2024-2025学年安徽省怀远县数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年安徽省怀远县数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列视力表的部分图案中，既是轴对称图形亦是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．10B．16C．20D．36
3、（4分）平面直角坐标系内，将点向左平移3个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康情况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．调查了10名老年邻居的健康状况
B．在医院调查了1000名老年人的健康状况
C．在公园调查了1000名老年人的健康状况
D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
5、（4分）如图，在平面直角坐标系中，为，，与轴重合，反比例函数的图象经过中点与相交于点，点的横坐标为，则的长（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8、（4分）一次函数y＝x＋4的图象不经过的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，点A是反比例函数y=(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=(k≠0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，点C，点D在x轴上．若S▱ABCD＝5，则k＝____．
10、（4分）如图，在RtACB中，∠C＝90°，AB＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD＝1，则ABD的面积为_____．
11、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，那么AB＝_____．
12、（4分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为___________．
13、（4分）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）解一元二次方程：（1）；（2）.
15、（8分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
16、（8分）已知一次函数的图象经过点(3,4)与(-3,-8).
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集.
17、（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，图1中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1．
（1）分别判断函数，有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；
（2）函数且，求其不变长度的取值范围；
（3）记函数的图像为，将沿翻折后得到的函数图像记为，函数的图像由和两部分组成，若其不变长度满足，求的取值范围．
18、（10分）如图，在▱ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．
（1）求证：DA＝DF；
（2）若∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝2，求▱ABCD的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为_____．
20、（4分）若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________ .
21、（4分）如图，△ABC的中位线DE＝5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_____cm1．
22、（4分）一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点、，则的面积等于___________．
23、（4分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而_____．（填“增大”或“减小”）
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：
（1）；
（2）
25、（10分）如图所示，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线EF分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接AF和CE，当EF⊥AC时，判断四边形AFCE的形状，并说明理由
26、（12分）小黄人在与同伴们研究日历时发现了一个有趣的规律：
若用字母n表示平行四边形中左上角位置的数字，请你用含n的式子写出小黄人发现的规律，并加以证明.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；据此分别对各选项图形加以判断即可.
【详解】
A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B：是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C：不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B.
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握相关概念是解题关键.
2、C
【解析】
点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
【详解】
解：∵当4≤x≤9时，y的值不变即△ABP的面积不变，P在CD上运动当x=4时，P点在C点上所以BC=4当x=9时，P点在D点上∴BC+CD=9
∴CD=9-4=5
∴△ABC的面积S=AB•BC=×4×5=10
∴矩形ABCD的面积=2S=20
故选：C．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．
3、B
【解析】
向左平移3个长度单位，即点M的横坐标减3，纵坐标不变，得到点N．
【详解】
解：点A（m，n）向左平移3个长度单位后，坐标为（m-3，n），
即点N的坐标是（m-3，n），
故选B．
本题考查坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4、D
【解析】
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】
解：A、调查不具广泛性，故A不符合题意；
B、调查不具代表性，故B不符合题意；
C、调查不具代表性，故C不符合题意；
D、样本具有广泛性与代表性，故D符合题意；
故选：D．
本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
5、B
【解析】
把E点的横坐标代入，确定E的坐标，根据题意得到B的坐标为（2，4），把B的横坐标代入求得D的纵坐标，就可求得AD，进而求得BD.
【详解】
解：反比例函数的图象经过OB中点E，E点的横坐标为1，
，
∴E（1，2），
∴B（2，4），
∵△OAB为Rt△，∠OAB=90°，
∴AB=4，
把x=2代入得，
∴AD=1，
∴BD=AB-AD=4-1=3，
故选：B．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形中位线性质，解题的关键是求得B、D的纵坐标．
6、D
【解析】
先想一下分式的基本性质的内容，根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】
解：（A）原式=，故A错误；
（B）原式=，故B错误；
（C）原式=，故C错误；
故选：D．
本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和判断能力，题目比较典型，比较容易出错.
7、C
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行求解，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.
