S9=81，得9a1+9×8d2=81，化简得a1+4d=9．
又a1+a3=6，即a1+a1+2d=6，
解得a1=1,d=2，
所以等差数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1
因为b1+b2+b3+⋯+bn=2n-1，①
所以当n≥2时，b1+b2+b3+⋯+bn-1=2n-1-1，②
①—②得，bn=2n-1(n≥2)
当n=1时，b1=1，满足上式，
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
故an=2n-1,bn=2n-1．
（2）由于cn=an⋅bn=(2n-1)⋅2n-1，
则Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=1×1+3×2+5×22+⋯+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1，
又2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n，
两式相减，得-Tn=1×1+2×2+2×22+⋯+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n
=1+2×2(1-2n-1)1-2-(2n-1)⋅2n
=1-4(1-2n-1)-(2n-1)⋅2n
=-3+(3-2n)⋅2n,
故Tn=3+(2n-3)⋅2n
17．【答案】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0,q≠0
由a2a4=a5a3-4a2+4a1=0，得a12q4=a1q4a1q2-4a1q+4a1=0，解得a1=1q=2，
因此数列{an}为“M—数列”；
（2）①由b1=1,S1=b1=b1b22(b2-b1)，得b2=2，
当n≥2时，由bn=Sn-Sn-1，得bn=bnbn+12(bn+1-bn)-bn-1bn2(bn-bn-1)，
整理得bn+1+bn-1=2bn，
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*)；
②由①知，bk=k,k∈N*，
因为数列{cn}为“M—数列”，设公比为q，所以c1=1,q>0，
因为ck≤bk≤ck+1，所以qk-1≤k≤qk，其中k=1,2,3,⋯,m，
当k=1时，有q≥1；
当k=2,3,⋯,m时，有lnkk≤lnq≤lnkk-1，
设f(x)=lnxx(x>1)，则f'(x)=1-lnxx2，
则当x∈(1,e)时，f'(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0，
故f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
因为ln22=ln86取q=33，当k=1,2,3,4,5时，lnkk≤lnq，即k≤qk，
令g(x)=lnxx-1(x>1)，则g'(x)=1x(x-1)-lnx(x-1)2=1-1x-lnx(x-1)2，
令h(x)=1-1x-lnx，则h'(x)=1x2-1x=1-xx2<0，
故h(x)在(1,+∞)上单调递减，则h(x)≤h(1)=1-1-0=0，
即g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立，即g(x)在(1,+∞)上单调递减，
则g(k)min=g(5)=ln54=ln12512即lnq≤lnkk-1, qk-1≤k，
因此所求m的最大值不小于5，
若m≥6，分别取k=3,6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在，因此所求m的最大值小于6，
故m的最大值为5．
18．【答案】（1）解：由题意知f(1)=3,f'(x)=2-lnx-x⋅1x=1-lnx,∴f'(1)=1
则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-3=x-1⇒x-y+2=0
（2）解：不妨设x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)x1-x2>m(x1+x2)⇒f(x1)-f(x2)>m(x12-x22)
⇒f(x1)-mx12>f(x2)-mx22
则设g(x)=f(x)-mx2=2x+1-xlnx-mx2，可知g(x)在(0,+∞)上严格递增
则g'(x)=1-lnx-2mx≥0恒成立
则2mx≤1-lnx⇒2m≤(1-lnxx)min
设h(x)=1-lnxx,h'(x)=-1x⋅x-(1-lnx)x2=lnx-2x2
则当x∈(e2,+∞)时，h'(x)>0,h(x)严格递增，当x∈(0,e2)时，h'(x)<0,h(x)严格
递减，则h(x)min=1-lne2e2=-1e2⇒2m≤-1e2⇒m≤-12e2
则实数m的取值范围为(-∞,-12e2].
