高考数学一轮复习第9章概率与统计第10讲离散型随机变量的均值与方差课件

这是一份高考数学一轮复习第9章概率与统计第10讲离散型随机变量的均值与方差课件，共47页。PPT课件主要包含了均值和方差的性质，aEX＋b，B08D12，跟踪训练，图9-10-1，小于60的概率，于60的概率为，＝03，考点2，二项分布的期望和方差等内容，欢迎下载使用。

1.离散型随机变量的均值和方差
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：
则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 Y＝aX＋b，则 E(Y)＝E(aX＋b)＝____________，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X).
3.两点分布及二项分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝________，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝__________，D(X)＝np(1－p).
1.有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回
地任取 3 件.若ξ表示取到次品的个数，则 D(ξ)＝(
2.已知随机变量ξ的分布列是：
解析：E(ξ)＝1×0.4 ＋2×0.2＋3×0.4 ＝2 ，则 D(ξ)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(3－2)2×0.4＝0.8.
4.(2017 年新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的
二等品件数，则 D(X)＝_______.
解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即X～B(100,0.02)，由二项分布的期望方差公式 ， 可 得 D(X) ＝ np(1 － p) ＝100×0.02×0.98＝1.96.
考点 1 超几何分布的期望和方差
例 1：(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从
这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.
①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变
量 X 的分布列与数学期望；
②设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也
有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率.
解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人.(2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
1.(2017 年北京)为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成图9-10-1，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.
(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值
(2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服
药者指标 y 数据的方差的大小.(只需写出结论)
解：(1)由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于60 的有 15 人，∴从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小
(2)由图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.∴ξ的所有可能取值为 0,1,2.
2.(2017 年山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1，A2，A3，A4，A5，A6 和 4 名女志愿者 B1，B2，B3，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1 但不包含 B1 的
(2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分
布列与数学期望 E(X).
例 2：(2018 年新课标Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 p(0(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用
与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该
对这箱余下的所有产品作检验？
解：(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为
令 f′(p)＝0，得 p＝0.1.
当 p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当 p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.∴f(p)的最大值点为 p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.
①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意
知 Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即 X＝40＋25Y.
∴E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费
由于 E(X)>400，故应该对余下的产品作检验.
【规律方法】(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，那么用公式 E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b 以及 E(ξ)＝np 求出 E(aξ＋b)，同样还可求出 D(aξ＋
3.(2019 年天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30
且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天
数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率.
＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)
4.中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生 2 000 人，其中有 300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生 200 人，学习先修课程的优等生有 60 人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分 100 分)，结果如下表所示：
(1)填写列联表，并画出列联表的等高条形图(图 9-10-2)，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
(2)已知今年有 150 名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得
某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招
生通过的人数为ξ，求 E(ξ).
解：(1)列联表如下：
等高条形图如图 D113：图 D113通过图形可判断学习先修课程与优等生有关系，通过列联表，得
⊙利用分类讨论思想求数学期望
例题：有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 80 元，送餐员每单抽成 4 元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元，超过 40 单的部分送餐员每单抽成 7 元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其 50 天的送餐单数，得到如下频数分布表：
(1)从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天，求这 3
天的送餐单数都不小于 40 单的概率；
(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率
视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
解：(1)由表知，50 天送餐单数中有 30 天的送餐单数不小于 40 单，记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 单为事件 A，则
(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为 n，日工资为 X 元，则当 n＝38 时，X＝38×6＝228；当 n＝39 时，X＝39×6＝234；当 n＝40 时，X＝40×6＝240；
当 n＝41 时，X＝40×6＋7＝247；当 n＝42 时，X＝40×6＋14＝254.∴X 的分布列为
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，∴甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2(元)，
∵238.6<239.2，∴小张应选择甲公司应聘.
5.每年 5 月到 7 月，是芒果的成熟季节，华南农业大学校内也种植了很多食用芒果.据该校后勤处负责人介绍，他们校内的芒果种植过程中没有使用过农药，也没有路边那种绿化芒的污染，可以放心食用.2018 年该校的芒果也迎来了大丰收.6 月25 日，该校南北校区集中采摘芒果，并将采摘到的芒果免费派送给学校师生.现随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图 9-10-3.
(1)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取 9 个，再从这 9 个中随机抽取 3 个，记随机变量 x 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求 x 的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，假如你是经销商去收购芒果，该校当时还未摘下的芒果大约还有 10 000 个，现提供如下两种收购方案：
A：所有芒果以 10 元/千克收购；
B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于
250 克的以 3 元/个收购.
通过计算确定你会选择哪种方案？
解：(1)9 个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有 6 个和 3 个.则 x 的可能取值为 0,1,2,3.
(2) 方 案 A ： (125×0.002 ＋ 175×0.002 ＋ 225×0.003 ＋
375×0.001)×50×10 000× 10×
0.001＝25 750.
方案 B：低 于 250 克 ： (0.002 ＋ 0.002 ＋ 0.003)×50×10 000×2 ＝7000(元)；高于或等于 250 克：(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500(元)；总计 7000＋19 500＝26 500(元).由 25 750<26 500，故 B 方案支出更多，应选 A 方案.
1.相互独立事件与互斥事件的区别.
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
2.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应
用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次.