湖南省永州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（解析版）

这是一份湖南省永州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了85亿， 如图，在矩形中，等内容，欢迎下载使用。

（考试时间: 120分钟 试卷满分: 120分）
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效.
3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】C
【解析】
【分析】利用相反数的意义求解即得.
【详解】2024的相反数是.
故选：C
2. 下列图形中，是轴对称图形是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称的定义易得.
【详解】根据轴对称的定义，易判断A,B,C中的图形都不能关于某条直线对称，而D项图形显然有一条对称轴，如图.

故选：D.
3. 2023年全国粮食播种面积 17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%.将数17.85亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的要求，将数写成的形式即可.
【详解】因17.85亿.
故选：B.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂的运算法则和乘法公式，逐一判断即得.
【详解】对于A，利用同底数幂的除法法则易得，，故A正确；
对于B，由同底数幂的乘法法则，，故B错误；
对于C，由幂的乘方法则，，故C错误；
对于D，因，故D错误.
故选：A.
5. 如图，DE是∠BDC的平分线，若， ，则∠2=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线性质以及平行线被第三条直线所截得同位角相等的性质，即可求得答案.
【详解】因为DE是∠BDC的平分线，故，
由，，得，故，
则，又，故，
故选：D
6. 如图，在△ABC中，，以A为圆心，任意长为半轻画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已如，的面积为（ ）

A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线性质结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知平分，

作于F点，结合，则，
又，故的面积为，
故选：B
7. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数为1
B. 从1，1，4，5， 1， 4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C. 众数是1
D. 平均数为
【答案】A
【解析】
【分析】根据一组数据的中位数、众数和平均数定义求解即得，对于B项，根据这组数据中奇数所占的比例易得.
【详解】对于A，将这组数据从小到大的顺序为：，则中位数为，故A错误；
对于B，因1，1，4，5， 1， 4中有4个奇数，2个偶数，故从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大，B正确；
对于C，因在1，1，4，5， 1， 4中，1出现了3次，次数最多，故众数为1，故C正确；
对于D，在1，1，4，5， 1， 4中，平均数为，故D正确.
故选：A.
8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. 23D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式进行计算，即可求得答案.
【详解】从三首歌曲中选择两首进行排练，共有《在希望的田野上》《我和我的祖国》，
《在希望的田野上》《十送红军》以及《我和我的祖国》《十送红军》3种情况，
恰好选中前面两首歌曲的情况只有一种，
故恰好选中前面两首歌曲的概率是，
故选：B
9. 如图，在矩形中，.对角线与相交于点，， 垂足为，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题设和矩形的性质推出是等边三角形，得到，在中即可求得的长.
【详解】∵，∴，
∵四边形是矩形，，∴，
又∵，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∴，
又∵，∴.
故选：D.
10. 若三条长度分别为的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组 ；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由三角数组的定义逐个判断求解即可.
【详解】∵是三角数组，
∴可设，且，
∴
∵
∴
∴一定是三角数组，故①正确，②错误；
令，则即是三角数组，
∵，
∴不是三角数组，
∴是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确．
故选：B
第II卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，解不等式即得.
【详解】要使式子在实数范围内有意义，需使，即x的取值范围是.
故答案为：.
12. 分解因式： ___________.
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式利用平方差公式分解因式即可.
详解】.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了因式分解的方法,属于基础题.
13. 不等式组的解集是__________
【答案】
【解析】
【分析】分别解出和的解集，即可求得答案.
【详解】解，得；解，得，
故不等式组的解集是，
故答案为：
14. 若关于的分式方程有增根，则的值是_________ .
【答案】1
【解析】
【分析】将整理为，其有增根，代入可得.
【详解】由得，即
由题意可知方程的根为，
代入可得，即，
故答案为：1
15. 设是方程的两个实数根，则的值为 _________
【答案】2023
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根的定义和韦达定理化简计算即得.
【详解】因是方程的两个实数根，则有，即，
由韦达定理得，，
则.
故答案为：2023.
16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， ⊙O是ABC的外接圆，点A， B， O在网格线的交点上，则的值是_______
【答案】
【解析】
【分析】利用圆周角定理和勾股定理求解即可.
【详解】如图，连接BO并延长交⊙O于D，则BD为直径，
由圆周角定理得：，
由勾股定理可得：
.
故答案为：
17. 如图，反比例函数的图象经过 对角线的交点P，已知点A， C，D在坐标轴上，，的面积为16，则____
【答案】-8
【解析】
【分析】过点P做轴于点E．利用矩形性质推出四边形为矩形，面积为8，结合点P在反比例函数图象上，即可得答案.
【详解】如图，过点P做轴于点E．
∵四边形为平行四边形，
∴，则轴，故,
又∵轴，∴为矩形，
∴，
∴，
∵P为平行四边形ABCD对角线交点，则P为的中点，
而轴，则E为AO的中点，
∴四边形为矩形，面积为8，
即，
∴设P点坐标为，P在反比例函数的图象上，
故．
故答案为：-8
18. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.观察下列勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；. ... 这类勾股数的特点是:勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如: 6，8，10；8，15，17；. ..若此类勾股数的勾为10，则其弦是 _______________
【答案】26
【解析】
【分析】依题意，设股为，由勾股定理得到方程，求解即得.
【详解】依题意，当勾股数的勾为10时，设股为，则弦为，
由勾股定理，，解得，，则其弦为26.
故答案为：26.
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、 23题每题8分，第24、 25题每题10分，第26题12分，共66分）
19. 计算:
【答案】2
【解析】
【分析】利用绝对值定义，特殊角的三角函数值和幂的运算性质计算即得.
【详解】