19．【答案】（1）定义域为{x∣x≠1},f'(x)=(x-2)ex(x-1)2
令f'(x)=0得，x=2
列表如下：
由上表知，f(x)在(-∞,1),(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
故当x=2时，f(x)取极小值e2，无极大值
（2）令f(x)>0得，x>1；令f(x)<0得，x<1；
当x→-∞时，ex→0-,f(x)→0-；当x→1-时，x-1→0-,f(x)→-∞；
当x→+∞时，ex→+∞，由指数爆炸增长得，f(x)→+∞；
当x→1+时，x-1→0+,f(x)→+∞；
结合（1）可画出函数f(x)的大致图像如图所示；
（3）令g(x)=f(x)-a-1=0得f(x)=a+1
则函数g(x)至多有一个零点等价于函数f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点；
结合（1）（2）知，当a+1≤e2即a≤e2-1时，函数f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点；
即函数g(x)至多有一个零点时，a≤e2-1；x
(-∞,1)
(1,2)
2
(2,+∞)
f(x)
-
-
0
+
f(x)
↘
↘
极小值e2
↗
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n+1)Sn
C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且{Sn}单调递增.若a5=5，则d∈( )
A．[0,53)B．[0,107)C．(0,53)D．(0,107)
3． 在数列{an}中，a1=-2，anan+1=an-1，则数列{an}的前2024项的积为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．32
4．用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯12n>2324(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（ ）
A．增加了一项12(k+1)
B．增加了一项12k+1+12(k+1)
C．增加了12(k+1)，又减少了1k+1
D．增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1
5．函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则（ ）
A．-1是函数f(x)的极小值点B．3是函数f(x)的一个极值点
C．f(x)在x=0处的切线的斜率大于0D．f(x)的单减区间为(-1,+∞)
6．已知 f(x)=ex-lnx ，则 f'(1)= （ ）
A．eB．e-1C．0D．1e-1
7．已知函数f(x)=xlnx-2x+a2-a，若f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1,2]B．[0,1]C．[0,2]D．[-1,1]
8．某质点的位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y=18t3+ln(t+1)，则当t=2时，该质点的瞬时速度为( )
A．113m/sB．3m/sC．116m/sD．146m/s
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知数列{an}的通项公式为an=3n,n∈N*，在{an}中依次选取若干项（至少3项）ak1,ak2,ak3,⋯，akn,⋯，使{akn}成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取k1=1,k2=3，则k3=9
B．满足题意的{kn}也必是一个等比数列
C．在{an}的前100项中，{akn}的可能项数最多是6
D．如果把{an}中满足等比的项一直取下去，{akn}总是无穷数列
10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c（单位：mg/mL）随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
11．下列说法中正确的有（ ）
A．(sinπ4)'=csπ4
B．函数y=lnx+1x的单调增区间为(-∞,1)
C．一质点的运动方程为S(t)=t2-1，则该质点在t=2时的瞬时速度是4ms
D．y=lg2(2x)，则y'=1xln2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 等差数列{an}中，a1=2，a5=14，则{an}的前n和Sn为 .
13． 已知函数f(x)=blnx+32x2+2ax+a2-3a在x=1处取得极小值272，则ba的值为 ．
14．已知函数f(x)=xex-x-lnx+a，若f(x)在(0,e)上存在零点，则实数a的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n(n+1).
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=1anan+2,n为奇数2an,n为偶数，求{bn}的前2n项和T2n.
16．（15分）已知等差数列{an}的前9项和S9=81，且a1+a3=6．若数列{bn}满足b1+b2+b3+⋯+bn=2n-1(n∈N*)
（1）求数列{an},{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
17．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．
（1）已知等比数列{an}满足：a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0．求证：数列{an}为“M-数列”；
（2）已知各项为正数的数列{bn}满足：b1=1,Sn=bnbn+12(bn+1-bn)，其中Sn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M-数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．
18．（15分）已知f(x)=2x+1-xlnx.
（1）求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若对任意的x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>m(x1+x2)，求实数m的取值范围.
19．（17分）已知f(x)=exx-1.
