2022北京九中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京九中高一（下）期中

数    学

2022.5

一､单项选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得5分，选错或不答的得0分.）

1. 已知点为角α终边上一点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若，且，则角是（    ）

A. 第一象限的角 B. 第二象限的角

C. 第三象限的角 D. 第四象限的角

3. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. α∈(－，0)，sinα＝－，则cos(π－α)的值为（    ）

A － B.  C.  D. －

5. 设向量，且，则的值是（     ）

A.  B.

C.  D.

6 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

8. 若函数是偶函数，且在上是增函数，则实数可能是

A.  B.  C.  D.

9. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 0

11. 函数（，）部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

13. 已知向量，，则___________；___________.

14. sin18°cos12°+cos18°sin12°＝__．

15 已知，则__________.

16. 函数的定义域为___________.

17. 已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的最大值是________；最小值是________.

三､解答题（本题共5小题，每小题13分，共65分）

18. 已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（1）求；

（2）求；

（3）若与垂直，求的值．

19. 已知，，，求

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）若，求的值.

20. 已知函数.

（1）求值；

（2）若，求的值；

（3）设函数，求函数的单调递增区间.

21. 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记

（1）若，求；

（2）分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.

22. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值；

（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.

参考答案

一､单项选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得5分，选错或不答的得0分.）

1. 已知点为角α终边上一点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数的定义求解.

【详解】解：因为点为角α终边上一点，

所以，

故选：C

2. 若，且，则角是（    ）

A. 第一象限角 B. 第二象限的角

C. 第三象限的角 D. 第四象限的角

【答案】D

【解析】

【分析】根据任意角的三角函数的定义判断即可；

【详解】解：因为，且，所以角是第四象限角

故选：D

3. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

写出与终边相同角集合，取k值得答案.

【详解】与角终边相同的角的集合为，

取，可得.

∴与角终边相同的是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

4. α∈(－，0)，sinα＝－，则cos(π－α)的值为（    ）

A. － B.  C.  D. －

【答案】A

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，然后利用诱导公式求解即可.

【详解】α∈(－，0)，sinα＝－，则，则cos(π－α)，

故选：A.

5. 设向量，且，则的值是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用垂直的坐标表示即可求解.

【详解】因为向量，且，

所以，解得：.

故选：B

6. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】找出与之间的关系，进行整体转换即可.

【详解】.

故选：C.

7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.

【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，

故选：D.

【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题

8. 若函数是偶函数，且在上是增函数，则实数可能是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数得到的表达式，再根据单调性确定的可能取值.

【详解】因为函数是偶函数，所以，排除A，C；当时，函数在上是减函数，故排除B，

故选D.

【点睛】已知三角函数的奇偶性，求解函数中参数时，可借助诱导公式的“奇变偶不变”的原则去判断.

9. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

10. 在平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算、基本定理和数量积运算求解.

【详解】解：因为，

所以，

，

，

故选：A

11. 函数（，）的部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.

【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.

又，则，

则，，则，，

，则，，则，

.

故选：A.

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

12. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小时为半个周期.

【详解】的周期，

由题意可知为的最小值，为的最大值，

的最小值为.

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.

二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

13. 已知向量，，则___________；___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据向量数量积及夹角的坐标公式代入计算即可.

【详解】由题，.

故答案为：；.

14. sin18°cos12°+cos18°sin12°＝__．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用两角和的正弦公式求解即可．

【详解】解：sin18°cos12°+cos18°sin12°＝sin（12°+18°）＝sin30°＝．

故答案为：

15. 已知，则__________.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.

【详解】∵，∴，

故答案为：-3.

16. 函数的定义域为___________.

【答案】，

【解析】

【分析】由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域.

【详解】由题设，，即.

∴，.

∴函数的定义域为且.

故答案为：，.

17. 已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的最大值是________；最小值是________.

【答案】    ①. 1    ②.

【解析】

【分析】如图，建立坐标系，利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出

【详解】解：如图所示，建立直角坐标系，则，

所以，

所以，

令，

因在上单调递减，在上单调递增，

所以时，取得最小值，，

因为，所以最大值为1，

故答案为：1，

三､解答题（本题共5小题，每小题13分，共65分）

18. 已知平面向量，，，，且与的夹角为．

（1）求；

（2）求；

（3）若与垂直，求的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由数量积定义可直接求得结果；

（2）结合数量积的运算律可求得，进而得到结果；

（3）根据垂直关系得到，由数量积的运算律构造方程求得结果.

【详解】（1）；

（2），；

（3），，

即，解得：.

【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题.

19. 已知，，，求

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】小问1：由三角函数基本关系式即可求值，这里要注意角的范围；

小问2：先由诱导公式对原式进行化简，然后利用齐次式对式子进行求值即可；

小问3：确定角的范围以后，用已知角来拼凑出所求的角，再利用三角函数恒等变换求值即可.

【小问1详解】

，解得 或

又，，即.

【小问2详解】

，

又， 原式=

【小问3详解】

，，，

又，，

则.

.

20. 已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）设函数，求函数的单调递增区间.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）直接求解；

（2）直接用余弦二倍角公式求解；

（3）利用降幂扩角公式及辅助角公式把化成的形式，然后可求单调递增区间.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

，；

【小问3详解】

，，所以函数的单调递增区间为.

21. 如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记

（1）若，求；

（2）分别过A、B做x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．

（2）依题意得，，分别求得和的解析式，再由求得，根据的范围，求得的值．

【详解】（1）解：由三角函数定义，得，．

因为，，所以．

所以．

（2）解：依题意得，． 所以，

．

依题意得，即，

整理得．

因为，所以，所以，即．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

22. 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值；

（3）若函数在上有两个不同零点，求实数k的取值范围.

【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为 ；（3）.

【解析】

【分析】

（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；

（2）由得，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；

（3）由函数在上单调递增，，在上单调递减，，从而可求出实数k的取值范围.

【详解】（1）由，

得的最小正周期为.

（2）因为，

所以，

所以.

从而.

所以，当，即时，的最大值为2；

当，即时，的最小值为.

（3）由，得，而函数在上单调递增，

，在上单调递减，，

所以若函数在上有两个不同的零点，则.

【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数图像和性质的应用，属于基础题