山西省部分学校2023届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

山西省部分学校2023届高三下学期5月联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设集合，则(   )

A. B. C. D.

2、若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列复数是z的同部复数的是(   )

A. B. C. D.

3、关于，甲、乙、丙、丁四人有不同的判断.甲：是第三象限角.乙：.丙：.丁：不小于2.若这四人只有一人判断错误，则此人是(   )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

4、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局，甲每局赢的概率为，已知前两局甲都输了，则甲最后获胜的概率为(   )

A. B. C. D.

5、某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其所有横截面而均为圆，过横街面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为(   )

A.米 B.米 C.米 D.米

6、若函数在内的最小值小于0，且最小值点(即取得最小值时所对应的自变量）唯一，则的取值范围为(   )
A. B. C. D.

7、已知为奇函数，当时，，当时，，则(   )

A.

B.

C.

D.

8、设P为抛物线上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线，的距离分别为，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、关于的展开式，下列结论正确的是(   )

A.的展开式中不含字母x的项为

B.的展开式中不含字母x的项为

C.的展开式中不含字母y的项为

D.的展开式中不含字母y的项为

10、已知向量，则函数的大致图象可能为(   )

A. B.

C. D.

11、若四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，，，，，，且异面直线BC与AD所成角的余弦值为，则球O的表面积可能为(   )

A. B. C. D.

12、已知直线l经过点，曲线.下列说法正确的是(   )

A.当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为

B.当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个

C.当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为

D.存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2

三、填空题

13、的最小值为______.

14、若，，则______.

15、在空间直角坐标系中，已知，，，，，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平而BCD所成角的正弦为______.

16、若存在实数a，b使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是______.

四、解答题

17、已知分别为等差数列，等比数列，且，，，，，

(1)求的逐项公武；

(2)求数列的前n项和.

18、在正四棱柱中，O为的中点，且点E既在平面内，又在平面内.

(1)证明：.

(2)若，E为AO的中点，E在底面ABCD内的射影为H指出H所在的位置(需要说明理由)，并求线段的长.

19、汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得，，，，，在点C测得塔顶A的仰角为.参考数据：取，，.

（1）求BD

（2）求塔高AB（结果精确到1m）

20、已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）若对恒成立，求m的取值范围.

21、已知双曲线经过点，右焦点为，且，，，成等差数列.

（1）求C的方程
（2）)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，证明：是定值.

22、为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.
（1）设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.
（2）为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了m名代表，卫生监督管理部门邀请了n名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.(备注：最大似然估计即最大概率估计，即当取值最大时，X的估计值为k)

参考答案

1、答案：A

解析：因为，所以.

2、答案：B

解析：因为，所以与z的虚部相等，所以是z的同部复数.

3、答案：D

解析：因为，所以乙和丁的判断只有一个正确.，若丁的判断正确，则，丙的判断错误；若乙的判断正确，则，丙的判断也正确，此时，是第一或第三象限角，所以当是第三象限角，且时，只有丁的判断错误.故此人是丁.

4、答案：C

解析：因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为.

5、答案：B

解析：由题意可知，，所以，由该椭球横截面圆的最大直径为2米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米.

6、答案：B

解析：因为，所以当时，.依题意可得，解得

7、答案：A

解析：因为当时，，当时，，

且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，，所以.

8、答案：A

解析：

如图，，因为关于P的对称点为B，所以，所以，所以当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.

9、答案：BD

解析：的展开式中不含字母x的项为，的展开式中不含字母y的项为.

10、答案：ABD

解析：因为，所以.

当时，；当时，的零点为0和，且；当时，的零点为0和，且.所以的大致图象可能为ABD.

11、答案：AC

解析：如图，将四面体ABCD补成直三棱柱.

因为异面直线BC和AD所成角的余弦值为，所以，当时，

由余弦定理可得，

由正弦定理可得底面外接圆(M为圆心)的直径，

而，所以球O的半径，球O的表面积.当时，，

同理可得球O的半径，球O的表面积.

12、答案：ACD

解析：

由，得，即，即0，所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，如图所示.

设过点A且与圆N相切的直线方程为，则点N到该直线的距离，解得，，即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为.直线AO的斜率为.直线AC的方程为，点M到直线AC的距离，则直线AC与圆M相切于点B.在直线l绕着点从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，直线l与曲线的公共点个数都为4(不包括直线AC与直线AO的位置在直线l绕着点)从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，直线l与曲线的公共点个数也都为4(不包括直线AO与直线AD的位置).所以当直线l与曲线的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为.设过点A且与圆M相切的直线方程为，则点M到该直线的距离，解得，由图可知，当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为.由图可知，直线AO与曲线的公共点个数为3，直线AD与曲线的公共点个数也为3，直线与曲线的公共点个数为1，所以当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个.存在定点O，使得过O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3，所以存在定点Q（Q与O重合)，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2.

13、答案：9

解析：，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.

14、答案：1

解析：因为，所以，则，所以.

15、答案：

解析：依题意可得，，.设是平面BCD的法向量，

则即令，得.

所以点A到平面BCD的距离.

当时，d取得最小值，此时，，所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为.

16、答案：

解析：当，且时，由，得.

设，则，

得在上单调递增，在上单调递减，

，得.

等价于，而，

所以，则，

解得，所以b的最大值是.

17、答案：（1），

（2）

解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则，，所以，.

（2）由(1)知，则

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）

证明:连接，在正四棱柱中，，则A，，，D，四点共面，所以平面.因为侧面为矩形，且O为的中点，所以，所以O为平面与平面的一个公共点，所以平面平面，即平面平面，故.

（2）取CD的中点F，连接OF，AF，则H为AF的中点.理由如下:因为F，O分别为CD，的中点，所以分在正四棱柱中，底面ABCD，所以底面ABCD，又，所以底面ABCD，即E在底面ABCD内的射影为H.因为底面ABCD，所以.因为，所以.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）由余弦定理得，则

（2）在中，由正弦定理得，则.在中，，所以故塔高AB为.

20、答案：（1）

（2）

解析：（1）由图可知的图象与x轴切于原点.因为，所以.又，所以，所以，的解析式为.

（2）由对恒成立，得对恒成立，设函数，

则.令，得.令，得；令，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，即m的取值范围是.

21、答案：（1）

（2）证明见解析

解析：（1）因为，，，成等差数列，所以，又，所以.将点的坐标带入C的方程得，解得，所以，所以C的方程为.

（2）证明:依题意可设，由得.设，，，则

，则而，

所以，

所以是定值.

22、答案：（1）分布列见解析，

（2），其中，表示不超过的最大整数.

解析：（1）X的可能取值为2，3，4，则

，，则X的分布列为：

（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为，人数为.

设参加会议的群众代表的人数为Y，则.

若，则，

则，

.令，得，解得，

以代替k，得，

令，得，

令，得，解得，

所以.

若为整数，则当或时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为或

若不是整数，则当时，取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为，其中，表示不超过的最大整数.