（1）求f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势，否则扣2分）
（3）若函数g(x)=f(x)-a-1(a∈R)至多有一个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和 ，满足(n+1)Sn
所以当n≤7且n∈N*时，an<0；当n≥8且n∈N*时，an>0；
故Sn有最小值，最小值为S7.
故答案为：D.
【分析】将已知不等式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，再由a8+a7<0可得a7和a8的符号，即可判断Sn的最小值.
2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为anan+1=an-1，式子两边同时除以an得：
an+1=1-1an，又a1=-2，
所以a2=32，a3=13，a4=-2，
此时数列{an}的周期为3，且a1a2a3=-1，
设数列{an}的前n项的积为Tn，
T2024=a1a2a3⋯a2024=(-1)674a1a2=-3.
故答案为：C.
【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意，当n=k时，左边=1k+1+1k+2+1k+3+⋯12k；
当n=k+1时，左边=1k+2+1k+3+1k+3+⋯+12k+12k+1+12k+2，
所以由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加了12k+1+12(k+1)，又减少了1k+1.
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别写出n=k和n=k+1时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解.
5．【答案】D
6．【答案】B
【解析】【解答】 ∵f(x)=ex-lnx ，
∴f'(x)=ex-1x ，
∴f'(1)=e-1 .
故答案为：B
【分析】利用导数的基本运算法则即可求出.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：因为f'(x)=lnx-1，令f'(x)>0，解得e
故答案为：B．
【分析】根据导数的正负判断原函数的单调性，得到关于a的不等式，即可求得范围.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由已知y'=38t2+1t+1，
则y'|t=2=38×22+12+1=116，
所以当t=2时，该质点的瞬时速度为116m/s．
故答案为：C.
【分析】根据导数的实际意义即可求解.
9．【答案】A,B
【解析】【解答】解：因为数列{an}的通项公式为an=3n，
A，取k1=1，k2=3，则ak1=a1=3，ak2=a3=9，
由于{akn}为等比数列，则ak3=27，则有3k3=27，即k3=9，A正确；
B，数列{an}的通项公式为an=3n，则akn=3kn，
若{akn}为等比数列，即3k1，3k2，3k3，…，3kn，…是等比数列，
则k1，k2，k3，…，kn，…，是等比数列，
故满足题意的{kn}也必是一个等比数列，B正确；
C，在{an}的前100项中，可以取k1=1，k2=2，k3=4，k4=8，k5=16，k6=32，k7=64，
可以使{akn}成为一个等比数列，此时{akn}为7项，C错误；
D，取k1=4，k2=6，则ak1=12,ak2=18，则ak3=27,ak4=812，
ak4=812不是数列{an}的项，
所以把{an}中满足等比的项一直取下去，{akn}不总是无穷数列，D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用等比数列的概念可得ak3=27，利用等比数列的通项公式可求出k3=9，据此可判断A选项；利用等比数列的概念可推出
若{akn}为等比数列，则k1，k2，k3，…，kn，…，是等比数列，据此可判断B选项；通过举出反例：取k1=1，k2=2，k3=4，k4=8，k5=16，k6=32，k7=64，可以使{akn}成为一个等比数列，据此可判断C选项；举出反例取k1=4，k2=6，求出ak3,ak4，进而推出ak4=812不是数列{an}的项，判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A：在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；
C：根据平均变化率公式，可知在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是c3-c2t3-t2，正确；
D：在[t1，t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c2-c1t2-t1，在[t2，t3]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c3-c2t3-t2，显然不相等，正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据已知血管中的药物浓度c随时间t变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
11．【答案】C,D
【解析】【解答】解：对于A：(sinπ4)'=(22)'=0，故A错误；
对于B：因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，故B错误；
对于C：因为S'(t)=2t，则S'(2)=4，
可知该质点在t=2的瞬时速度为4ms ，故C正确；
对于D：若y=lg2(2x)，则y'=22xln2=1xln2，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于AD：根据导数的运算分析判断；对于B：根据函数定义域分析判断；对于C：根据导数值分析判断.