【详解】
第1个和第4个图既是轴对称图形又是中心对称图形，中间两个只是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选C.
8、D
【解析】
根据k，b的符号判断一次函数的图象所经过的象限．
【详解】
由题意，得：k>0，b>0，故直线经过第一、二、三象限.
即不经过第四象限.
故选:D.
考查一次函数的图象与系数的关系.熟练掌握系数与一次函数图象之间的关系是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
设点A（x，），表示点B的坐标，然后求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
设点A（x，），则B（，），
∴AB=x-，
则（x-）•=5，
k=-1．
故答案为：-1．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A，B的横坐标之差表示出AB的长度是解题的关键．
10、
【解析】
过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理求出DH，然后根据三角形的面积公式即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH＝CD＝1，
∴S△ABD＝•AB•DH＝×2×1＝，
故答案为：．
本题主要考查角平分线的尺规作图及性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
11、1
【解析】
根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴＝，
∵BC＝6，
∴AB＝1．
故答案为1．
本题主要考查含30度角的直角三角形的知识点，此题较简单，需要同学们熟记直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半．
12、6+4
【解析】
连结PP′，如图，由等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′为等边三角形，求得PP′=PC=4，根据全等三角形的性质得到AP′=PB=5，根据勾股定理的逆定理得到△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
连结PP′，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CP'，
∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，
∴△PCP′为等边三角形，
∴PP′=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°，
∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′=PB=5，
在△APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，
∴PP′2+AP2=AP′2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴S四边形APCP′=S△APP′+S△PCP′= AP×PP′+ ×PP′2=6+4 ，
故答案为：6+4．
此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理以及逆定理，证明△APQ为等边三角形是解题的关键．
13、1
【解析】
试题分析：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为a＋3，
根据方差公式：S2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]＝1．
则数据x1＋3，x2＋3，… ，xn＋3的方差
S′2＝{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2＋3)－(a＋3)]2＋…(xn＋3)－(a＋3)] 2}
＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]
＝1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）， ；（2）或
【解析】
(1)先变形为4x（2x-1）+2x-1=0，然后利用因式分解法解方程；
(2) 先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；
【详解】
解：（1）4x（2x-1）+2x-1=0，
（2x-1）（4x+1）=0，
2x-1=0或4x+1=0，
所以，；
（2）.
3x2-5x-2=0，
△=（-5）2-4×3×(-2)=49，
所以或；
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
15、（1）A型：100元，B型：150元；（2）①y=-50x+15000；②34台A型电脑和66台B型，利润最大，最大利润是1元
【解析】
（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【详解】
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y=100x+150（100-x），
即y=-50x+15000；
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥33，
∵y=-50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
此时最大利润是y=-50×34+15000=1．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是1元．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
16、（1）y=2x−2；（2）x⩽1.
【解析】
（1）将两点代入，运用待定系数法求解；
（2）把y=6代入y=2x-2解得x=1，然后根据一次函数y随x的增大而增大，进而得到关于x的不等式kx+b≤6的解集是x≤1．
【详解】
(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点(3,1)与(−3,−8)，
∴ ，
解得
∴函数解析式为：y=2x−2；
(2)∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
把y=6代入y=2x−2解得，x=1，
∴当x⩽1时，y⩽6，
故不等式kx+b⩽6的解集为x⩽1.
此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，解题关键在于掌握一次函数的性质.
