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初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教案设计
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这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教案设计，共6页。教案主要包含了确定数轴上的点所表示的数的方法，数轴上的分类讨论等内容，欢迎下载使用。
解题大招一 确定数轴上的点所表示的数的方法
要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：
（1）确定符号，数轴正半轴上的点所表示的数为正数，数轴负半轴上的点所表示的数为负数；
（2）确定数字，即距离原点几个单位长度.
例1 如图，指出数轴上A，B，C，D，E，F各点表示的数.
分析：在确定数字时，要认真观察已知点是在数轴的正半轴还是负半轴，对于A，D，E这样的点，要注意它们表示的数是在哪两个相邻整数之间.
解：由图可知，点A表示的数是－4.5，点B表示的数是4，点C表示的数是－2，点D表示的数是5.5，点E表示的数是0.5，点F表示的数是7.
例2 如图，数轴上被蝴蝶遮挡的点表示的数可能为（ D ）
A.3 B.2 C.1 D.－1
解析：遮挡的部分在数轴负半轴上，可以判断被遮挡的数为负数，故选D.
解题大招二 数轴上的分类讨论
解答此类问题需考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧.另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况.
例3 （1）数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是什么？
（2）数轴上，点A表示的数为－1，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是什么？
解：（1）先在数轴上找出表示＋2的点A，如图，与点A相距5个单位长度的点有2个，它们表示的数分别是7，－3.
（2）如图，点A可以向右移动4个单位长度，也可以向左移动4个单位长度，故点B表示的数是3或－5.
培优点 利用数轴解决实际问题
例 一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东骑了2 km到达刘红家，继续向东骑了3.5 km到达李明家，然后又向西骑了7.5 km到达王刚家，最后回到饭店.以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1 km，点O，A，B，C分别表示饭店、刘红家、李明家、王刚家.
（1）请画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置.
（2）王刚家距刘红家多远？
（3）若刘红步行到李明家，每小时走5 km，王刚骑自行车到李明家，每小时骑12 km，两个人同时分别从自己家出发，则两个人能否同时到达李明家？若不能同时到达，谁先到达？
分析：根据运动方向和距离画出数轴，表示出外卖员每次运动结束时所在的位置，进而利用数轴上的点与有理数的对应关系解决问题.
解：（1）点O，A，B，C的位置如图所示.
（2）由数轴可知，王刚家距刘红家4 km.
（3）不能同时到达李明家.
由数轴可知刘红家到李明家的距离为3.5 km，
刘红步行到李明家所需时间为3.5÷5＝0.7（h）.
王刚骑自行车到李明家所需时间为7.5÷12＝0.625（h）.
因为0.625<0.7，所以两个人不能同时到达李明家，王刚先到达.
教学目标
课题
1.2.2 数轴
授课人
素养目标
1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.
2.能用数轴上的点表示有理数，并能说出数轴上的已知点所表示的数，初步感受数形结合的思想方法.
教学重点
数轴的概念，在数轴上表示数.
教学难点
正确地画出数轴，理解有理数和数轴上的点的对应关系.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题.让我们来看看下面这个问题：
在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，你能画图表示这一情境吗？
【教学建议】
让学生结合所给的条件分组讨论，动手画图.（教师可以进行适当的提示）
设计意图
从实际情境入手，激发学生兴趣，借助画图初步感知数轴.
活动二：实践探究，获取新知
探究点1 数轴的相关概念和画法
问题1
（1）活动一中的马路可以用什么几何图形代表？（ 直线 ）
（2）你认为汽车站牌起什么作用？（ 基准点 ）
（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（ 方向，与汽车站牌的距离 ）
（4）到汽车站牌的方向与距离可以抽象成什么？（ 点的相对位置 ）
学生回答后，按教材P8最后一段所示方法可画出下面的图示.
问题2 （教材P9上面的“思考”） 怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系？（从方向、距离两方面回答）
上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.所以我们可以考虑用正数和负数表示具有相反意义的量，即用正数表示柳树和交通标志杆在汽车站牌的东边，用负数表示槐树、电线杆在汽车站牌的西边.
教师总结：
在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1 m长，再用0表示点O、用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.如图①：
用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.
问题3 （教材P9下面的“思考”） 图②中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和图①有什么共同点？
共同点：都规定了单位长度、原点位置，都是用一条直线上的点表示正数、0、负数.
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：
概念引入：
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
问题4 （1）你认为画数轴的步骤是什么？
①画（直线）；②取（原点）；③定（正方向）；④标（单位长度）.