12．【答案】3n2+n2
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，因为等差数列{an}中，a1=2，a5=14，
所以a5=a1+4d=14，解得d=3，
则数列{an}的前n和Sn=na1+nn-12d=2n+nn-12×3=3n2+n2.
故答案为：3n2+n2.
【分析】设等差数列的公差为d，由题意求得公差d，再根据等差数列的求和公式求解即可.
13．【答案】-114
【解析】【解答】解：f'(x)=bx+3x+2a，
由题意得f(1)=272f'(1)=0，即a2-a+32=272b+2a+3=0，解得a=4b=-11或a=-3b=3.
a=4，b=-11时，f(x)=-11lnx+32x2+8x+4，x>0，
f'(x)=-11x+3x+8=3x2+8x-11x=(x-1)(3x+11)x，
0
即x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=272，符合题意，此时ba=-114；
当a=-3，b=3时，f(x)=3lnx+32x2-6x+18，x>0，
因为f'(x)=3x+3x-6=3x2-6x+3x=3(x-1)2x≥0 ，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为：-114.
【分析】求导，由题意可得f(1)=272f'(1)=0，求得a=4b=-11或a=-3b=3，代入函数式，进行检验，舍去a=-3b=3，即可得解.
14．【答案】-1
【解析】【解答】解：由f(x)=xex-x-lnx+a，f(x)在(0,e)存在零点，
令f(x)=0，则xex-x-lnx+a=0，
即-a=xex-x-lnx，
又因为xex-x-lnx=xex-lnex-lnx=xex-ln(xex)，
所以-a=xex-ln(xex)在(0,e)上有解，
构造函数g(x)=xex，x∈(0,e)，则g'(x)=(x+1)ex>0恒成立，
故g(x)在(0,e)上单调递增，故g(0)
令h(x)=x-lnx，x∈(0,ee+1)，则h'(x)=1-1x=x-1x，
则当x∈(0,1)时，h'(x)<0，当x∈(1,ee+1)时，h'(x)>0，
故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,ee+1)上单调递增，
故h(x)≥h(1)=1-ln1=1，当x→0时，h(x)→+∞，
即有-a≥1，故a≤-1，即实数a的最大值是-1.
故答案为：-1.
【分析】根据函数零点与方程的关系，可转化为方程-a=xex-ln(xex)在(0,e)上有解，根据对勾函数可构造g(x)=xex，利用导数研究函数的最值即可求解.
15．【答案】（1）当n=1时，a1=S1=1.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=12n(n+1)-12n(n-1)=n，
经检验，当n=1时，也符合an=n.
综上，an=n.
（2）由bn=1anan+2,n为奇数2n,n为偶数⇒bn=12(1n-1n+2),n为奇数2n,n为偶数
则T2n=(b1+b3+⋅⋅⋅+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=12[(1-13)+(13-15)+(15-17)+⋅⋅⋅+(12n-1-12n+1)]+22+24+⋅⋅⋅+22n
=12(1-12n+1)+4(1-4n)1-4
=n2n+1+4n+1-43，
故{bn}的前2n项和T2n=n2n+1+4n+1-43.