17、（1）不存在不变值；存在不变值，q=3；（2）0≤q≤2；（3）≤m≤4 或m＜-0.2．
【解析】
（1）由题意得：y=x-3=x，无解，故不存在不变值；y=x2-2=x，解得：x=2或-1，即可求解；
（2）由题意得：y=x2-bx+1=x，解得：x= ，即可求解；
（3）由题意得：函数G的不变点为：2m-1+ 、2m-1- 、0、4；分x=m为G1的左侧、x=m为G1的右侧，两种情况分别求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：y=x-3=x，无解，故不存在不变值；
y=x2-2=x，解得：x=2或-1，故存在不变值，q=2-（-1）=3；
（2）由题意得：y=x2-bx+1=x，
解得：x=，
q=，1≤b≤3，
解得：0≤q≤2；
（3）由题意得：y=x2-3x沿x=m对翻折后，
新抛物线的顶点为（2m-，-），
则新函数G2的表达式为：y=x2-（4m-3）x+（4m2-6m），
当y=x时，整理得：x2-（4m-2）x+（4m2-6m）=0，
x=2m-1±，
即G2的不变点是2m-1+和2m-1-；
G1的不变点是：0和4；
故函数G的不变点为：2m-1+、2m-1-、0、4，
这4个不变点最大值的可能是2m-1+、4，最小值可能2m-1-、0，
----当x=m为G1对称轴x=的左侧时，
①当最大值为2m-1+时，
当最小值为2m-1-时，
即：0≤2m-1+-（2m-1-）≤4，
解得：0≤m≤；
当最小值为0时，
同理可得：0≤m≤；
②当最大值为4时，
最小值为2m-1-即可（最小值为0，符合条件），
即0≤4-（2m-1-）≤4，
解得：m=；
综上：0≤m≤；
----当x=m为G1对称轴x=的右侧时，
同理可得：≤m≤；
故：≤m≤4 或m＜-0.2．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到方程和不等式的求解，其中（3），不等式求解难度非常大，并要注意分类求解，避免遗漏．
18、（1）详见解析；（1）4
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案；
（1）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABE=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，解直角三角形求出EF=1，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=1，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠BAF＝∠F．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF．
∴∠F＝∠DAF．
∴AD＝FD．
（1）解：∵∠ADE＝∠CDE＝30°，AD＝FD，
∴DE⊥AF．
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝1．
∴S平行四边形ABCD＝1S△ADE＝AE•DE＝4．
本题考查了平行四边形的性质及解直角三角形的知识，体现了转化的数学思想，难度不大．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1
【解析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】
解：根据题意可列方程为x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1，
故答案为：x1＝（x﹣4）1+（x﹣1）1．
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
20、 或1
【解析】
解：当4和5都是直角边时，则第三边是 ；
当5是斜边时，则第三边是 ；
故答案是：和1．
21、2
【解析】
根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．
【详解】
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝1DE＝10cm；
由折叠的性质可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC＝BC×AF＝×10×8＝2cm1．
故答案为2．
本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．
22、
【解析】
∵一次函数y=−2x+m的图象经过点P(−2,3)，
∴3=4+m，
解得m=−1，
∴y=−2x−1，
∵当x=0时，y=−1，
∴与y轴交点B(0,−1)，
∵当y=0时,x=−，
∴与x轴交点A(−,0)，
∴△AOB的面积：×1×=.
故答案为.
点睛：首先根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后计算出与x轴交点，与y轴交点的坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．
23、减小
【解析】
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【详解】∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=﹣3，
∴y的值随x的增大而减小，
故答案为减小．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及一次函数的增减性与一次函数的比例系数k之间的关系是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）
【解析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）两边开方得：x-3=±3，
∴x-3=3或x-3=-3，
∴x1=6，x2=0；
（2）2x2+x-1=0，
∴（2x-1）（x+1）=0，
∴2x-1=0或x+1=0，
∴，x2=．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
25、（1）详见解析；（2）是菱形;
【解析】
根据菱形判定定理：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【详解】
（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
∵O是OA的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2） EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；
由（1）中△AOE≌△COF，得
AE=CF，OE=OF，
又∵OA=OC，EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形.
此题主要考查全等三角形的判定和菱形判定定理，熟练能掌握即可轻松解题.
26、，证明见解析
【解析】
设左上角的数字为x,则右上角的数字为x+1；左下角的数字为x+6；右下角的数字为x+7，根据题意将四个数交叉相乘进行整式乘法的运算并化简即可.
【详解】
解：规律为
证明：∵
=
=6
∴
本题考查整式的乘法运算，根据题意找到数字间的等量关系及多项式的乘法法则，正确计算是本题的解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分