2022北京一六一中高二（下）期中试卷数学

这是一份2022北京一六一中高二（下）期中试卷数学，共17页。试卷主要包含了 函数的一个单调递减区间是， 已知随机变量的概率分布如下等内容，欢迎下载使用。

2022.5
一､选择题：本大题共12道小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 已知等比数列{}中，，则这个数列的公比为（ ）
A. 2B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有
A.
B.
C.
D.
4. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 把一枚硬币连续抛掷两次，第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
6. 数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A. （，-1）B. （e，1）C. （，）D. （0，1）
8. 有穷等比数列，28，211，……，的项数是（ ）
A. B. C. D. n
9. 函数的一个单调递减区间是（ ）
A. （e，+∞）B. C. （0，）D. （，1）
10. 已知随机变量的概率分布如下：
则m的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A. B.
C D.
12. 已知数列，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：
①数列，，，具有性质；
②若数列具有性质，则；
③若数列，，具有性质，则．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A B. C. D.
二､填空题：本大题共5小题，共20分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
13. 若曲线在处的切线平行于直线，则=___________.
14. 从3名男生和2名女生中，任选3人参加社区志愿服务，其中男女生都入选概率为___________.
15. 已知数列{}满足，则=___________，它的通项公式为___________.
16. 若数列{}满足，d为常数），则称数列{}为调和数列，记数列{}为调和数列，且，则___________.
17. 已知函数f（x）的导函数为，有，则函数f（x）的解析式可能是___________，也可能是___________.
三､解答题：本大题共5小题，共70分.把答案填在答题纸中相应的区域内.
18. 甲､乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击击中与否互不影响.甲､乙射击命中环数的概率如下表：
（1）若甲､乙两运动员各射击1次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率；
（2）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，求这3次射击中恰有2次击中9环以上（含9环）的概率.
19. 已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）若数列{}是等比数列，求以及：
（2）若数列{}是等差数列，求的最小值，并求取得最小值时n的值.
20. 红外测温仪方便､快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用红外测温仪测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用红外测温仪与水银体温计测温结果相同，我们认为红外测温仪“测温准确”：否则，我们认为红外测温仪“测温失误”.现在我校随机抽取校内师生20人用红外测温仪与水银体温计分别测量体温，数据如下：
（1）试估计用红外测温仪测量我校1人，“测温准确”的概率；
（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从我校中任意抽查3名师生用红外测温仪测量体温，设随机变量X为使用红外测温仪“测量准确”的人数，求X的分布列与数学期望；
（3）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38°C时处于“低热”状态，我校某一天用红外测温仪测温的结果显示，有3名师生的体温都是37.3°C，能否由表中的数据来认定这3名师生中至少有一人处于“低热”状态？说明理由.
21. 已知函数
（1）当时，求曲线在处切线方程；
（2）求函数在区间上的最值.
22. 对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中
（1）当时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
（2）若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论.
参考答案
一､选择题：本大题共12道小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 已知等比数列{}中，，则这个数列的公比为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合等比数列的知识求得正确答案.
【详解】数列是等比数列，
所以公比.
故选：C
2 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求得正确答案.
【详解】.
故选：A
3. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A．
4. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性
【详解】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.
5. 把一枚硬币连续抛掷两次，第一次出现正面为事件A，第二次出现正面为事件B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合条件概率的知识求得正确答案.
【详解】连续抛一枚硬币两次，基本事件有：正面正面、正面反面、反面正面、反面反面，共种，
第一次出现正面的为：正面正面、正面反面，
所以.
故选：A
6. 数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合等差数列的知识求得数列的通项公式，从而判断出正确答案.
【详解】依题意，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由得，
所以
故选：C
7. 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A. （，-1）B. （e，1）C. （，）D. （0，1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线图象上过原点的切线，来求得切点的坐标.
【详解】直线过原点，
设是曲线上任意一点，
，所以在点的曲线的斜率为，
所以在点的曲线的切线方程为，
即，将代入上式得，
所以切点为.