16．【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．
由S9=81，得9a1+9×8d2=81，化简得a1+4d=9．
又a1+a3=6，即a1+a1+2d=6，
解得a1=1,d=2，
所以等差数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1
因为b1+b2+b3+⋯+bn=2n-1，①
所以当n≥2时，b1+b2+b3+⋯+bn-1=2n-1-1，②
①—②得，bn=2n-1(n≥2)
当n=1时，b1=1，满足上式，
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
故an=2n-1,bn=2n-1．
（2）由于cn=an⋅bn=(2n-1)⋅2n-1，
则Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=1×1+3×2+5×22+⋯+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1，
又2Tn=1×2+3×22+5×23+⋯+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n，
两式相减，得-Tn=1×1+2×2+2×22+⋯+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n
=1+2×2(1-2n-1)1-2-(2n-1)⋅2n
=1-4(1-2n-1)-(2n-1)⋅2n
=-3+(3-2n)⋅2n,
故Tn=3+(2n-3)⋅2n
17．【答案】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0,q≠0
由a2a4=a5a3-4a2+4a1=0，得a12q4=a1q4a1q2-4a1q+4a1=0，解得a1=1q=2，
因此数列{an}为“M—数列”；
（2）①由b1=1,S1=b1=b1b22(b2-b1)，得b2=2，
当n≥2时，由bn=Sn-Sn-1，得bn=bnbn+12(bn+1-bn)-bn-1bn2(bn-bn-1)，
整理得bn+1+bn-1=2bn，
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*)；
②由①知，bk=k,k∈N*，
因为数列{cn}为“M—数列”，设公比为q，所以c1=1,q>0，
因为ck≤bk≤ck+1，所以qk-1≤k≤qk，其中k=1,2,3,⋯,m，
当k=1时，有q≥1；
当k=2,3,⋯,m时，有lnkk≤lnq≤lnkk-1，
设f(x)=lnxx(x>1)，则f'(x)=1-lnxx2，
则当x∈(1,e)时，f'(x)>0，当x∈(e,+∞)时，f'(x)<0，
故f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
因为ln22=ln86
令g(x)=lnxx-1(x>1)，则g'(x)=1x(x-1)-lnx(x-1)2=1-1x-lnx(x-1)2，
令h(x)=1-1x-lnx，则h'(x)=1x2-1x=1-xx2<0，
故h(x)在(1,+∞)上单调递减，则h(x)≤h(1)=1-1-0=0，
即g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立，即g(x)在(1,+∞)上单调递减，
则g(k)min=g(5)=ln54=ln12512
因此所求m的最大值不小于5，
若m≥6，分别取k=3,6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在，因此所求m的最大值小于6，
故m的最大值为5．
18．【答案】（1）解：由题意知f(1)=3,f'(x)=2-lnx-x⋅1x=1-lnx,∴f'(1)=1
则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-3=x-1⇒x-y+2=0
（2）解：不妨设x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)x1-x2>m(x1+x2)⇒f(x1)-f(x2)>m(x12-x22)
⇒f(x1)-mx12>f(x2)-mx22
则设g(x)=f(x)-mx2=2x+1-xlnx-mx2，可知g(x)在(0,+∞)上严格递增
则g'(x)=1-lnx-2mx≥0恒成立
则2mx≤1-lnx⇒2m≤(1-lnxx)min
设h(x)=1-lnxx,h'(x)=-1x⋅x-(1-lnx)x2=lnx-2x2
则当x∈(e2,+∞)时，h'(x)>0,h(x)严格递增，当x∈(0,e2)时，h'(x)<0,h(x)严格
递减，则h(x)min=1-lne2e2=-1e2⇒2m≤-1e2⇒m≤-12e2
则实数m的取值范围为(-∞,-12e2].
19．【答案】（1）定义域为{x∣x≠1},f'(x)=(x-2)ex(x-1)2
令f'(x)=0得，x=2
列表如下：
由上表知，f(x)在(-∞,1),(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
故当x=2时，f(x)取极小值e2，无极大值
（2）令f(x)>0得，x>1；令f(x)<0得，x<1；
当x→-∞时，ex→0-,f(x)→0-；当x→1-时，x-1→0-,f(x)→-∞；
当x→+∞时，ex→+∞，由指数爆炸增长得，f(x)→+∞；
当x→1+时，x-1→0+,f(x)→+∞；
结合（1）可画出函数f(x)的大致图像如图所示；
（3）令g(x)=f(x)-a-1=0得f(x)=a+1
则函数g(x)至多有一个零点等价于函数f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点；
结合（1）（2）知，当a+1≤e2即a≤e2-1时，函数f(x)的图像与直线y=a+1至多有一个交点；
即函数g(x)至多有一个零点时，a≤e2-1；x
(-∞,1)
(1,2)
2
(2,+∞)
f(x)
-
-
0
+
f(x)
↘
↘
极小值e2
↗
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