（2）“原点”起什么作用？
“原点”是数轴的基准点，表示0，是为了在数轴上区分正数和负数.
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
（3）怎么理解“选取适当长度”？
与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些.
【对应训练】
下图中所画的数轴哪个是正确的？
A B
C D
解：A.没有正方向，故错误；B.没有原点，故错误；C.单位长度不统一，故错误；D.正确.
【教学建议】
这里用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题，这是实际问题的第一次抽象，因此设计了四个关键问题，需要教师引导学生逐一回答.这些是抽象过程中的关键点，教师应关注学生是否掌握.
【教学建议】
这里问题2在问题1的基础上，进一步抽象，为总结数轴的概念提供直观基础.注意这里可让学生明白：在表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系时，由于站牌起“基准点”作用，站牌“左”“右”具有相反意义，是不同方向，所以既要考虑距离，又要考虑方向,这样可用正数、负数描述.
【教学建议】
教师提醒学生注意：数轴的三个要素缺一不可.这三个要素都是规定的，也就是说，可以根据情况，灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小（但要注意，一经选定，就不能再随意改变了）.另外为了读、画方便，通常把直线画成水平或竖直的.
【教学建议】
教师提醒：根据实际情况需要，画数轴时，1小格并不一定要表示1，如：
在画数轴时常出现以下错误：（1）没有正方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一；（4）负半轴上所标的负数的顺序不对.
设计意图
数轴是一个重要的概念，后续的平面直角坐标系也是以它为基础的.这是学生第一次学习数形结合思想，先借助生活情境让学生画图描述位置，逐步过渡到“用数表示直线上的点”，然后再让学生把这一例子与温度计作比较，概括它们的共同点，从而引入数轴的概念，并具体讲述数轴的画法.
设计意图
探究点2 数轴上的点与有理数的对应关系
分数或小数也可以用数轴上的点表示吗？任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示吗？请结合下面的问题进行探究.
（1）你能在图中的数轴上表示出－ eq \f(3,2) 和6.5吗？
（2）你能说出图中点A，B，C分别表示什么数吗？
（1）如图，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5；在数轴的负半轴上，距离原点 eq \f(3,2)个单位长度的点表示数－ eq \f(3,2).
（2）由图可知，数轴上点A表示的数为－3.5，点B表示的数为1，点C表示的数为4.5.
有理数都可以用数轴上的点表示.
归纳：
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正 半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数－a的点在数轴的 负 半轴上，与原点的距离是 a个单位长度.数轴上与原点的距离是 a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点.
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题.
例1 （教材P10例2） 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
3，－4，4，0.5，0，－ eq \f(5,2) ，－1.
解：如图所示.
【对应训练】
教材P11练习第1，2，4题.
【教学建议】
教师可补充说明：任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示；但数轴上的一个点，却并不一定能用一个有理数来表示.这里不必对此作深入追究，只要求学生知道“所有的有理数，都可以用数轴上的点表示”就可以了.以后学了实数，自然就可以把这个问题说清楚了.
【教学建议】
“归纳”栏目是一个小结，教学时应让学生在回顾本小节内容的基础上，自己给出回答.
通过具体例子讲述数轴上的点与有理数的对应关系，并总结用数轴上的点表示数的方法，明确数轴的方向与数的正负的对应性.
活动三：典例精析，升华提高
例2 （教材P11练习第3题） 在数轴上，表示－2与4的点之间（包括这两个点）有7 个点表示的数是整数，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4 ，其中负整数有 2 个.
解析：先画出数轴，并找到数轴上表示－2和4的点，如图：
由图可知，这两个点之间（包括这两个点）表示整数的点有7个，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4，其中负整数有－2，－1.
【对应训练】
点A，B在数轴上分别表示6.5，－2.7，点A，B之间（含A，B两点）有 9 个点表示的数是整数.
【教学建议】
教师提示学生解此类题需先画出数轴，再根据题意数点，特别要注意是否含边界点.
设计意图
借助数轴辅助观察，培养学生几何直观，进一步渗透数形结合思想.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是数轴？
2.如何画数轴？数轴的三要素是什么？什么是数轴的正半轴和负半轴？
3.有理数和数轴有什么关系？
4.数轴有哪些应用？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P17习题1.2第2，6题.
板书设计
1.2.2 数轴
1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
2.数轴的画法
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示
教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴的概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律.