=
=2
20. 先化简，后计算:，其中a是满足条件的合适的非负整数.
【答案】；
【解析】
【分析】利用分式的加减乘除运算，结合乘法公式化简得所求式为，再根据所求式有意义推得，代入计算即得.
【详解】由题意可得：
因为且，
又因为a是满足条件的合适的非负整数.
故，而此时原式等于.
21. 如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直（），米，支撑杆于点，且，从点B观测点D的仰角为45°，又测得米.

（1）求该支架的边的长；
（2）求支架的边的顶端点D到地面的距离（结果保留根号）
【答案】（1）10米；
（2）米．
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中，利用三角函数的定义即可计算求得；
（2）先在中求出长，再由矩形得到长，合并即得的长.
【小问1详解】

∵，∴是直角三角形，
在中，
∵，∴，
即该支架的边的长为10米；
【小问2详解】

由题意可得，，在中，且，
由可得,解得：，
在矩形中，，
∴米．
22. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图
（1） ，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为
（3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数.
【答案】（1）50，答案见解析
（2）72 （3）672（名）
【解析】
【分析】（1）根据扇形图和频数分布直方图中相关数据占比求出和90～100的学生数，即可补全频数分布直方图；
（2）由“”这组的频数所占的比率乘以即得；
（3）由频数分布直方图求出80分以上所占的比率乘以1200即得.
【小问1详解】
本次调查共抽测了名学生，即,
90～100的学生有：（人），
补全的频数分布直方图如图所示：
【小问2详解】
““这一组所对应的扇形圆心角的度数是；
【小问3详解】
估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为名．
23. 为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐.近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A， B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元.
（1）问葡萄种植基地销售A， B两种葡萄每千克的售价各是多少元?
（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大?最大总利润为多少元?
【答案】（1）12元，8元；
（2）100包，最大总利润为600元
【解析】
【分析】（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据“A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．”列方程组并解方程组即可；
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元，列不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，
根据题意，得，解得
答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元；
【小问2详解】
设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元
则
解得，
总利润
∵，
∴w随着m的增大而增大，
∵，
∴当时，得到最大值，
∴当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为元
24. 如图，已知的内接锐角三角形中，所对的边分别记作.

