2025高考数学一轮复习-8.2.2-第2课时-离散型随机变量的方差与标准差【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2.2-第2课时-离散型随机变量的方差与标准差【课件】，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，方差的应用，内容索引，平均偏离程度，故X的概率分布为，求其方差和标准差，a2DX，2计算X的方差等内容，欢迎下载使用。
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
在一次选拔赛中，甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4，0.2，0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案.
一、离散型随机变量的方差与标准差
二、离散型随机变量方差的性质
问题1　A，B两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A机床 B机床
试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？
提示　E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性.
设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：
其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.(1)方差：D(X)＝σ2＝ .
(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn
(4)意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的 .
注意点：(1)离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.(2)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同.
例1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 .在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差.
解　由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
反思感悟　求离散型随机变量的方差的方法(1)根据题目条件先求概率分布.(2)由概率分布求出均值，再由方差公式求方差，当概率分布中的概率值是待定常数时，应先由概率分布的性质求出待定常数再求方差.
跟踪训练1　已知随机变量ξ的概率分布为
解　E(ξ)＝0.1×0＋0.2×1＋0.3×2＋0.4×3＝2，所以D(ξ)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1，
问题2　若随机变量X的方差为D(X )，Y＝aX＋b(a，b为常数)，你能推导出D(X )与D(Y )的关系吗？
提示　E(Y)＝aE(X )＋b，∴D(Y)＝D(aX＋b)＝[ax1＋b－aE(X )－b]2p1＋[ax2＋b－aE(X )－b]2p2＋…＋[axn＋b－aE(X )－b]2pn＝[ax1－aE(X )]2p1＋[ax2－aE(X )]2p2＋…＋[axn－aE(X )]2pn＝a2D(X ).
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ .(2)D(c)＝0(其中c为常数).
例2　已知随机变量X的概率分布为
(1)求D(X)的值；
解　∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，
解析　设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
反思感悟　求随机变量Y＝aX＋b方差的方法(1)先求Y的概率分布，再求其均值，最后求方差；(2)应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解.
跟踪训练2　已知X的概率分布如下.
(1)求X2的概率分布；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
D(Y)＝16D(X)＝11.
例3　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的概率分布；
解　由题意得，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的概率分布如表所示.
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
解　由(1)得，E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些.
1.知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差.(2)离散型随机变量的方差的性质.(3)方差的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：方差公式套用错误.
1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为A.2 B.3 C.4 D.5
解析　D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3.下列说法中正确的是A.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
解析　E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度.
4.已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝____，b＝_____.
A.8 B.15 C.16 D.32
2.(多选)设离散型随机变量X的概率分布为
3.由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定
解析　∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)D(X2)B.D(X1)＝D(X2)C.D(X1)D(X2).
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝＝p4＝0.4，p2＝p3＝＝p4＝0.2，p2＝p3＝＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.所以选项B的情形对应样本的标准差最大.
7.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机____的质量较好.
解析　因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定.
9.已知随机变量ξ的概率分布如下表：
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η).
10.某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利X1万元，则X1的概率分布为
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
∴E(X1)＝E(X2)，
D(X1)