故选：B
8. 有穷等比数列，28，211，……，的项数是（ ）
A. B. C. D. n
【答案】C
【解析】
【分析】利用“赋值法”确定项数.
【详解】的间隔是，
若，则，
所以数列的项数为项.
故选：C
9. 函数的一个单调递减区间是（ ）
A. （e，+∞）B. C. （0，）D. （，1）
【答案】AD
【解析】
【分析】利用导数求得的一个单调递减区间.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间上，递减，
所以AD选项符合题意.
故选：AD
10. 已知随机变量的概率分布如下：
则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合分布列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，
即，.
故选：D
11. 已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.
【详解】由图象可知，
即.
故选：D
12. 已知数列，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：
①数列，，，具有性质；
②若数列具有性质，则；
③若数列，，具有性质，则．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】①项，数列，，，，与两数中都是该数列中的项，并且是该数列中的项，故①正确；
②项，若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，所以是该数列的项，又由，可得，故②正确；
③项，∵数列，，具有性质，，
∴与中至少有一个是该数列中的一项，且．
（）若是该数列中的一项，则，所以，易知不是该数列的项，
∴，∴．
（）若是该数列中的一项，则或或，
①若，同（），
②若，则，与矛盾，
③若，则．
综上，故③正确．
综上所述，正确结论的个数是个．故选．
点睛:本题考查数列的综合应用,考察学生应用知识分析解决问题的能力,属于中档题.根据数列A，，，具有性质, 对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,得出①错误,其余都正确,得出选项.
二､填空题：本大题共5小题，共20分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
13. 若曲线在处的切线平行于直线，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】由求得的值.
详解】，，
依题意可知：曲线在处的切线的斜率为，
即.
故答案为：
14. 从3名男生和2名女生中，任选3人参加社区志愿服务，其中男女生都入选的概率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】结合古典概型的概率计算公式、组合数的计算公式计算出所求的概率.
【详解】依题意男女生都入选的概率为.
故答案为：
15. 已知数列{}满足，则=___________，它的通项公式为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用求得正确答案.
【详解】设数列的前项和为，依题意.
当时，，
当时，，
所以，.
故答案为：；
16. 若数列{}满足，d为常数），则称数列{}为调和数列，记数列{}为调和数列，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合调和数列的定义以及等差数列的性质求得正确答案.
【详解】由于是调和数列，所以，
所以数列是等差数列，
依题意.
故答案为：
17. 已知函数f（x）的导函数为，有，则函数f（x）的解析式可能是___________，也可能是___________.
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】结合导数的运算求得正确答案.
【详解】由于，
所以可能是或.
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）
三､解答题：本大题共5小题，共70分.把答案填在答题纸中相应的区域内.
18. 甲､乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在8，9，10环，且每次射击击中与否互不影响.甲､乙射击命中环数的概率如下表：
（1）若甲､乙两运动员各射击1次，求甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率；
（2）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，求这3次射击中恰有2次击中9环以上（含9环）的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）、（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【小问1详解】
依题意：甲､乙两运动员各射击1次，
甲运动员击中8环且乙运动员击中9环的概率为
【小问2详解】
依题意：甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，
这3次射击中恰有2次击中9环以上（含9环），包括：甲次乙次；甲次乙次.
故所求的概率为.
19. 已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）若数列{}是等比数列，求以及：
（2）若数列{}是等差数列，求的最小值，并求取得最小值时n的值.
【答案】（1）或
（2）最小值为，此时.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公比，从而求得正确答案.
（2）根据已知条件求得数列的首项和公差，由求得正确答案.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
则，解得或.
当时，；
当时，.
【小问2详解】
设等差数列的公差为，
则，
所以，
由，
由于，所以当时，最小，且的最小值为.