解题大招一 确定数轴上的点所表示的数的方法
要确定数轴上的点所表示的数可利用以下方法：
（1）确定符号，数轴正半轴上的点所表示的数为正数，数轴负半轴上的点所表示的数为负数；
（2）确定数字，即距离原点几个单位长度.
例1 如图，指出数轴上A，B，C，D，E，F各点表示的数.
分析：在确定数字时，要认真观察已知点是在数轴的正半轴还是负半轴，对于A，D，E这样的点，要注意它们表示的数是在哪两个相邻整数之间.
解：由图可知，点A表示的数是－4.5，点B表示的数是4，点C表示的数是－2，点D表示的数是5.5，点E表示的数是0.5，点F表示的数是7.
例2 如图，数轴上被蝴蝶遮挡的点表示的数可能为（ D ）
A.3 B.2 C.1 D.－1
解析：遮挡的部分在数轴负半轴上，可以判断被遮挡的数为负数，故选D.
解题大招二 数轴上的分类讨论
解答此类问题需考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧.另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况.
例3 （1）数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是什么？
（2）数轴上，点A表示的数为－1，从点A出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是什么？
解：（1）先在数轴上找出表示＋2的点A，如图，与点A相距5个单位长度的点有2个，它们表示的数分别是7，－3.
（2）如图，点A可以向右移动4个单位长度，也可以向左移动4个单位长度，故点B表示的数是3或－5.
培优点 利用数轴解决实际问题
例 一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东骑了2 km到达刘红家，继续向东骑了3.5 km到达李明家，然后又向西骑了7.5 km到达王刚家，最后回到饭店.以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1 km，点O，A，B，C分别表示饭店、刘红家、李明家、王刚家.
（1）请画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置.
（2）王刚家距刘红家多远？
（3）若刘红步行到李明家，每小时走5 km，王刚骑自行车到李明家，每小时骑12 km，两个人同时分别从自己家出发，则两个人能否同时到达李明家？若不能同时到达，谁先到达？
分析：根据运动方向和距离画出数轴，表示出外卖员每次运动结束时所在的位置，进而利用数轴上的点与有理数的对应关系解决问题.
解：（1）点O，A，B，C的位置如图所示.
（2）由数轴可知，王刚家距刘红家4 km.
（3）不能同时到达李明家.
由数轴可知刘红家到李明家的距离为3.5 km，
刘红步行到李明家所需时间为3.5÷5＝0.7（h）.
王刚骑自行车到李明家所需时间为7.5÷12＝0.625（h）.
因为0.625<0.7，所以两个人不能同时到达李明家，王刚先到达.
教学目标
课题
1.2.2 数轴
授课人
素养目标
1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.
2.能用数轴上的点表示有理数，并能说出数轴上的已知点所表示的数，初步感受数形结合的思想方法.
教学重点
数轴的概念，在数轴上表示数.
教学难点
正确地画出数轴，理解有理数和数轴上的点的对应关系.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题.让我们来看看下面这个问题：
在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，你能画图表示这一情境吗？
【教学建议】
让学生结合所给的条件分组讨论，动手画图.（教师可以进行适当的提示）
设计意图
从实际情境入手，激发学生兴趣，借助画图初步感知数轴.
活动二：实践探究，获取新知
探究点1 数轴的相关概念和画法
问题1
（1）活动一中的马路可以用什么几何图形代表？（ 直线 ）
（2）你认为汽车站牌起什么作用？（ 基准点 ）
（3）你是怎么确定问题中各物体的位置的？（ 方向，与汽车站牌的距离 ）
（4）到汽车站牌的方向与距离可以抽象成什么？（ 点的相对位置 ）
学生回答后，按教材P8最后一段所示方法可画出下面的图示.
问题2 （教材P9上面的“思考”） 怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系？（从方向、距离两方面回答）
上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义.所以我们可以考虑用正数和负数表示具有相反意义的量，即用正数表示柳树和交通标志杆在汽车站牌的东边，用负数表示槐树、电线杆在汽车站牌的西边.
教师总结：
在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1 m长，再用0表示点O、用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.如图①：
用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.
问题3 （教材P9下面的“思考”） 图②中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线.它和图①有什么共同点？
共同点：都规定了单位长度、原点位置，都是用一条直线上的点表示正数、0、负数.
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：
概念引入：
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
问题4 （1）你认为画数轴的步骤是什么？
①画（直线）；②取（原点）；③定（正方向）；④标（单位长度）.
