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甘肃省武威市凉州区武威第七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版）
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这是一份甘肃省武威市凉州区武威第七中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版），共7页。试卷主要包含了 将根号外的因式移到根号内，得等内容，欢迎下载使用。
（满分120分，考试时间120分钟 ）
一.单项选择题（共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 甲，乙，丙，丁四位跨栏运动员在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲，乙，丙，丁成绩的方差分别是0.03，0.08，0.05，0.1，则当天这四位运动员“110米跨栏”训练成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
5. 如图，函数与图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6. 某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A. 从学校前往基地的平均速度为
B. 学生劳动了3.5小时
C. 从实践基地返回学校的平均速度为
D. 从学校出发小时后，距离学校100千米
7. 将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一次函数，小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
则下列说法正确的是（ ）
A. 函数值随着的增大而增大B. 函数图象不经过第四象限
C. 方程的解为D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
9. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是，点M就是一个整点．已知一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果内部（不包括边上）的整点只有1个，那么b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ①②③④
二.填空题（共18分）
11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）．
12. 某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为118分，那么小明物理得分_____________________分．
13. 在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段，求作：平行四边形．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧；
（3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：四边形是平行四边形的依据是___________________________．
14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________
15. 如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则_____．
16. 观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简________．
三.解答题（共72分）
17. 计算：．
18. 已知，，求代数式的值；
19. 如图，在四边形中，，, 过点作于点，连接．
求证：．
20. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．
（1）求线段对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”时间恰好是，求的值．
21. 由于阿克苏独特的地理环境和气候条件，当地的核桃和红枣品质都十分优良，而网络直播带货的发展，也为各种农产品的销售带来了巨大的市场．一商人为了推销家乡的樱桃和红枣，在网上直播带货，他每天在家乡收购这两种干果共600千克，且当天全部售出．干果成本和销售单价如表所示：
设该商人每天进货核桃x千克，每天获得的利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写自变量x的取值范围）
（2）若该商人每天投入的总成本不超过11200元，应怎样安排核桃和红枣的进货量，可使该商人一天所获得的利润最大？并求出最大利润和此时两种干果的进货量．
22. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
23. 四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接．
（1）如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：．
（2）在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足：
①点M、N分别在、上；
②．（不写画法，保留画图痕迹）
（3）证明（2）中
24. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
…
…
…
…
干果
干果成本（元/千克）
销售单价（元/千克）
核桃
18
33
红枣
20
36
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c
（满分120分，考试时间120分钟 ）
一.单项选择题（共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 甲，乙，丙，丁四位跨栏运动员在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲，乙，丙，丁成绩的方差分别是0.03，0.08，0.05，0.1，则当天这四位运动员“110米跨栏”训练成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. D.
5. 如图，函数与图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6. 某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A. 从学校前往基地的平均速度为
B. 学生劳动了3.5小时
C. 从实践基地返回学校的平均速度为
D. 从学校出发小时后，距离学校100千米
7. 将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一次函数，小宇在列表、描点、连线画函数图象时，列出的表格如下：
则下列说法正确的是（ ）
A. 函数值随着的增大而增大B. 函数图象不经过第四象限
C. 方程的解为D. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为
9. 如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是，点M就是一个整点．已知一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果内部（不包括边上）的整点只有1个，那么b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ①②③④
二.填空题（共18分）
11. 已知点，在一次函数的图象上，且，则的值可以是______．（写出一个即可）．
12. 某大学自主招生考试需要考查数学和物理．计算综合得分时，按数学，物理占计算．已知小明数学得分为130分，综合得分为118分，那么小明物理得分_____________________分．
13. 在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，线段，求作：平行四边形．
小明的作法如下：
如图2：（1）以点C为圆心，长为半径画弧；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧；
（3）两弧在上方交于点D，连接，四边形为所求作平行四边形．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：四边形是平行四边形的依据是___________________________．
14. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 _________
15. 如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则_____．
16. 观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简________．
三.解答题（共72分）
17. 计算：．
18. 已知，，求代数式的值；
19. 如图，在四边形中，，, 过点作于点，连接．
求证：．
20. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．
经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．
（1）求线段对应的函数表达式；
（2）已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”时间恰好是，求的值．
21. 由于阿克苏独特的地理环境和气候条件，当地的核桃和红枣品质都十分优良，而网络直播带货的发展，也为各种农产品的销售带来了巨大的市场．一商人为了推销家乡的樱桃和红枣，在网上直播带货，他每天在家乡收购这两种干果共600千克，且当天全部售出．干果成本和销售单价如表所示：
设该商人每天进货核桃x千克，每天获得的利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写自变量x的取值范围）
（2）若该商人每天投入的总成本不超过11200元，应怎样安排核桃和红枣的进货量，可使该商人一天所获得的利润最大？并求出最大利润和此时两种干果的进货量．
22. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
（1）求水池的深度；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
23. 四边形是平行四边形，E、F分别是、上的点，连接．
（1）如图1，对角线、相交于点O，若经过点O，求证：．
（2）在如图2中，仅用无刻度的直尺作线段，使它满足：
①点M、N分别在、上；
②．（不写画法，保留画图痕迹）
（3）证明（2）中
24. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线函数解析式；
（2）点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标；
（3）若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标．
…
…
…
…
干果
干果成本（元/千克）
销售单价（元/千克）
核桃
18
33
红枣
20
36
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c
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