人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教案

这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教案，共5页。教案主要包含了已知绝对值求有理数，利用绝对值的性质解决问题等内容，欢迎下载使用。


解题大招一 已知绝对值求有理数
如题中未说明正负，则绝对值等于某一个数的值有两个，且它们互为相反数.绝对值等于0的情况除外.
例1 （1）若|x|＝2 030，则x的值是（ C ）
A.2 030 B.－2 030 C.±2 030 D.0
（2）若|－n|＝5，则n＝ ±5 ；若|－a|＝|－1.5|，则a＝ ±1.5 .
解析：（1）因为|x|＝2 030，所以x＝±2 030.
（2）因为|－n|＝5，所以－n＝5或－n＝－5，所以n＝±5.因为|－a|＝|－1.5|，即|a|＝1.5，所以a＝±1.5.
解题大招二 利用绝对值的性质解决问题
（1）绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，即若|a|＝a，则a为非负数；若|a|＝－a，则a为非正数.
（2）一个数的绝对值的大小是由数轴上表示这个数的点距离原点的远近决定的.
（3）绝对值的非负性：一个数的绝对值是非负数，即|a|≥0.如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.即若|a|＋|b|＝0，则|a|＝0且|b|＝0.
例2 （1）满足|a|＝a的数a有（ D ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
（2）若|a|＝－a，则a一定是（ C ）
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
（3）如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q.若点M，N表示的有理数互为相反数，则这四个有理数中，绝对值最大的数的对应点是（ A ）
A.点Q B.点N C.点M D.点P
解析：（1）因为|a|＝a，所以a是非负数，即所有的正数和0，所以a有无数个，故选D.
（2）因为|a|＝－a，所以a为非正数，故选C.
（3）依题意，点M，N表示的有理数互为相反数，可以在图上大致作出原点的位置如图，这样可以直观地看出距离原点最远的点表示的数即为绝对值最大的数，即点Q.
例3 若|a－3|＋|b－2 025|＝0，求a，b的值.
分析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2 025|≥0，则有|a－3|＝0，|b－2 025|＝0.
解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2 025|≥0.
又因为|a－3|＋|b－2 025|＝0，
所以a－3＝0，b－2 025＝0，所以a＝3，b＝2 025.
培优点 绝对值在实际问题中的应用
例 世乒赛中对乒乓球用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：g，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数）.
（1）请找出三个误差相对较小的乒乓球，并用绝对值的知识说明.
（2）若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，超过0.3 g的为不合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由.
分析：由绝对值的几何意义可知，一个数的绝对值越小，数轴上表示这个数的点离原点越近，将实际问题转化为数学问题，即与标准质量偏差的绝对值越小，越接近标准质量.
解：（1）四号球，|0|＝0，正好等于标准质量；五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08 g；二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1 g.
（2）一号球|－0.5|＝0.5，不合格品；二号球|＋0.1|＝0.1，优等品；三号球|0.2|＝0.2，合格品；四号球|0|＝0，优等品；五号球|－0.08|＝0.08，优等品；六号球|－0.15|＝0.15，合格品.
方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负无关.
教学目标
课题
1.2.4 绝对值
授课人
素养目标
1.借助数轴，通过数、形两个方面理解绝对值的意义，体会数形结合的思想方法.
2.掌握求一个数的绝对值的方法.知道一个数的绝对值，会求这个数.
3.通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的应用意识.
教学重点
1.绝对值的几何意义.
2.求一个数的绝对值.
教学难点
绝对值的几何意义.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10 km，到达A，B两处，它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？
我们发现这两辆车行驶路线不同，但行驶路程相等.刻画汽车的运动状态，不仅要考虑距离，还要考虑方向，这与生活经验一致.确认行驶路程的远近只需要看路程，不必考虑方向.路程的抽象就是距离.这就与我们今天要研究的绝对值有着共同之处，就让我们一起进入今天这节课的学习吧！
【教学建议】
先给一定的时间让学生自主思考，然后教师引导学生分析相反数在数轴上的表示，为进一步学习积累数学活动经验.
设计意图
通过创设情境，调动学生的学习兴趣，为引入绝对值的概念做准备.
活动二：实践探究，获取新知
探究点 绝对值
问题1 我们知道，互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，这两个数的相同部分在数轴上表示什么？
以上图为例：
我们可以看到10和－10互为相反数，在数轴上分别利用点A，B表示这两个数，可以发现，点A，B与原点的距离都是10.即这两个数的相同部分在数轴上表示对应的点到原点的距离.