20. 红外测温仪方便､快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用红外测温仪测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用红外测温仪与水银体温计测温结果相同，我们认为红外测温仪“测温准确”：否则，我们认为红外测温仪“测温失误”.现在我校随机抽取校内师生20人用红外测温仪与水银体温计分别测量体温，数据如下：
（1）试估计用红外测温仪测量我校1人，“测温准确”的概率；
（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从我校中任意抽查3名师生用红外测温仪测量体温，设随机变量X为使用红外测温仪“测量准确”的人数，求X的分布列与数学期望；
（3）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3°C且不高于38°C时处于“低热”状态，我校某一天用红外测温仪测温的结果显示，有3名师生的体温都是37.3°C，能否由表中的数据来认定这3名师生中至少有一人处于“低热”状态？说明理由.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望
（3）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格提供数据计算出所求的概率.
（2）结合二项分布的知识求得的分布列以及数学期望.
（3）结合独立重复试验概率计算来进行说明.
【小问1详解】
根据表格提供数据可知，人中，有人“测温准确”，
所以“测温准确”的概率为.
【小问2详解】
依题意可知，且，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
【小问3详解】
由（1）可知，“测温准确”的概率为，
所以这3名师生中至少有一人处于“低热”状态的概率为：
，
概率较大，所以可以认定这3名师生中至少有一人处于“低热”状态.
21. 已知函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）
（2）最小值为，没有最大值
【解析】
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）先求得，然后求得的单调区间，从而求得在区间上的最值.
【小问1详解】
当时，，
，
所以，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
，其中，
，
令，解得，，
而，
所以在上，递增；
在区间上，递减.
由于，所以，是的唯一零点.
所以的最小值为.
，
，
所以没有最小值.
综上所述，在区间上，最小值为，没有最大值.
22. 对于函数f（x），若存在实数满足，则称为函数f（x）的一个不动点.已知函数，其中
（1）当时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在既是f（x）极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
（2）若f（x）有两个相异的极值点，，试问：是否存在a，b使得，均为f（x）的不动点？证明你的结论.
【答案】（1）（i）当时，没有极值点；当时，的极大值点为，极小值点为.（ii）.
（2）不存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）（i）利用导数，以及对进行分类讨论来求得的极值点.
（ii）结合极值点、不动点的知识来列方程组，从而求得的值.
（2）根据极值点、不动点的知识对的取值进行分析，从而作出正确的判断.
【小问1详解】
（i）当时，，.
当时，恒成立，在上递增，没有极值点.
当时，令解得，
则在区间递增；
在区间递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
（ii）若是的极值点，又是的不动点，
则，即，
即，代入得 ，
，，
，，
，所以，则
【小问2详解】
，，
有两个相异的极值点，也即有两个不同的零点，
所以①，.
依题意，若是的不动点，
则，两式相减得，
，
，
，，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的.
【点睛】有关导数的新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，转化为利用导数求解函数的单调区间、极值（点）、最值等问题来进行求解.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8环
9环
10环
甲
乙
序号
红外测温仪（℃）
水银体温计（℃）
序号
红外测温仪（℃）
水银体温计（℃）
01
36.6
36.6
11
35.6
36.5
02
36.5
36.7
12
36.5
36.5
03
36.3
36.2
13
36.7
36.7
04
35.4
354
14
36.2
36.2
05
36.5
36.4
15
36.4
36.4
06
36.2
36.2
16
36.3
36.4
07
36.5
36.5
17
35.3
36.4
08
35.2
35.3
18
35.6
35.6
09
37.2
37.0
19
36.8
36.8
10
36.6
36.6
20
36.7
36.7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8环
9环
10环
甲
乙
序号
红外测温仪（℃）
水银体温计（℃）
序号
红外测温仪（℃）
水银体温计（℃）
01
36.6
36.6
11
35.6
36.5
02
36.5
36.7
12
36.5
36.5
03
36.3
36.2
13
36.7
36.7
04
35.4
35.4
14
36.2
36.2
05
36.5
36.4
15
36.4
36.4
06
36.2
36.2
16
36.3
36.4
07
36.5
36.5
17
35.3
36.4
08
35.2
35.3
18
35.6
35.6
09
37.2
37.0
19
36.8
36.8
10
36.6
36.6
20
36.7
36.7