（1）如图①，若在直径的延长线上取一点，使，求证: 是的切线；
（2）如图①，在（1）的条件下，若，，求的长度;
（3）如图②，若设的半径为，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用直径所对圆周角是,利用三角形相似, 结合角之间得关系可得,可证是的切线.
(2)利用三角形相似得到边长之间的关系, 在中，由勾股定理可得满足的关系,解方程即可得的长度.
(3)过圆心作直径,利用直径所对圆周角是,同弧所对圆周角相等,根据直角三角形中正弦的定义,即可证明.
【小问1详解】
如图，连接,

是直径，，
，，
，即，
，
，即，
是半径，是的切线.
【小问2详解】
设，则，
，，
即，解得，（舍去），
，
，
在中，由勾股定理得，
即，解得（舍去），
得长度为；
【小问3详解】
如图，连接并延长交于，连接，则，

，，
，即，
连接并延长交 于，连接，则，
同理可得，即，
连接并延长交于，连接，则，
同理可得，即，
.
25. 定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”.
（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
（2）如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H.
①试判断四边形是否为“等补四边形"并说明理由；
②如图2，连接，求的周长;
③若四边形是“等补四边形”，求的长，
【答案】（1）C （2）①四边形是“等补四边形”，理由见解析；②2a；③或
【解析】
【分析】（1）根据“等补四边形”的规定，易得正方形为“等补四边形”；
（2）①通过证明得到，再利用圆内接四边形对角互补的性质得到，从而证得，即得，说明四边形AFHB是否为“等补四边形”；② 通过图形旋转证明，将转化成，从而可求出的周长；③由四边形是“等补四边形”，分成四种情况，结合图形分别求解即可.
【小问1详解】
在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
故正方形是等补四边形，
故选：C；
【小问2详解】
①四边形AFHB是否为“等补四边形”，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是正方形，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
又因，则，
故，∴，
又，故；
②
如图，连接，由①知，为等腰直角三角形，则，
将围绕点A逆时针旋转到的位置，点H对应点L，则，
则，
∵，∴，
∴，
则的周长为；
③若四边形是“等补四边形”，因 ，
则存在四种情况.
（Ⅰ）当时，由（1）知，，
则，则为等边三角形，如图,
则，则，
在中，,
则；
（Ⅱ）当时，
∵，∴，∴，
而，∴为等边三角形，
故该情况与的情况相同；
（Ⅲ）当时，
由②知，的周长为2a，
设，则，则，
解得：；
（Ⅳ）当时，则，
而当点F是的中点时，才存在，
故这种情况不存在.
综上，的长度为：或.
26. 我们定义:对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足:若，则 （为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如: 函数在上是同步函数.理由:
得，∴在上是同步函数.
（1）若函数在上是同步函数，求的值；
（2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值；
（3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为4a，设抛物线与直线交于A，B点，与y轴相交于C点.若的内心为G，外心为M，试求的长.
【答案】（1）6 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性即得的值；
（2）根据反比例函数的增减性可知，时，且时，求解即得的值；
（3）根据条件判断抛物线在上递增，可知时，， 时，.联立求解即得解析式，从而得出点的坐标；设，根据，求得点的坐标，再利用等面积法求出点的坐标，即可求得的长．
【小问1详解】
函数在上是同步函数，且函数是递减函数，
又，，故当时，；当时，；
即，
解得，；
【小问2详解】
由反比例函数在上是同步函数，
∴，，
反比例函数在或上都是递减的，
当时，取最大值，当，取最小值，
即，故得；
【小问3详解】
抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
因，，则抛物线的对称轴，
故抛物线在上递增，
又抛物线在上是同步函数，
当时，取最小值1，当时，取最大值3.
即得，，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于两点，设，，

假设点在点的左侧，由，可得，，解得，，，
在中，，，，
，，，
因外心在线段的垂直平分线上，则可设，
由可得，，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，
由，即，
解得，，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，内心在轴上，
，，
．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键首先是求出，再结合外心和内心的性质即可得到答案.
葡萄品种
A品种
B品种
每包中葡萄重量（千克）
1
2
售价（元/包）
18
20
每个包装盒的成本（元）
3
2