人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式第3课时教案

这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式第3课时教案，共4页。

解题大招一 识别反比例关系的方法
识别两个量是否成反比例关系，主要从以下两个方面进行判断：
（1）观察这两个量之间的乘积是否始终为一个非零定值，若是，则成反比例关系，否则不成反比例关系；
（2）当题目中只给出了用式子表示的两个量（x与y）之间的关系，则看是否符合xy=k（k是一个固定的值，且k≠0）的形式，若符合，则成反比例关系，否则不成反比例关系.
例1下列选项中y与x的关系是反比例关系的是（B）
A.xy=0 B.2xy=5 C. eq \f(y,x)=32 D.x2y=1
例2下列数量关系中，成反比例关系的是（C）
A.橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量
B.学校计划种植500棵树，已种的棵数与未种的棵数
C.两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数
D.一个人的体重与他的年龄
解析：
培优点 判断实际问题中的反比例关系
例 某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位：N·m)和转速n（发动机曲轴的转动速度，单位：kr/min)的数据如表：
（1）用式子表示M与n的关系，M与n成什么比例关系？
（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩是多大？当转速为5kr/min时呢？
解：（1）由表可知，表中所有扭矩与对应转速的乘积为定值600，所以Mn=600.
M与n成反比例关系.
（2）当转速为2.4kr/min时，扭矩为eq \f(600,2.4)=250（N·m）；
当转速为5kr/min时，扭矩为eq \f(600,5)=120（N·m）.教学目标
课题
3.1 第3课时 反比例关系
授课人
素养目标
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系.
2.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识.
教学重点
反比例关系的概念及识别.
教学难点
在实际问题中识别反比例关系.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：悬疑激趣，新课导入
设计意图
类比正比例关系，对实例进行演变，引发学生思考，为引入反比例关系的概念做铺垫.
【类比引入】
1.回忆：小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么？
如果两个变化的量的比值保持不变，或用符号表示为yx=k（k是一个确定的值，且k≠0），这时称这两个量y和x为成正比例的量.
2.复习：第1课时活动二中的问题1：
3.猜想
我们不难回答上面“猜想”中的特点，但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢？让我们赶快进入新的学习吧！
【教学建议】
进入本节课之前先引导学生回顾正比例关系，再通过对问题进行演变使学生对反比例关系有一个初步感知，重点在于类比正比例关系使学生发现新问题中量和量之间存在共性（乘积为定值）.
活动二：交流合作，探究新知
设计意图
通过实例引入反比例关系的概念，并与正比例关系进行比较，帮助学生更深刻地理解.
探究点 反比例关系
问题 （教材P73问题）北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题：
（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表.
（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
（续表）
概念引入：
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k来表示.
想一想：正比例关系与反比例关系有什么区别和联系？
思考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种商品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？
①泳池里水的体积一定，将水放完，排水的速度与所用时间成反比例关系；②路程一定，行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.
【对应训练】
教材P75练习第1，2题.
【教学建议】
这部分教学应采用启发式教学的方法，教师抛出问题，鼓励学生小组合作，共同探讨、交流，引导学生通过观察和对问题的探究，说出工作时间与工作效率的乘积为定值，再一次印证学生在活动一中已经得出的结论.教师提醒学生特别注意比例系数k在当前学情下虽不做过多探讨，但k≠0仍需明确知晓，必要时可适当解释不为0的原因.
【教学建议】
将反比例关系与正比例关系进行对比，分析它们的异同点，这点是很有必要的，学生能借助正比例关系的探究方法进行参照学习，有助于学生更好地理解反比例关系的实质.以后这样的类比学习会经常出现，学生初学会比较困难，教师可直接讲述.而后面的“思考”是为了帮助学生更进一步巩固对反比例关系的认识.
活动三：实际应用，巩固新知
设计意图
设计实际问题引导学生解决，进一步强化学生对于反比例关系的理解，并培养学生的应用能力和一定的计算能力.
例 （教材P74例5）如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.
（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？
（2）分别用x（单位：cm2）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？
分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高=eq \f(圆柱的体积,底面积).
解：（1）四个容器中水的高度分别为eq \f(300,10)=30（cm），eq \f(300,20)=15（cm），eq \f(300,30)=10（cm），eq \f(300,60)=5（cm）.
（2）xy=300.y与x成反比例关系.
【对应训练】
1.给一间教室铺地砖，每块地砖的面积（单位：cm2）与所需地砖的数量（单位：块）如下表所示.
（1）这间教室的地面面积是多少平方米？
（2）所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的？
（3）若用n表示所需地砖的数量，m表示每块地砖的面积，用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系？
解：（1）这间教室的地面面积是300×1600=480000（cm2）=48m2.
（2）由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小，但它们的乘积一定，都为480000.
（3）mn=480000.n与m成反比例关系.
2.教材P75练习第3题.
【教学建议】
这里涉及的运算要让学生自主动手进行，一方面是加强理解，另一方面也是为后面学习代数式求值进行预演.可倡导按照自己所想的方法进行求值（不必硬套公式），学力稍强的学生可能已经运用代值求解的方法去解决问题了，应对这种思维超前、灵活运用的学生予以认可，对于其他学生也应当鼓励，营造积极的学习氛围，使学生在自主学习中获得成就感.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
什么是反比例关系？两个相关联的量何时满足反比例关系，你能举例说明吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P76习题3.1第4,5,9题.
板书设计
第3课时 反比例关系
1.反比例关系的概念
2.反比例关系的识别
3.反比例关系的应用
教学反思
本节课先由小学已经学过的正比例关系引入，通过实例使学生认识到反比例关系，再联系实际使学生能够从具体情境中准确识别反比例关系，让学生感受到生活中处处有数学.本节课的教学从实际出发，通过实例构建数学模型，是以后学习反比例函数的基础.为达到更好的学习效果，应尽可能多举实例，也可让学生尽情发挥想象，从身边的事例中找出这种关系，学以致用.
选项
判断理由
是否成反比例关系
A
橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量成正比例关系
否
B
已种的棵数与未种的棵数的和是定值500，而乘积不是定值
否
C
两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数的乘积是定值，即为铁轨全长
是
D
一个人的体重与他的年龄的乘积不为定值
否