（2）“原点”起什么作用？
“原点”是数轴的基准点，表示0，是为了在数轴上区分正数和负数.
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
（3）怎么理解“选取适当长度”？
与问题的需要相关，表示较大的数，单位长度取小一些.
【对应训练】
下图中所画的数轴哪个是正确的？
A B
C D
解：A.没有正方向，故错误；B.没有原点，故错误；C.单位长度不统一，故错误；D.正确.
【教学建议】
这里用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题，这是实际问题的第一次抽象，因此设计了四个关键问题，需要教师引导学生逐一回答.这些是抽象过程中的关键点，教师应关注学生是否掌握.
【教学建议】
这里问题2在问题1的基础上，进一步抽象，为总结数轴的概念提供直观基础.注意这里可让学生明白：在表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系时，由于站牌起“基准点”作用，站牌“左”“右”具有相反意义，是不同方向，所以既要考虑距离，又要考虑方向,这样可用正数、负数描述.
【教学建议】
教师提醒学生注意：数轴的三个要素缺一不可.这三个要素都是规定的，也就是说，可以根据情况，灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小（但要注意，一经选定，就不能再随意改变了）.另外为了读、画方便，通常把直线画成水平或竖直的.
【教学建议】
教师提醒：根据实际情况需要，画数轴时，1小格并不一定要表示1，如：
在画数轴时常出现以下错误：（1）没有正方向；（2）没有原点；（3）单位长度不统一；（4）负半轴上所标的负数的顺序不对.
设计意图
数轴是一个重要的概念，后续的平面直角坐标系也是以它为基础的.这是学生第一次学习数形结合思想，先借助生活情境让学生画图描述位置，逐步过渡到“用数表示直线上的点”，然后再让学生把这一例子与温度计作比较，概括它们的共同点，从而引入数轴的概念，并具体讲述数轴的画法.
设计意图
探究点2 数轴上的点与有理数的对应关系
分数或小数也可以用数轴上的点表示吗？任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示吗？请结合下面的问题进行探究.
（1）你能在图中的数轴上表示出－ eq \f(3,2) 和6.5吗？
（2）你能说出图中点A，B，C分别表示什么数吗？
（1）如图，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5；在数轴的负半轴上，距离原点 eq \f(3,2)个单位长度的点表示数－ eq \f(3,2).
（2）由图可知，数轴上点A表示的数为－3.5，点B表示的数为1，点C表示的数为4.5.
有理数都可以用数轴上的点表示.
归纳：
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正 半轴上，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数－a的点在数轴的 负 半轴上，与原点的距离是 a个单位长度.数轴上与原点的距离是 a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点.
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题.
例1 （教材P10例2） 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
3，－4，4，0.5，0，－ eq \f(5,2) ，－1.
解：如图所示.
【对应训练】
教材P11练习第1，2，4题.
【教学建议】
教师可补充说明：任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示；但数轴上的一个点，却并不一定能用一个有理数来表示.这里不必对此作深入追究，只要求学生知道“所有的有理数，都可以用数轴上的点表示”就可以了.以后学了实数，自然就可以把这个问题说清楚了.
【教学建议】
“归纳”栏目是一个小结，教学时应让学生在回顾本小节内容的基础上，自己给出回答.
通过具体例子讲述数轴上的点与有理数的对应关系，并总结用数轴上的点表示数的方法，明确数轴的方向与数的正负的对应性.
活动三：典例精析，升华提高
例2 （教材P11练习第3题） 在数轴上，表示－2与4的点之间（包括这两个点）有7 个点表示的数是整数，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4 ，其中负整数有 2 个.
解析：先画出数轴，并找到数轴上表示－2和4的点，如图：
由图可知，这两个点之间（包括这两个点）表示整数的点有7个，它们表示的数分别是－2，－1，0，1，2，3，4，其中负整数有－2，－1.
【对应训练】
点A，B在数轴上分别表示6.5，－2.7，点A，B之间（含A，B两点）有 9 个点表示的数是整数.
【教学建议】
教师提示学生解此类题需先画出数轴，再根据题意数点，特别要注意是否含边界点.
设计意图
借助数轴辅助观察，培养学生几何直观，进一步渗透数形结合思想.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是数轴？
2.如何画数轴？数轴的三要素是什么？什么是数轴的正半轴和负半轴？
3.有理数和数轴有什么关系？
4.数轴有哪些应用？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P17习题1.2第2，6题.
板书设计
1.2.2 数轴
1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
2.数轴的画法
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示
教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴的概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律.
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