概念引入：
问题2 以10，－10，0的绝对值为例，结合下面的数轴说一说你是如何理解绝对值的？
问题3 通过上面的举例，大家思考一下：一个数的绝
对值与这个数有什么关系？不妨多取几个数试一试，看看能不能发现规律.
教师可以让学生与同桌之间互相交流举例和结果，然后师生共同归纳：
归纳：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即
（1）如果a>0，那么|a|＝a；
（2）如果a＝0，那么|a|＝0；
（3）如果a<0，那么|a|＝－a.
问题4 根据问题2，我们还能发现什么？
问题5 结合下面数轴实例，说一说：在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值是越大还是越小？表示这个数的点离原点越远呢？
观察上图：|－2|＝2，|3|＝3，表示数－2的点离原点更近，表示数3的点离原点较远，2＜3，因此我们发现：数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小；数轴上的点离原点越远，它所表示的数的绝对值越大.
教师补充：反过来也是成立的，即一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远.
例1 （教材P13例4） （1）写出1，－0.5，－Ａ eq \f(7,4) 的绝对值；
（2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？
解：（1）|1|＝1，|－0.5|＝0.5，|－ eq \f(7,4) |＝ eq \f(7,4) ；
（2）因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小.
【对应训练】
教材P14练习第1，2，3题.
【教学建议】
绝对值概念是教学难点，教学时要加强练习.还要注意联系已有知识，引导学生在绝对值学习中复习巩固前面的内容.如利用绝对值说明正数、负数的意义.以－4为例，这里的“－”号表示这是一个负数，“4”就表示这个数的绝对值；从数轴上看，这里的“－”号表明它在原点的左边，“4”表明它离原点的距离是4个单位长度.又如，互为相反数的两个数（0除外）符号相反，绝对值相等.
【教学建议】
这里使用了分类讨论思想，探究了正数、负数和0与其绝对值之间的关系，这个性质在后面的练习中经常会用到，其中分类讨论思想对今后学习有重要意义，当然在这里只要提醒学生注意就可以了，不要提出过高要求.
【教学建议】
在实际操作时，求一个具体的数的绝对值，直接去掉这个数的符号部分，剩下的数字部分就是这个数的绝对值.
设计意图
通过数轴上表示互为相反数的点说明绝对值的意义，借助数轴引出绝对值，并由此得出一个正数、负数和0的绝对值分别是什么的结论，同时渗透数形结合思想.
活动三：典例讲解，巩固提升
例2 化简下列各数：
＋|－ eq \f(3,5) |，－|＋1 eq \f(1,3) |，－|－1.5|，|－（－2）|，|＋（－8）|，|－（＋ eq \f(1,2) ）|.
分析：绝对值部分直接按照活动二例1右侧教学建议的方法求出，再结合绝对值外的符号进一步化简得出结果.
解：＋|－Ａ eq \f(3,5) |＝Ａ eq \f(3,5) ；－|＋1 eq \f(1,3) |＝－1 eq \f(1,3) ；
－|－1.5|＝－1.5；|－（－2）|＝|2|＝2；
|＋（－8）|＝|－8|＝8；|－（＋ eq \f(1,2) ）|＝|－ eq \f(1,2) |＝ eq \f(1,2) .
【对应训练】
教材P14练习第4题.
【教学建议】
教师引导学生根据一个数的绝对值与这个数的关系作答.另外，教师提醒学生注意区分绝对值符号与括号的不同含义.
设计意图
通过例题让学生了解如何化简绝对值.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是绝对值？
2.绝对值的性质有哪些？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P17习题1.2第4题.
板书设计
1.2.4 绝对值
1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝ eq \b\lc\{\rc\`(\a\al\c1(a（a>0），,0（a＝0），,－a（a<0），))或|a|＝ eq \b\lc\{\rc\`(\a\al\c1(a（a≥0），,－a（a<0）))
教学反思
本节课从几何与代数的角度阐述绝对值，重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法.对绝对值的几何意义、性质的导出和对“一个负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点，采用数形结合的思想方法能够方便学生理解.
一号球
二号球
三号球
四号球
五号球
六号球
－0.5
0.1
0.2
0
－0.08
－0.15