浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期数学暑期测试卷(Word版附解析)
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注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 向量,,若,则( )
A. ,B. ,
C. ,D.
2. 直线和直线,则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若点在圆:外,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知,C是抛物线上的三个点,F为焦点,,点C到x轴的距离为d,则的最小值为( )
A. 10B. C. 11D.
5. 等比数列的各项均为正数,且,则( )
A. 12B. 10C. 5D.
6. 已知抛物线C:和圆,点是抛物线的焦点,圆上的两点满足,其中是坐标原点,动点在圆上运动,则到直线的最大距离为( )
A B. C. D.
7. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记,,…,的长度构成的数列为an,则( )
A. B. 1C. 10D. 100
8. 如图,三棱柱满足棱长都相等且平面,D是棱中点,E是棱上的动点.设,随着x增大,平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是( )
A. 先增大再减小B. 减小C. 增大D. 先减小再增大
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
9. 已知圆,过点向圆引斜率为的切线,切点为,记的轨迹为曲线,则( )
A. 的渐近线为
B. 点在上
C. 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为
D. 当点在上时,
10. 已知圆台的轴截面如图所示,其上、下底面半径分别为,,母线长为2,点为的中点,则( )
A. 圆台的体积为
B. 圆台的侧面积为
C. 圆台母线与底面所成角为
D. 在圆台的侧面上,从点到点的最短路径长为4
11. 已知直线交椭圆于A,B两点,,为椭圆的左、右焦点,M,N为椭圆的左、右顶点,在椭圆上与关于直线l的对称点为Q,则( )
A. 若,则椭圆的离心率为
B. 若,则椭圆的离心率为
C.
D. 若直线平行于x轴,则
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线交于点,过点作的平行线交双曲线于点,连接并延长与轴交于点,则的值为______.
13. 已知数列各项均为正数,且首项为1,,则______________.
14. 已知正四面体棱长为4,空间内动点满足,则的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列.
(1)求数列通项公式;
(2)设是数列的前n项和,证明:.
16. 在等腰梯形ABCD中,,,,,M为AB中点,将,沿MD,MC翻折,使A,B重合于点E,得到三棱锥.
(1)求ME与平面CDE所成角的大小;
(2)求二面角的余弦值.
17. 已知平面内两个定点,,满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线,直线与曲线交于不同两点;
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若直线和的斜率之积为,求证:直线过定点;
(3)若直线与直线分别交于,求证:.
18. 已知椭圆的离心率为的上顶点,为椭圆上任意一点,且满足的最大值为4.
(1)求椭圆方程;
(2)已知.过点的直线(斜率存在且不为1)与椭圆交于两点.证明:平分.
19. 意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书(Libe rAbaci)》中提出一个兔子繁殖问题:假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,此后每个月生一对小兔,这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为,则,观察数列的规律,不难发现,,我们称该数列为斐波那契数列.
(1)若数列是斐波那契数列,求出和的值,并证明.
(2)若数列是斐波那契数列,且,求证:数列是等比数列;
(3)若数列是斐波那契数列,在(2)的条件下,求数列的前项和.
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