湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请把答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）
1. 下列四个数中，最小的一个数是（ ）
A. -2B.
C. 0D.
2. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，这是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是（ ）
A 5~10元B. 10~15元
C. 15~20元D. 20~25元
5. 已知一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.0 18秒．则一天24小时有（ ）
A. 8×104刹那
B. 4.8×106刹那
C. 4.8×105刹那
D. 4.8×107刹那
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 小明制作了如图所示的四张卡片(四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是____．
8. 分解因式：___________________．
9. 已知方程2x2-x-1=0两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为____．
10. 中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin 15°≈0.259，sin 75°≈0.966)
11. 如图，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，连接AD，且AD=2，则BC的长为____．

12. 如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是____．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）化简：．
（2）解不等式组：
14. 阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：，，)

15. 如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m．
（1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果．
（2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由．
16. 如图，四边形ABCD为菱形，延长AB至点E，使得BE=AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．
（1）在图1中，过BD的中点作直线l∥AE．
（2）在图2中，作出一个矩形．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数的图象上，若四边形ABCD为矩形．
（1）直接写出点A，B，D的坐标(用含m的式子表示)．
（2）求矩形ABCD的面积．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 珍爱生命，远离溺水．某校开展了“远离溺水·珍爱生命”防溺水安全知识竞赛，并为获奖的同学颁发奖品．李老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10本，乙种笔记本20本，共用110元，且买5本甲种笔记本比买10本乙种笔记本少花5元．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价．
（2）李老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因李老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？
19. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98．
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表
七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值．
（2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数．
20. 如图1，某商业中心从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是该场景的侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN∥PQ，点C在MN上，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为45°．
（1）求自动扶梯顶端B到地面PQ距离．
（2）若在自动扶梯顶端B的正上方的楼顶C处悬挂一个高为2米(CG=2米)的广告牌，请问一个身高为1.9米的人能否正常通过此处?(≈1.73)
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B．
（1）求证：CE是☉O的切线．
（2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)．
22. 在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值．
（2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴．
①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数;
②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围．
（3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围．
六、（本大题共12分）
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动(每位同学的矩形纸片规格不同)．老师规定矩形纸片按如下方式操作(如图1)．
操作一：在矩形纸片的边CD上找一点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点为点；
操作二：将矩形沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．
（1）根据以上操作可知的度数为 ．
（2）如图2，小明折叠自己的矩形纸片后发现，当点落在矩形的边上时，射线恰好经过点，请判断的形状并说明理由．
（3）如图3，在小华的矩形纸片中，若经过小华折叠后的，请直接写出DE的长．年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
a
25%
八年级
82
b
88
35%